资源描述
课题：第十四讲 线段、角、相交线与平行线
教学目标：
1．了解直线、线段、射线的相关性质以及线段的中点、线段的和、差的意义．
2．理解角的有关概念，熟练进行角的运算．
3．了解补角、余角、对顶角、垂线、垂线段等概念及性质．
4．会识别同位角、内错角和同旁内角，掌握相交线与平行线的定义，熟练运用垂线的性质，平行线的性质和判定．
教学重点与难点：
重点：掌握线段及角的相关概念，能熟练进行运算，理解平行线与各种角的关系．
难点：掌握线段的中点、角平分线、余角、补角、对顶角以及它们的性质及应用．
课前准备：多媒体课件，分类题组．
教学过程:
一、课前热身，把脉学情
活动内容：利用3分钟进行课前测试
【自主测试】
1．如图，C，D是线段AB上两点，若CB＝4 cm，DB＝7 cm，且D是AC的中点，则AC的长为( )
A．3 cm B．6 cm
C．11 cm D．14 cm
（对于线段的图形感知，理解线段的中点的含义）
2．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB＝55°，则∠BOD的度数是( )
A．35° B．55° C．70° D．110°
（对于两直线相交的图形感知，理解角的平分线及补角、对顶角的含义）
3．如图所示，∠1＋∠2＝( )
A．60° B．90°
C．110° D．180°
（感知垂直这一特殊的位置关系，理解角的互余关系）
4．下列四个角中，最有可能与70°角互补的角是( )
（理解角的互补关系，同时渗透角的分类）
5．如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝__________．
（感知两直线的平行或相交的特殊位置关系，掌握两直线平行的判定及性质）
处理方式：利用课前时间进行测试，学生自主完成．以上5个习题各有用意，重在引出本节课要复习的琐碎的知识点，布置时可给学生适当说明．测试时间为3~5分钟，具体时间视情况而定，测试完成后组长或教师批改，收集细致数据，统计每道小题正确率．
答案：1． B． 2． C． 3． B． 4． D． 5． 118°．
设计意图：本环节主要是利用5道基础的选择题目测试一下学生的掌握情况，课前测试的反馈可以让老师对学生的学情进行初步的把握，并可以及时对本课的内容进行有侧重点的调整．另外，这样设计的主要用意是在复习知识点前，提前让学生感知几乎遗忘的几何初步知识，不至于复习起来那么唐突，便于学生心理的接受和适应．
二、命题趋势，知识建构
【命题趋势】
在我市的中考中，对这部分内容命题的难度较小，主要以选择题、填空题的形式出现，重点考查互为余角、互为补角的角的性质、平行线的性质与判定的应用．
设计意图：让学生了解、明确中考对本节知识点的要求，使学生在复习过程中明确复习的方向,把握复习的重点．
【知识梳理】
（一）直线、射线、线段
1．直线的基本性质
经过两点有且只有一条直线，即：两点确定一条__________________．
2．线段的性质
所有连接两点的线中，线段最短，即：两点之间______最短．
3．线段的中点
把一条线段分成两条________线段的点，叫做这条线段的中点．
4．直线、射线、线段的区别与联系
有几个端点
向几个方
向延伸
表示
图形
直线
0
2
两个大写字母或
一个小写字母
射线
1
1
两个大写字母
线段
2
0
两个大写字母或
一个小写字母
（二）角的有关概念及性质
1．角的有关概念
角是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．射线端点叫做角的顶点，两条射线是角的两边．从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线就叫做这个角的________．
2．角的单位与换算
1°＝60′，1′＝60″，1周角＝2平角＝4直角．
3．余角与补角
如果两个角的和等于________，就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于______，就说这两个角互为补角．同角(或等角)的余角________；同角(或等角)的补角___ ___．
4．对顶角与邻补角
在两条相交直线形成的四个角中，如果两个角有公共顶点，一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角称为对顶角．如果两个角有公共顶点，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，这样的两个角为邻补角．对顶角________，邻补角________．
（三）垂线的性质与判定
1．垂线及其性质
垂线：两条直线相交所构成的四个角中有一个角是__________，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．
性质：(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；(2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．(简说成：垂线段最短)
