七年级数学下册台球桌面上的角教案 北师大版.doc

台球桌面上的角 教学设计
教学设计思想：
本节内容需一课时讲授；教师通过“台球桌面上的角”为现实背景，自然地呈现补角、余角、对顶角，以及“等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等”的几何事实及其简单应用，并使学生在对现实图形及其与角有关的简单图形进行观察、分析、测量和猜测、验证等过程中，发展合情推理的意识和有条理思考的习惯。在教学时，让学生在比较自然、现实的状态下认识各种基本的角，通过具体的操作活动发现“同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等，对顶角相等”是十分必要的。
一、教学目标
(一)知识与技能
1．叙述余角、补角及对顶角的定义．
2．熟记并会应用余角、补角及对顶角的性质．
(二)过程与方法
1．经历观察、操作、推理、交流等过程，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力．
2．在具体情境中了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等，并能解决一些实际问题．
(三)情感、态度与价值观
通过在具体情境下的讨论，让学生理解基础知识的同时，提高他们理论联系实际的观念．
二、教学重难点
（一）教学重点
1．互为余角、互为补角的定义及其性质．
2．对顶角的定义及性质．
（二）教学难点
互为余角、互为补角、对顶角的定义的理解．
三、教学方法
讲练结合法
教师在充分发挥学生的主观能动性的同时，来与学生进行交流、讨论，使之能运用本节内容解决一些实际问题．
四、教学安排
1课时.
五、教具准备
一些与本节内容有关的图片；电脑、投影片.
六、教学过程
Ⅰ．创设现实情景，引入新课
［师］在上册第四章“平面图形及其位置关系”中，我们学习了“平行”与“垂直”，大家想一想：什么是平行线？
［生］在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．
［师］很好，在日常生活中，我们随处可见道路、房屋、山川、桥梁……这些大自然的杰作和人类的创造物．这其中蕴涵着大量的平行线和相交线．
下面大家来看几幅图片：

你能从这些图案中找出平行线和相交线吗？
(同学们踊跃发言，都能准确地找出其中的平行线和相交线)
［师］同学们找得都对，说明大家掌握了所学内容．从今天开始，我们将深入学习这方面的内容：第二章　平行线与相交线．
在这一章里，我们将发现平行线和相交线的一些特征，并探索两条直线平行的条件，我们还将利用圆规和没有刻度的直尺，尝试着作一些美丽的图案．
相信大家，一定会学得很好．
台球，是我们大家喜欢的体育活动，好多同学也玩过，谁能说一说你打球入袋的技巧？
［生甲］如果白球与所要打的球及袋口成一直线时，那么就可以直接打进去．
如果不在一直线上时，可以利用白球击打所要打的球，使它碰桌沿后，反弹即可入袋．
［生乙］利用白球击打所要打的球时，必须要选择一个方向，即确定一个角度，否则是不可能打球入袋的．
［师］噢，由此看来，打台球的一些技巧还与角有一定的关系．
那我们今天就来研究一下：“台球桌面上的角”．
Ⅱ．讲授新课
［师］我们知道，在打台球时，只有通过选择适当的方向用白球撞击所打的球后，反弹的球才会入袋．如图所示(电脑显示P50的上图)．此时：∠1＝∠2．
让我们来看看模拟实例(电脑演示：台球桌面上的角——台球)
下面我们来看红球滑过的痕迹(电脑演示；让学生了解：数学源于实际)．
我们不难看出：台球运动的路线和球桌的边框可以构成下图：

