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第23章旋转
一、复习目标
1．理解旋转、中心对称以及中心对称图形的概念．
2．掌握旋转以及中心对称的性质．
3．能利用旋转和中心对称的性质作图．
4．掌握关于原点对称的点的坐标．
二、课时安排
1课时
三、复习重难点
重点:旋转以及中心对称的性质以及应用．
难点:旋转以及中心对称的性质以及应用．
四、教学过程
（一）知识梳理
（二）题型、方法归纳
类型1 旋转的概念和性质
【主题训练1】(吉林中考)如图,将Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°,得到Rt△AB′C′,点C′恰好落在斜边AB上,连接BB′,则∠BB′C′= 度.
【自主解答】由旋转的性质可得:AB=AB′,∠BAB′=40°,
∴∠BB′A=(180°-40°)÷2=70°,
又∵∠AB′C′=90°-∠BAB′=90°-40°=50°,
∴∠BB′C′=∠BB′A-∠AB′C′=70°-50°=20°.
答案:20
归纳：应用旋转性质的两点技巧
1.在旋转变换中存在两类相等的角:
(1)旋转前后的对应角相等.
(2)对应点与旋转中心连线的夹角(即旋转角)相等.
2.在旋转中存在两类相等的线段:
(1)旋转前后的对应线段相等.
(2)对应点与旋转中心所连的线段相等.
类型2 中心对称图形的识别
【主题训练2】(黄冈中考)随着人民生活水平的提高,我国拥有汽车的居民家庭也越来越多,下列汽车标志中,是中心对称图形的是( )
【自主解答】选A.在A选项中,图形按其中心旋转180°后能与原图重合,是中心对称图形,而其他三项都按其中心旋转180°后不能与原图重合,所以不是中心对称图形.
【备选例题】(义乌中考)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【解析】选C.因为第一、第四个图形不仅可以沿某条直线折叠后重合,而且绕圆心旋转180°后也能与原图形重合,所以既是轴对称图形也是中心对称图形.故选C.
归纳：中心对称图形与轴对称图形的区别与联系
1.相同点:
(1)都是指具有特殊对称性的一个图形;
(2)变换后都能够与自身重合.
2.不同点:中心对称图形是绕一个点进行旋转,而轴对称图形是沿一条直线翻折.
【知识归纳】三种特殊图形的特征
1.中心对称图形:把图形绕着旋转中心旋转180°,能够与原来的图形重合.
2.轴对称图形:把一个图形沿着对称轴折叠,直线两旁的部分能够重合.
3.旋转图形:把图形绕着旋转中心旋转一定的角度,能够与原来的图形重合.
类型3 旋转、对称与坐标系
【主题训练3】(牡丹江中考)如图,
△ABO中,AB⊥OB,OB= ,AB=1,把△ABO绕点O旋转150°后得到△A1B1O,则点A1的坐标为( )
A.(-1,- ) B.(-1,- )或(-2,0)
C.(- ,-1)或(0,-2) D.(- ,-1)
【自主解答】选B.∵OB=,AB=1,∴OA=2,∠AOB=30°.
如图,若将△ABO绕点O逆时针旋转150°,则点A1落在x轴的负半轴上,易得A1的坐标为(-2,0);若将△ABO绕点O顺时针旋转,则点A1落在第三象限,易得此时点A1的坐标为(-1,- ),故选B.
归纳：旋转中的数学思想
1.对于旋转知识与平面直角坐标系等知识的综合题,最好的解题方法是运用数形结合思想.
2.运用数形结合思想解题,这样可以把抽象的数学问题转化为直观的形,也可以把复杂的形转化为具体的数.
类型4 与旋转变换有关的作图
【主题训练4】( 茂名中考)在方格纸上按以下要求作图,不用写作法:
(1)作出“小旗子”向右平移6格后的图案.
(2)作出“小旗子”绕O点按逆时针方向旋转90°后的图案.
【解析】作图如下:
【备选例题】( 厦门中考)在平面直角坐标系中,已知点A(-4,1),B(-2,0),C(-3,-1),请在图上画出△ABC,并画出与△ABC关于原点O对称的图形.
【解析】画图如下:
归纳：旋转作图的方法与步骤
1.分析题目要求,找出旋转中心、旋转角.
2.分析所作图形,找出构成图形的关键点.
3.沿一定的方向,按一定的角度,通过截取线段的方法,旋转各个关键点.
4.连接所作的各个关键点,并标上相应的字母.
5.写出结论.