2．点到直线的距离
直线外一点到这条直线的________的长度，叫做点到直线的距离．
3．判定
若两条直线相交且有一个角为直角，则这两条直线互相垂直．
（四）平行线的性质与判定
1．概念
在同一平面内，不相交的两条直线，叫做平行线．
2．平行公理
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
3．性质
如果两条直线平行，那么同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
4．判定
同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；在同一平面内垂直于同一直线的两直线________，平行于同一直线的两直线______．
师：通过刚才大家的思考和交流，这些概念性质等已经重新在大家的头脑中建立起来，那么熟练地运用它们解决问题就是这节课我们复习的重点．
处理方式：有了前面几道习题的铺垫，学生心中基本有了对于几何初步的感知，基本了解了相关知识点，这里师生共同回忆、汇总基本知识和基础概念，能够起到覆盖知识点的目的，同时学生对于本部分知识也基本上形成了知识的网络化．
设计意图：通过基本概念等知识的回顾，让学生重新梳理遗忘的知识，为后面利用概念性质解决相关问题作准备．
三、梳理考点，典例剖析
考点一、直线、射线、线段
【例1】在直线l上任取一点A，截取AB＝16 cm，再截取AC＝40 cm，求AB的中点D与AC的中点E的距离．
解：(1)当C在AB的延长线上时，如图， ∵D是AB的中点，AB＝16 cm，
∴AD＝AB＝×16＝8(cm)．
∵E是AC的中点，AC＝40 cm，
∴AE＝AC＝×40＝20(cm)．
∴DE＝AE－AD＝20－8＝12(cm)．
(2)当C在BA的延长线上时，如图，由(1)知AD＝8 cm，AE＝20 cm．
∴DE＝AE＋AD＝20＋8＝28(cm)．
答：D点与E点的距离是12 cm或28 cm．
方法总结：对于线段的和、差关系以及线段的中点问题的计算，需结合图形，认真观察分析．若已知线段上给出的点未明确其位置，还需要分类讨论，千万不要漏解．
跟踪训练1 如图，点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，若AB＝12，AC＝8，则CD＝__________．
考点二、角的计算
【例2】如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝100°，则∠BOD的度数是( )
A．20° B．40°
C．50° D．80°
解：∵OA平分∠EOC，∠EOC＝100°，
∴∠AOC＝∠EOC＝50°．
又∵∠BOD与∠AOC是对顶角，
∴∠BOD＝∠AOC＝50°，故选C．
答案：C
方法总结：解决有关图形中的角的计算问题时，首先要从图形中读出具有度量关系的角，如互余、互补、对顶角等，然后合理利用相关的定义、性质求解．
跟踪训练2 如图，直线EO⊥CD，垂足为点O，AB平分∠EOD，则∠BOD的度数为( )
A．120° B．130°
C．135° D．140°
考点三、平行线的性质与判定
【例3】如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝55°，则∠4的度数是( )
A．110° B．115° C．120° D．125°
解：∵∠2＝∠6，∠1＝∠2，∴∠1＝∠6，
∴l1∥l2，∴∠3＋∠5＝180°．
∵∠3＝55°，∴∠5＝125°．
∵∠4与∠5是对顶角，
∴∠4＝∠5＝125°，故选D．
答案：D
方法总结：平行线的性质和判定常用来解决下列问题：
(1)作图形的平移；
(2)证明线段或角相等；
(3)证明两直线平行；
(4)证明两直线垂直．
跟踪训练3 如图，已知直线a∥b，∠1＝40°，∠2＝60°，则∠3等于( )
A．100° B．60° C．40° D．20°
处理方式：有了前面的知识结构，学生大体上明确了本部分内容的知识脉络，再次主要以例题的形式归纳几个常考的考点，起到举一反三的作用，具体处理方式是例题学生先独立思考然后分析思路，教师适时点拨归纳方法，后面的跟踪训练由学生独立完成，教师只对答案．
设计意图：通过以上考点和典例的分析，让学生对中考中那个所涉及到的题型有了大致了解，对于中考的考点也基本上能做到心中有数．
四、综合运用，能力提升
【例题】(1)如图，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．
(2)如果(1)中∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数．
(3)如果(1)中∠BOC＝β(β为锐角)，其他条件不变，求∠MON的度数．
(4)从(1)，(2)，(3)的结果能看出什么规律？
(5)线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法，请你模仿(1)～(4)，设计一道以线段为背景的计算题，写出其中的规律来．