图2-1
其中：CD与EF垂直，各个角与∠1有什么关系？
大家来分组讨论一下．
［生甲］因为CD与EF垂直，所以∠EDC＝∠CDF＝90°，因此，∠1＋∠ADC＝90°，∠2＋∠BDC＝90°．又因为∠1＝∠2，所以∠1＋∠BDC＝90°．
［生乙］因为球桌边框是直的，所以∠EDF＝180°．
因此，∠1＋∠ADF＝180°，∠2＋∠BDE＝180°．又因为∠1＝∠2，所以∠1＋∠BDE＝180°．
［师］很好，同学们经过讨论分析，得到了与∠1有关系的角．
看：∠1＋∠ADC＝90°，我们就可以称∠1与∠ADC是互为余角．
再看：∠1＋∠BDC＝90°，我们也可以称∠1与∠BDC是互为余角．
由此，我们得到了一个新的概念：互为余角．即：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角(complementary angle)，也就是说其中一个角是另一个角的余角．（参看视频：余角）
只要有∠BDC＋∠1＝90°，就可知道∠1与∠BDC互为余角，反过来知道∠1与∠BDC是互为余角，就一定知道∠1与∠BDC的和为直角．
再之：∠1与∠BDC是互为余角就是说：∠1是∠BDC的余角，∠BDC也是∠1的余角．
大家看老师手里拿两个三角板(一边演示，一边叙述)：这一个三角板的60°的角与另一个三角板的30°的角加起来正好是90°，那么我们说这两个角是互为余角．
同学们应注意：(强调)
(1)互为余角是对两个角而言的．
(2)互为余角仅仅表明了两个角的数量关系，而没有限制角的位置关系．
［生］老师，我们知道了：两个角的和是直角，则这两个角是互为余角．刚才我们还讨论了：∠1＋∠ADF＝180°，∠EDB＋∠1＝180°．
那么这样的两个角又叫什么呢？
［师］这位同学问得好，这就是我们要学习的另一个概念：互为补角．即：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角(supplementary angle)．（参看课件：补角的概念）
互为补角的概念的理解与互为余角的理解基本一样．哪些同学能尝试的说一下呢？
［生甲］只要满足∠1＋∠ADF＝180°，就可知道∠1与∠ADF是互为补角．反之知道∠1与∠ADF是互为补角，就一定可知道∠1与∠ADF的和是平角．
［生乙］∠1与∠ADF是互为补角，就是说：∠1是∠ADF的补角，∠ADF也是∠1的补角．
［生丙］互为补角也是对两个角而言的．与角的大小有关，而与位置无关．
［生丁］∠EDB与∠1也是互为补角．
［师］同学们回答得真棒．互为余角、互为补角都是针对两个角而言的，仅仅表示了两个角之间的数量关系，并没有限制角的位置关系．
好，下面大家来想一想．
在下图中，CD与EF垂直，∠1＝∠2．
(1)哪些角互为余角？哪些角互为补角？
(2)∠ADC与∠BDC有什么关系？为什么？
(3)∠ADF与∠BDE有什么关系？为什么？

图2-2
(同学们分组讨论，得结论)
［生甲］在图中：∠1与∠ADC、∠2与∠ADC、∠BDC与∠1、∠BDC与∠2都是互为余角．
∠1与∠ADF、∠EDB与∠1、∠ADF与∠2、∠EDB与∠2都是互为补角．
［生乙］∠ADC与∠BDC相等，因为：
∠ADC＋∠1＝90°，∠BDC＋∠1＝90°
所以：∠ADC＝90°-∠1＝∠BDC．
［生丙］∠ADC与∠BDC相等的理由还可以这样说：因为∠ADC＋∠1＝90°，∠BDC＋∠2＝90°，所以∠ADC＝90°-∠1，∠BDC＝90°-∠2，又因为∠1＝∠2，所以∠ADC＝∠BDC．
［生丁］老师，是不是这样：∠ADC是∠1的余角，∠BDC也是∠1的余角，所以∠ADC与∠BDC就相等．因此可以说：同一个角的余角相等．∠ADC是∠1的余角，∠BDC是∠2的余角，而∠1与∠2相等．所以∠ADC与∠BDC相等．因此可以说：相等的角的余角相等．
［师］丁同学总结得很好．大家的意见怎么样？
［生齐声］丁同学总结得对．
［师］很好，这就得出互为余角的性质：
同角或等角的余角相等．（参看课件补角的性质）
接下来看第三个问题：
(同学们踊跃发言，得出结论)
［生］∠ADF与∠BDE相等．因为∠1＋∠ADF＝180°，∠1＋∠BDE＝180°，所以，∠ADF＝180°-∠1＝∠BDE．还可以这样说：
因为∠1＋∠ADF＝180°，∠2＋∠BDE＝180°，所以∠ADF＝180°-∠1，∠BDE＝
180°-∠2，又因为∠1＝∠2，所以∠ADF＝∠EDB．
因此得出结论：
同角或等角的补角相等．
［师］同学们表现得很好，通过讨论，得出互为余角、互为补角的性质：
同角或等角的余角相等．
同角或等角的补角相等．
接下来，我们议一议．
(可用电脑演示，也可用实物剪刀实际操作，然后提问．)(出示投影片台球桌面上的角B)
(1)用剪刀剪东西时，哪对角同时变大或变小？
(2)如果将剪刀的图形简单表示为下图，请问：∠1与∠2的位置有什么关系？它们的大小有什么关系？为什么？

