九年级数学上册 22.3 实际问题与一元二次方程教案 新人教版-新人教版初中九年级上册数学教案.doc

22.3实际问题与一元二次方程（第1课时）
教学时间

课题
传播问题
课型
新授
教学媒体
多媒体
教

学

目

标
知识
技能
1.使学生会列出一元二次方程解应用题，初步掌握利用一元二次方程解决生活中的实际问题.
2.培养学生的阅读能力.22.2.4一元二次方程的根与系数关系

教学时间

课题
22.2.4一元二次方程的根与系数关系
课型
新授
教学媒体
多媒体
教

学

目

标
知识
技能
1. 熟练掌握一元二次方程的根与系数关系.
2. 能熟练写出x1 +x2和 x1 x2的值。
过程
方法
学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演绎证明.
情感
态度
培养学生观察，分析和综合，判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神.
教学重点
掌握一元二次方程的根与系数关系就行，能熟练写出x1 +x2和 x1 x2的值。
教学难点
对根与系数关系的理解和推导（教师没必要加深难度）
教学过程设计
教学程序及教学内容
师生行为
设计意图
一、复习引入
导语：一元二次方程的根与系数有着密切的关系，早在16世纪法国的杰出数学家韦达发现了这一关系，你能发现吗？
二、探究新知
1.课本思考
分析：将方程（x- x1）（x-x2）=0化为一般形式x2-( x1 +x2)x+ x1 x2=0与x2+px+ q=0对比,易知p=-( x1 +x2)， q= x1 x2. 而x1 和x2就是方程（x- x1）（x-x2）=0的两个根，即二次项系数是1的一元二次方程如果有实数根 x1和x2，则一次项系数等于两根和的相反数，常数项等于两根之积.

2.跟踪练习
求下列方程的两根x1 、x2. 再求x1＋ x2与 x1· x2的值.
x2+3x+2=0； x2+2x-3=0; x2-6x+5=0; x2-2x-15=0

3. 方程2x2-3x+1=0的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗？
分析：这个方程的二次项系数等于2，与上面情形有所不同，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否成立，若不成立，新的结论是什么？

4.一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的a不一定是1，它的两根的和、积与系数之间有第3题中的关系吗？
分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，得到方程的两个根x1 、x2和系数a，b，c的关系，即韦达定理，也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.
三、课堂训练：完成课本P42.练习
四、小结归纳
本节课应掌握：
1. 韦达定理二次项系数不是1的方程根与系数的关系
2. 运用韦达定理时，注意隐含条件：二次项系数不为0，△≥0；
五、作业 必做：P43：7
六、教学反思

教师出示问题，引出课题学生初步了解本课所要研究的问题

学生通过去括号、合并得到一般形式的一元二次方程，教师适时点拨，分析总结得到结论.
学生独自完成
巩固上诉知识
教师出示探究问题，学生通过特殊例子入手，再通过一般形式推导证明，教师引导学生根据求根公式进行探究、交流，尝试发现结论

学生独立解决，并交流

先观察，尝试选用合适方法解题，之后交流，比较解法

学生尝试归纳，师生总结
学生独立完成，教师巡回检查，师生集体订正

学生归纳，总结阐述，体会，反思.并做出笔记.

创设问题情境，激发学生好奇心，求知欲

通过思考问题，让学生知道二次项系数为1的一元二次方程的根与系数关系，为后面继续研究做铺垫

让学生通过探究问题，体会从特殊到一般的认知过程，体会数学结论的确定性

加深对韦达定理的理解，培养学生的应用意识和能力

通过学生亲自解题的感受与经验，感受数学的严谨性和数学结论的确定性.

进一步加强对所学知识的理解和掌握

加强教学反思，帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系.
课堂检测

1、不解方程，求下列方程的两根x1 、x2. 的和与积.
① 3x2+7x+2=0； ② 3x2-7x+2=0；

③ 3x2+7x-2=0 ④ 3x2-7x-2=0；

2、若关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两个根互为相反数，则p＝ ; 若两个根互为倒数，则q＝ .