解：(1)∠MON＝∠COM－∠CON＝∠AOC－∠BOC＝×120°－×30°＝45°；
(2)∠MON＝∠COM－∠CON＝∠AOC－∠BOC＝ (α＋30°)－×30°＝α；
(3)∠MON＝∠COM－∠CON＝∠AOC－∠BOC＝ (90°＋β)－β＝45°；
(4)∠MON的大小等于∠AOB的一半，而与∠BOC的大小无关；
(5)如图，设线段AB＝a，延长AB到C，使BC＝b，点M，N分别为AC，BC的中点，求MN的长．
规律是：MN的长度总等于AB的长度的一半，而与BC的长度无关．
处理方式：处理时借助学生的小组合作学习的模式，引导学生与同伴交流探索，发现题目的规律．同时，因为这道题目是一道开放题目，特别是对于第5问的开放式问题，有助于学生的思维发撒和能力提升．
设计意图：这是一道非常好的以角、线段为载体的综合题目，学生在解决问题的过程中潜移默化的感受到了由特殊到一般的数学问题的研究规律，同时变式训练，拉近了角与线段的联系．
五、题组训练，直击中考
1．（2014金华）如图，经过刨平的木析上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线． 能解释这一实际问题的数学知识是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
2．（2014襄阳）如图2，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=55°，则∠1等于（ ）
A．35° B．45°
C．55° D．65°
3．（2014滨州）如图3，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD的度数为（ ）
A．50° B．60°
C．65° D．70°
4．（2014泰安）如图4，把一直尺放置在一个三角形纸片上，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1+∠6＞180° B．∠2+∠5＜180°
C．∠3+∠4＜180° D．∠3+∠7＞180°
处理方式：本部分的中考题组主要由学生独立思考，然后小组内交流可能存在的障碍，由小组选派代表讲解自己的分析思路，最后教师精当点拨．
设计意图：在学生对于本部分内容基本之后以中考题组的形式进行训练，既锻炼了能力，也让学生明晰了中考题中的本部分知识的考查方法．
六、总结反思，感悟收获
问题1本节课你学到了哪些内容？
问题2本节课你学到哪些数学思想方法？
数形结合的思想 （如在解决线与角的问题时，我们常会借助图形来分析完成）
方程的思想 （如通过列方程求角度的大小、求线段的长度等）
分类讨论的思想 （如画图时考虑线段或角的不同位置关系等）
处理方式：
对于问题1，让学生自己回顾本节课所复习的内容，以及需要注意的问题后，举手回答，其他同学补充，然后师生共同建构知识体系；
对于问题2，学生可能一时不一定能够相处，教师可以以回顾前面所做过的题目的形式简单渗透数学中常见的思想方法即可．
设计意图：让学生畅所欲言，交流各自的收获，师生共同回顾习题的解决过程来建构知识体系，形成头脑中的知识脉络，同时渗透了数学思想方法的教育．
七、达标检测，反馈矫正
必做题
1．如图1，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（ ）
A．0个 B．l个 C．2个 D．3个
2．将一长方形纸片，按图2的方式折叠，BC，BD为折痕，则∠CBD的度数为（ ）
A．60° B．75° C．90° D．95°
图1 图2 图3 图4
3．如图3，AB∥EF∥DC，EG∥BD，则图中与∠1相等的角共有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．2个
4．如图4，直线AD与AB、CD相交于 A、D两点，EC、BF与AB、CD交于点E、C、B、F，且∠l=∠2，∠B=∠C，
求证：∠A=∠D．
选做题
5． 如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1＝50°，则∠AEG＝__________．
6．平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线．若平面内的不同n个点最多可确定15条直线，则n的值为 ．
处理方式：根据教学时的剩余时间，以及学生的掌握情况，可以适当取舍题目，让学生自主完成．
设计意图：本环节设计了6道题目，分别是4道必做题和2道选做题，充分体现分层教学，也能让不同的学生在数学上得到不同的发展．
八、布置作业，课后促学
《新课程初中复习指导丛书》 P75-76．
（要求学生：通过做题明确存在疑难的题目，为二次过关做好准备）
板书设计：
第14讲 线段、角、相交线与平行线
一、基本概念性质回顾：
二、典例分析
三、巩固练习学生板演区
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