（三）典例精讲
例题1.( 温州中考)如图,在方格纸中,△ABC的三个顶点和点P都在小方格的顶点上.按要求画一个三角形,使它的顶点在方格的顶点上.
(1)将△ABC平移,使点P落在平移后的三角形内部,在图甲中画出示意图.
(2)以点C为旋转中心,将△ABC旋转,使点P落在旋转后的三角形内部,在图乙中画出示意图.
【解析】(1)答案不唯一,如图示:
(2)答案如图示:
例题2.( 绥化中考)如图,方格纸中的每个小方格都是边长为一个单位长度的正方形,每个小正方形的顶点叫格点,△ABC的顶点均在格点上.
(1)画出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1.
(2)画出将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°后所得的△A2B2C2.
(3)△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形吗?如果是轴对称图形,请画出对称轴.
【解析】(1),(2)如图.(3)△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形,对称轴如图中两条斜线.
（四）归纳小结
知识模块一 旋转的概念及性质
知识模块二 中心对称、中心对称图形的概念以及性质
知识模块三 旋转、中心对称的作图
（五）随堂检测
1.(长沙中考)在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中,没有运用旋转或轴对称知识的是( )
2.(烟台中考)以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志,其中是中心对称图形的是( )
3. (青海中考)下面的图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
4.(玉溪中考)在下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
5.(荆门中考)在平面直角坐标系中,线段OP的两个端点坐标分别为O(0,0),P(4,3),将线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置,则点P′的坐标为( )
A.(3,4) B.(-4,3) C.(-3,4) D.(4,-3)
6.(安顺中考)如图,在平面直角坐标系中,将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°后,得到线段AB′,则点B′的坐标为 .
7.如图,在平面直角坐标系中,将线段AB绕点B按顺时针方向旋转90°后,得到线段BA′,则点A′的坐标为 .
8.(河池中考)如图(1),已知两个全等直角三角形的直角顶点及一条直角边重合.将△ACB绕点C按顺时针方向旋转到△A′CB′的位置,其中A′C交直线AD于点E,A′B′分别交直线AD,AC于点F,G,则在图(2)中,全等三角形共有( )
A.5对 B.4对 C.3对 D.2对
9.(宁夏中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=α,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC,此时点D在AB边上,则旋转角的大小为 .
【答案】
1. 【解析】选C.选项A中的图形是轴对称图形,也是旋转图形;选项B中的图形是轴对称图形;选项D中的图形是轴对称图形,也是旋转图形;选项C中的图形既不是轴对称图形,也不能由旋转得到.
2. 【解析】选B.选项A为旋转对称图形,选项B为中心对称图形,选项C为轴对称图形,选项D不是对称图形.
3. 【解析】选C.选项A中图形是中心对称图形,但不是轴对称图形,选项B中图形是中心对称图形,但不是轴对称图形,选项C中图形既是轴对称图形又是中心对称图形,选项D中图形是轴对称图形但不是中心对称图形,故选C.
4. 【解析】选A.选项A是轴对称图形,也是中心对称图形;选项B是轴对称图形,不是中心对称图形;选项C是轴对称图形,不是中心对称图形;选项D不是轴对称图形,是中心对称图形.
5. 【解析】选C.点P的横坐标是4,纵坐标是3,把线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置,点P对应点P′的横坐标绝对值等于点P的纵坐标,点P′的纵坐标等于点P的横坐标,因此答案是(-3,4).
6. 【解析】作图如下,可知B′的坐标为(4,2).
答案:(4,2)
7. 【解析】作图如下,可知点A′的坐标为(2,1).
答案:(2,1)
8. 【解析】选B.由题意,得:△ACB≌△A′CB′≌△ACD,
所以∠A=∠A′,∠D=∠B′,∠ACD=∠A′CB′,AC= A′C,
DC= B′C,A′B′=AD,
所以图中能够成为全等三角形的有:△A′EF≌△AGF,
△A′CG≌△ACE,△GCB′≌△ECD,△A′CB′≌△ACD,共4对.
9. 【解析】∵△EDC是由△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到的,∴CB=CD,又点D在AB边上,则△CBD是等腰三角形,∴底角∠B=∠BDC=(90°-α),
∴∠BCD=180°-2(90°-α)=2α,即旋转角的大小为2α.
答案:2α
五、板书设计
第23章旋转
知识模块一 旋转的概念及性质
知识模块二 中心对称、中心对称图形的概念以及性质
知识模块三 旋转、中心对称的作图
六、作业布置
单元检测试题
七、教学反思
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