3、两个根均为负数的一元二次方程是( )
A.4x2+21x+5=0 B.6x2-13x-5=0 C.7x2-12x+5=0 D.2x2+15x-8=0

4、已知一元二次方程2x2+bx+c=0的两个根是-1，3，求b和c的值

5、已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个根是1，则另一个根是 ,k的值是 .

过程
方法
1.通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.
2.通过观察，思考，交流，进一步提高逻辑思维和分析问题解决问题能力.
3.经历观察，归纳列一元二次方程的一般步骤
情感
态度
通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
教学重点
建立数学模型，找等量关系，列方程
教学难点
找等量关系，列方程

教学过程
问题与情景
师生活动
设计意图
一、温故知新：
1、解一元二次方程都是有哪些方法？
2、列一元一次方程解应用题都是有哪些步骤？
①审题；②设未知数；③找相等关系；④列方程；⑤解方程；⑥答
（学生口答，教师点评）

复习解一元二次方程的基本方法
二、自主学习：
例1： （教材P46探究1）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，毎轮传染中平均一个人传染了几个人？
学生可在交流中解决问题，教师深入小组讨论，对疑惑较多的问题要点拨；前两个问是解题的关键，可作适当点拨。最后思考题，可让学生试试独立完成。要教给学生如何审题，分析题。

补充例题：
1、某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？
2、我校九年级举行篮球比赛，参赛的每一个班都要与其余的班打一场（即单循环），共赛了15场，问有几个班参赛？

交流与点拨：
学生自学课本Ｐ45探究1思考下列问题：
（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么患流感的这个人在第一轮传染中传染了 人；第一轮传染后，共有 人患了流感。
（2）在第二轮传染中，传染源是 人，这些人中每一个人又传染了 人，那么第二轮传染了 人，第二轮传染后，共有 人患流感。
（3）根据等量关系列方程并求解。为什么要舍去一解？
（4）通过对这个问题的探究，你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗？
（5）完成教材思考：如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有多少人患流感？

1、可以仿照例1题去求解。

2、设有x个班参赛，依题意，
① 每一个班要与 个班参赛？共赛 场。
② 难道真的赛了这么多场吗？有没有重复计算或少算？③ 想到已知共赛了15场怎样列方程， ＝15

学生通过自学经历思考、讨论、分析的过程，理解列一元二次方程解应用题的基本思路。

三、课堂练习：
教材Ｐ48习题22.3第4题

学生板演，教师点评。
列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答。最后要检验根是否符合实际意义

通过练习加深学生列一元二次方程解应用题的基本思路。

五、布置作业

教材Ｐ53习题22.3第6题

六、总结反思：（针对学习目标）可由学生自己完成，教师作适当补充。
列一元二次方程解应用题的步骤：①审题、②设未知数、③找等量关系、④列方程、⑤解方程、⑥检验并答。

课堂检测
1．一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（ ）．
A．12人 B．18人 C．9人 D．10人
2、某届同学聚会，大家见面，分外高兴，老同学，你好！你好！……，频频握手，个个握到，据统计共握手2450次。求本次聚会人数。

3、平面内有若干个点，共组成了45条线段，你能猜出有多少个点吗？

22.3实际问题与一元二次方程（第2课时）
教学时间
2012-9-27
课题
增长率问题
课型
新授
教学媒体
多媒体
教

学

目

标
知识
技能
1.会根据具体问题（平均增长率或降低率问题）中的数量关系列一元二次方程并求解。
2.培养学生的阅读能力与分析能力.
3.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.
过程
方法
通过自主探究，独立思考与合作交流，使学生弄清实际问题的背景，挖掘隐藏的数量关系，把有关数量关系分析透彻，找出可以作为列方程依据的主要相等关系，正确的建立一元二次方程.
情感
态度
在分析解决问题的过程中逐步深入地体会一元二次方程的应用价值.
教学重点
建立数学模型，找等量关系，列方程
教学难点
找等量关系，列方程
教学过程

