资源描述
教案
教师：__________ 科目： __________ 学生：________ 上课时间：________
第一讲 有理数
【本将教学内容】
有理数及运算、绝对值、相反数、科学记数法、探索规律等中考常见题型
1. 基本概念
（1）有理数
从数的正负性来分，有理数可以分为：正数、负数和零；从一个数是否为整数来分，可以分为：整数和分数．如果将上述两个标准结合起来分类，有理数则可以分为：正整数、正分数、负整数、负分数和零．
（2）数轴
数轴是我们认识数、研究数的一个重要手段，它建立了数和直线上的点的对应关系，为研究数与形的问题拓展了新的思路，即可以借助图形的帮助来研究数的有关问题．①数轴有三大要素：原点、单位长度和正方向．②任何一个有理数在数轴上都有唯一的一个点和它对应．
（3）相反数
相反数的特征：若a与b互为相反数，那么a＋b＝0，反之，若a＋b＝0，那么a和b互为相反数．从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点分别在原点的两旁，并且到原点的距离相等．a的相反数是－a，0的相反数是0．反之，－a的相反数是a，即有－（－a）＝A.
（4）倒数
倒数的特征：如果a、b互为倒数，那么ab＝1，反之亦然．0没有倒数．
（5）绝对值
一个数的绝对值，从数轴上看，就是这个数所对应的点到原点的距离．即如果数a在数轴上的对应点是A，那么，点A到原点O的距离就是a的绝对值，记作︱a︱．因此，︱a︱＝绝对值具有这样的性质：对于任意的数a，它的绝对值不小于0，即︱a︱≥0．
2. 基本运算
（1）运算的法则
任何运算都是按照一定规则进行的．在将非负数扩大到有理数后，有理数计算规则的制定应当使原来的运算律仍然适用，应当使新的规则用到原来的非负数上时，与原来计算规则运算的结果相同．
运算法则必须对所有可能的运算情况进行说明，同时，因为一个有理数由符号和绝对值两部分组成，因此，运算法则还应从符号和绝对值的确定两个方面来说明．
有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0，绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并且用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数．
有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数与0相乘，积为0．
减法法则可用加法法则来规定：a－b＝a＋（－b）．
除法可转化为乘法来计算：a÷b＝a×（其中除数不能为0）．
这里，“同号”、“异号”用符号表达是简洁的：如果ab＞0，则a、b同号，反之亦然；如果ab＜0，则a、b异号，反之亦然；ab＞0，有两种情况：a＞0，b＞0；和a＜0，b＜0；ab＜0也有两种情况：a＞0，b＜0和a＜0，b＞0．
正如连加可以用乘法来简化计算一样，连乘可以用乘方来表示．
乘方的意义：an＝（n为正整数）．其中当a＝0时，an＝0；当a＞0时，an＞0；当a＜0时，若n为奇数，an＜0，若n为偶数，an＞0．
（2）运算律
运算是整个代数的基础与核心，灵活运用运算律是正确、顺利、快速解决问题的法宝．
有理数的主要运算律有：
加法交换律：a＋b＝b＋a；
乘法交换律：ab＝ba；
加法结合律：a＋（b＋c）＝（a＋b）＋c；
乘法结合律：a（bc）＝（ab）c；
加法对乘法的分配律：a（b＋c）＝ab＋aC.