图2-3
［生甲］(1)用剪刀剪东西时，相对的角同时变大或变小．
［生乙］图中的∠1与∠2有公共的顶点O，且角的两边互为反向延长线．
∠1与∠2相等，因为∠1是∠BOC的补角，∠2也是∠BOC的补角．由同角的补角相等，可得∠1与∠2相等．
［师］很好，像这样，直线AB与直线CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫对顶角．
如图中的∠AOD与∠BOC也是对顶角．
由对顶角的概念可知，对顶角的本质特征是：两个角有公共顶点，两个角的两边互为反向延长线．
所以要在图形中准确地找出对顶角，需两看：
(1)看是不是两条直线相交所得的角；
(2)看是不是有公共顶点而没有公共边(或不相邻)的两个角．
另外，从对顶角的定义还可知：对顶角总是成对出现的，它们是互为对顶角；一个角的对顶角只有一个．
接下来大家想一想：对顶角有什么性质？
［生齐声］对顶角相等．
［师］好，“对顶角相等”是对顶角的重要性质．
下面大家来议一议
如图(P52的上图)所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数，你能说出所量角是多少度吗？你的根据是什么？
［生甲］根据对顶角相等，可以得出所量角的度数是40°．
［生乙］我利用补角可得出所量角的度数是180°-140°＝40°．
［师］同学们能利用学过的有关事实解决实际问题，这很好．
下面我们来做一练习，以巩固所学内容．
Ⅲ．课堂练习
1．下图中有对顶角吗？若有，请指出，若没有，请说明理由．

图2-4
答案：图(1)、(2)、(3)中没有对顶角，因为这三个图形中的∠1、∠2不是两条直线相交所形成的．图(4)中有对顶角，分别是∠1与∠3；∠2与∠4．
2．判断对错
(1)顶点相对的角是对顶角．(　)
(2)有公共顶点，并且相等的角是对顶角．(　)
(3)两条直线相交，有公共顶点的角是对顶角．(　)
(4)两条直线相交，有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角．(　)
答案：×　×　× √
(举反例说明)
Ⅳ．课时小结
这节课我们学习了三个定义、三个性质，现在来总结一下：
定义：
互为余角：如果两个角的和是直角，则这两个角互为余角．
互为补角：如果两个角的和是平角，则这两个角互为补角．
对顶角：像这样直线AB与直线CD相交于O，∠1与∠2有公共顶点，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．
注意：
(1)互为余角、互为补角只与角的度数有关，与角的位置无关．
(2)对顶角的判断条件：
性质：
同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等．
对顶角相等．
Ⅴ．课后作业
(一)课本P52习题2．1　1、2、3
(二)1．预习内容：P53~54
2．预习提纲
(1)直线平行的条件是什么？
(2)同位角的概念．
(3)会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线．
Ⅵ．活动与探究
两条直线相交于一点，有_______对对顶角，三条直线相交于一点，有_______对对顶角．……n条直线相交于一点，共可组成_______对对顶角．
［过程］让学生在讨论的过程中，学会归纳．两条直线相交于一点和三条直线相交于一点较简单，可得出．那n条直线呢？
设n条直线为a1，a2，…，an
以a1为边所得到的对顶角数为2(n-1)．
以a2为边所得到的新对顶角数为2(n-2)．
…
以an-2为边得到的新对顶角数为2×2．
以an-1为边得到的新对顶角数为2×1．
加起来得n(n-1)对对顶角．
［结果］两条直线相交于一点，有2对对顶角，三条直线相交于一点，有6对对顶角，n条直线相交于一点，共有n(n-1)对对顶角．
七、板书设计
台球桌面上的角
一、台球桌面上红球滑过的痕迹

图2-5
∠1＋∠ADC＝90°
∠1＋∠BDC＝90°
∠1＋∠ADF＝180°
∠1＋∠BDE＝180°
二、互为余角、互为补角的定义
三、互为补角、互为余角的性质
同角或等角的余角相等．
同角或等角的补角相等．
四、对顶角的定义

五、对顶角的性质：
对顶角相等．
六、练习
七、小结
八、作业