问题与情景
师生活动
设计意图
一、温故知新：
1、列方程解应用题都是有哪些步骤？（6步）
2、某厂今年的收益比去年增加8％，设去年的收益是a万元，则今年的收益是 ；
4、增长率问题中，现在比原来增加（下降）10％，列为： ；
3、某厂去年的成本比前年大有下降，下降百分率x，设前年的成本是12万元，则去年的成本是 ；今年成本下降的百分率与去年相同，则今年成本是 ；
①复习解一元二次方程的基本方法。
②增长率问题中，现在比原来增加（下降）10％，列为：现在的＝原来的×（1＋10％）
类似把10％改为x，增加就是＋，下降就是－
二、自主学习：
1、例题讲解
（教材P46探究2）两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
重点点拨问题，根据情况教师可作必要讲解，问题4可让学生独立完成。
2、总结规律：
这一类应用题可以归纳为：
a（1±x）2＝b，
交流与点拨：思考下列问题：
（1）两年前（原来的），1吨甲种药品的成本是 元，现在的成本是 ；
（2）若设甲种药品平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了 元，此时成本为 元；两年后，甲种药品下降了 元，此时成本
为 元。
（3）对甲种药品，根据等量关系列方程并求解、选择根？
（4）同样的方法请同学们尝试计算乙种药品的平均下降率,并比较哪种药品成本的平均下降率较大。
（5）思考经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？
根据方程 5000（1－x）2＝3000和6000（1－x）2＝3600分析数量关系及方程的特点，
都是形如：a（1±x）2＝b，用“直接开平方法”解。
①学生通过自学经历思考、讨论、分析的过程，理解列一元二次方程解应用题的基本思路。

此探究是平均增长率（下降率）问题，是中考考点，要引起同学们注意。
②理解等式
a（1±x）2＝b中
各量表示的含义：
a表示起点的量，b表示终点的量，x表示平均增加或下降的百分率，±表示增加取＋号，下降取－号，指数2表示经历2次变化。
三、课堂练习：
1、设平均每年粮食增长率是x，
① 2009年产量是10万吨，
2011年产量是14.4万吨，列方程是 ；
② 2011年产量比2009年增加
了69％，列方程是： ；
③2011年的产量是2009年产量的1.69倍，列方程是 。
2、完成P43 第12题
学生板演，教师点评。
（1）第②、③题中，2011年和2009年的产量没有直接已知，可以把2009年（即原来的）看作是1或a，表示出2011年的产量。

①通过练习加深学生列一元二次方程解应用题的基本思路。及理解等式
a（1±x）2＝b中
各量表示的含义。

五、总结反思：（针对学习目标）可由学生自己完成，教师作适当补充。
1、 列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答。最后要检验根是否符合实际意义。
2、归纳：这一类应用题可以归纳为：a（1±x）2＝b，
a表示起点的量，b表示终点的量，x表示平均增加或平均下降的百分率，±表示增加取＋号，下降取－号，
指数2表示经历2次变化。 解法就是“直接开平方法”，不要取想其他什么方法。
六、布置作业 教材Ｐ48习题22.3第7题
四、课堂检测（每题20分）
班级 姓名 座号 计分
1．某农户第一年的粮食产量为6000kg，如果平均每年的增长率为10%，那么
第二年的产量为_______kg，第三年的产量为_______kg，三年总产量为________kg．
2、（2011·滨州）某商品的售价是289元，经过连续两次降价后售价是256元，设平均每次降价的百分率是x，下面所列方程正确的是（ ）
A 289（1－x）2＝256 B 256（1－x）2＝289 C 289（1－2x）＝256 D 256（1－2x）＝289
3、（2011·清远）某农机厂去年四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个，设该长厂五、六月份平均每月的增长率是x，可列方程是（ ） A. 50（1+x）2＝182 B. 50+50（1+x）+ 50（1+x）2 ＝182
C .50（1+2x）＝182 D. 50 +50（1+x）+ 50（1+2x） ＝182
4、某种商品在两个月里降价两次，现在该商品每件的价格比两个月前下降了36％，设平均每月降价百分率是x，列方程是 ；
5、某商店销售一批服装，每件成本价100元，若想获利25%（即增长率），该服装的售价应为______元。
x，列方程是 ；
5、某商店销售一批服装，每件成本价100元，若想获利25%（就是增长率），这种服装的售价应为______元。