3. 运算的顺序
进行有理数的运算时，要遵循先乘方，再乘除，最后加减；对于同级运算，一般按从左到右的顺序进行；如果有括号的，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
【例题精讲】
例1. （1）已知有理数a、b在数轴上对应点如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A. ab＞0 B. ︱a︱＞︱b︱ C. a－b＞0 D. a＋b＞0
（2）比较－，－，的大小，下列选项中正确的结果是（ ）
A. －＜－＜ B. －＜＜－
C. ＜－＜－ D. －＜－＜
分析：（1）由数轴上a、b对应点的位置可知0＜a＜1，b＜－1，故a、b异号，即ab＜0，否定A选项；又︱a︱＜1，︱b︱＞1，即︱a︱＜︱b︱，选项B错误；因为a＞0＞b，所以a－b＞0，选项C正确；由︱a︱＜︱b︱且a＞0，b＜0，得a＋b＜0，选项D错误．（2）因为正数大于一切负数，所以三个数中最大．又因为︱－︱＝＝，︱－︱＝＝，︱－︱＞︱－︱，所以－＜－，即－＜－＜．
解：（1）C（2）A
评析：借助数轴可以加深对绝对值等知识的理解，使用数轴比较有理数的大小更直观．
例2. 计算：（1）－9÷3＋（－）×12＋32； （2）×（－9）＋×（－18）＋；
（3）－69×8．
分析：（1）中涉及有理数的加、减、乘、除与乘方，用运算法则进行运算，其中可以运用分配律简化运算，（－）×12＝×12－×12＝6－8＝－2；（2）中各部分含有相同因数，所以可想到逆用分配律计算；（3）题先确定符号，然后把绝对值69化成（70－）再与8相乘比较简便．
解：（1）－9÷3＋（－）×12＋32
＝－3＋×12－×12＋9
＝－3＋6－8＋9
＝4
（3）－69×8
＝－（70－）×8
＝－（70×8－×8）
＝－559
（2）×（－9）＋×（－18）＋
＝×（－9－18＋1）
＝×（－26）
＝－14
评析：在进行有理数的计算时，切记要灵活．在拿到题目之前先要看看题目的特点，选择恰当的运算性质，尤其是分配律的正向和反向应用．正确应用运算律会起到事半功倍的效果．
例3. 若ab≠0，则＋的取值不可能是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. －2
分析：本题可利用分析的方法考虑．因为ab≠0，所以ab＞0或ab＜0．
若ab＞0，则可能有两种情况：a＞0，b＞0或a＜0，b＜0．
当a＞0，b＞0时，＋＝1＋1＝2；
当a＜0，b＜0时，＋＝－1－1＝－2；
若ab＜0，则可能有两种情况：a＞0，b＜0或a＜0，b＞0．
当a＞0，b＜0时，＋＝1－1＝0；
当a＜0，b＞0时，＋＝－1＋1＝0．
可能出现的结果有0，2，－2，所以应选B.
解：B
评析：将有理数的基本概念及运算结合，综合考虑．注意分类思想在解题中的应用．
例4. 一条小虫沿一根东西方向放着的长杆向东以2.5米/分的速度爬行4分钟后，又向西爬行6分钟．问此时它距出发点的距离是多少？
分析：我们一般规定向东为正，即向东速度为2.5米/分；向西为负，即向西速度为－2.5米/分．
解：设向东速度为2.5米/分，向西为－2.5米/分．
2.5×4＋（－2.5）×6
＝10－15
＝－5（米）
答：它在距出发点西边5米的地方．
评析：本题是一道有理数乘法与数轴知识综合运用的应用题，可以利用数轴的直观性使问题变得简单．
例5. 有以下两个结论：①任何一个有理数和它的相反数之间至少有一个有理数；②如果一个有理数有倒数，则这个有理数与它的倒数之间至少有一个有理数．则（ ）
A. ①，②都不对 B. ①对，②不对
C. ①，②都对 D. ①不对，②对
分析：①中的说法我们可以想象在一条数轴上原点的两边如±1，±2，…这样的两个非零有理数之间存在“间隙”，也就是说它们之间一定有另外的有理数．但是0的相反数是0，0和它的相反数0之间就没有“间隙”了，所以①错；②中按照①的分析方法，如果一个数的倒数等于它本身，那么说法②就是错的，我们知道1的倒数是1，－1的倒数是－1，显然②这种说法也不对．
解：A
评析：此题非常巧妙地考查了有关相反数和倒数的知识，解决这类问题时要先考虑普通数，再考虑特殊数，如0，±1，等．这一章有不少是用特殊值解答的题，要求同学们把几项特殊值牢固地装在心里，如：绝对值最小的数是0；最小的自然数是0，最小的正整数是1，最大的负整数是－1，倒数等于本身的数是1和－1，相反数等于本身的数是0；互为相反数的两个数的和是0，互为倒数的两个数的积是1等．
例6. 23，33和43分别可以按如图所示方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，63也能按此规律进行“分裂”，则63“分裂”出的奇数中最大的是（ ）
A. 41 B. 39 C. 31 D. 29
分析：观察数字排列规律发现：一个数能“分裂”成的奇数中最大的那个奇数在最下面，且这个奇数与这个数的关系是：5＝2×3－1；11＝3×4－1；19＝4×5－1；…；那么63能“分裂”出的最大的奇数应是：6×7－1＝41．
解：A
评析：解此类题要认真观察、分析、探究数字的排列规律，找出所求数字的位置的有关数据．
例7.
分析：
解：
注意：绝对值、倒数、相反数的知识很重要，要牢记概念，不要混淆，一个题中都涉及这些知识时，都一定要细心分辨，灵活运用。
【精选练习】
一、选择题
1． 下列说法正确的个数是( )
①一个有理数不是整数就是分数 ②一个有理数不是正数就是负数
③一个整数不是正的，就是负的 ④一个分数不是正的，就是负的
A 1 B 2 C 3 D 4
2． a,b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如下图所示：
把a,-a,b,-b按照从小到大的顺序排列( )
A -b＜-a＜a＜b B -a＜-b＜a＜b C -b＜a＜-a＜b D -b＜b＜-a＜a
3． 下列说法正确的是 ( )
①0是绝对值最小的有理数 ②相反数大于本身的数是负数
③数轴上原点两侧的数互为相反数 ④两个数比较，绝对值大的反而小
A ①② B ①③ C ①②③ D ①②③④
4.下列运算正确的是 ( )
A B －7－2×5=－9×5=－45
C 3÷ D －(-3)2=-9
5.若a+b＜0,ab＜0,则( )
A a＞0,b＞0 B a＜0,b＜0
C a,b两数一正一负，且正数的绝对值大于负数的绝对值
D a,b两数一正一负，且负数的绝对值大于正数的绝对值
6．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上分别标有质量为（25±0.1）kg,（25±0.2）kg, （25±0.3）kg的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（ ）
A 0.8kg B 0.6kg C 0.5kg D 0.4kg
7.一根1m长的小棒，第一次截去它的，第二次截去剩下的，如此截下去，第五次后剩下的小棒的长度是（ ）
A ()5m B [1－()5]m C ()5m D [1－()5]m
8．若ab≠0,则的取值不可能是（ ）
A 0 B 1 C 2 D -2
二、填空题。
9．比大而比小的所有整数的和为 。
10．若那么2a一定是 。
11．若0＜a＜1,则a,a2,的大小关系是 。
12．多伦多与北京的时间差为 –12 小时（正数表示同一时刻比北京时间早的时数），如果北京时间是10月1日14：00，那么多伦多时间是 。
13上海浦东磁悬浮铁路全长30km，单程运行时间约为8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为 m／min。
14．规定a﹡b=5a+2b-1,则(-4)﹡6的值为 。
15．已知=3，=2，且ab＜0,则a-b= 。
16．已知a=25,b= -3,则a99+b100的末位数字是 。
三、计算题。
17． 18. 8－2×32－(-2×3)2
19. 20.[-38-(-1)7+(-3)8]×[-53]
21. –12 × (-3)2－(-)2003×(-2)2002÷ 22. –16－(0.5-)÷×[-2-(-3)3]－∣－0.52∣
四、解答题。
23． 已知1+2+3+…+31+32+33==17×33，求1-3+2-6+3-9+4-12+…+31-93+32-96+33-99的值。
24．在数1，2，3，…，50前添“+”或“－”，并求它们的和，所得结果的最小非负数是多少？请列出算式解答。
25．某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶纪录如下。（单位：km）
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
－4
＋7
－9
＋8
＋6
－5
－2
（1）求收工时距A地多远？
（2）在第 次纪录时距A地最远。
（3若每km耗油0.3升，问共耗油多少升？
26．如果有理数a,b满足∣ab－2∣+(1－b)2=0，
试求+…+的值。
【中考回顾】
一、选择题
．(2009年南充)计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【关键词】幂的运算
【答案】A
．(2009年本溪)如果与1互为相反数，则等于（ ）
A．2 B． C．1 D．
【关键词】绝对值与互为相反数
【答案】C
．（2009年日照）某市2009年元旦的最高气温为2℃，最低气温为－8℃，那么这天的最高气温比最低气温高 ( )
Ａ.-10℃ Ｂ.-6℃ Ｃ.6℃ Ｄ.10℃
【关键词】有理数运算
【答案】D.
．（2009年安徽）的值是【 】
A．9 B.－9 C．6 D．－6
【关键词】有理数运算
【答案】A
．（2009年嘉兴市）若，则x的倒数是（ ）
A． B． C． D．6
【关键词】倒数
【答案】A
．（2009年嘉兴市）实数x，y在数轴上的位置如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【关键词】数轴
【答案】B
．（2009泰安）下列各式，运算结果为负数的是
（A） （B） （C） （D）
【关键词】有理数的运算、负数
【答案】D
．(2009年鄂州)根据下图所示，对a、b、c三种物体的质量判断正确的是（ ）
A、a<c B、a<b C、a>c D、b<c
【关键词】有理数比较大小
【答案】C
．（2009恩施市）若，则的值是（ ）
A． B．3 C． D．
【关键词】绝对值
【答案】D
．（2009年杭州市）如果，那么，两个实数一定是（ ）
A．都等于0 B．一正一负 C．互为相反数 D．互为倒数
【关键词】数轴、绝对值、相反数
【答案】C
．（2009年滨州）对于式子，下列理解：（1）可表示的相反数；（2）可表示与的乘积；（3）可表示的绝对值；（4）运算结果等于8．其中理解错误的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【关键词】相反数.
【答案】C
．（2009年北京市）改革开放以来，我国国内生产总值由1978年的3645亿元增长到2008年的300670亿元。将300670用科学记数法表示应为
A. B. C. D.
【关键词】科学记数法
【答案】B
．（2009年台湾）若a=1.071´106，则a是下列哪一数的倍数？
(A) 48 (B) 64 (C) 72 (D) 81。
【关键词】实数运算
【答案】C
．（2009年台湾） 某天，5个同学去打羽球，从上午8：55一直到上午11：15。若这段时间内，他们一直玩双打(即须4人同时上场)，则平均一个人的上场时间为几分钟？
(A) 112 (B) 136 (C) 140 (D) 175 。
【关键词】有理数计算 140÷5×4=112
【答案】A
．（2009年台湾）已知在数在线，O为原点，A、B两点的坐标分别为a、b。利用下列A、B、O三点在数线 上的位置关系，判断哪一个选项中的|a|<|b|？
A
B
O
A
B
O
B
A
O
O
A
B
A
B
D
C
【关键词】数轴
【答案】B
二、填空题
．(2009年福建省泉州市)计算：（-4）÷2= ．
【关键词】计算
【答案】-2
．（2009年青海）的相反数是 ；立方等于的数是 ．
【关键词】有理数相关概念、立方根
【答案】；
．（2009年广东省）一种商品原价120元，按八折（即原价的80%）出售，则现售价应为 ________元．
【关键词】有理数运算
【答案】96
．（2009贺州）将一根绳子对折1次从中间剪断，绳子变成3段；将一根绳子对折2次，从中间剪断，绳子变成5段；依此类推，将一根绳子对折n次，从中间剪一刀全部剪断后，绳子变成 段．
【关键词】乘方
【答案】；
．（2009年浙江省绍兴市）李老师从油条的制作受到启发，设计了一个数学问题：如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段，对折后（点与重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（如在第一次操作后，原线段上的，均变成，变成1，等）．那么在线段上（除，）的点中，在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数之和是____________．
．（2009湖北省荆门市）定义，则______．
解析：本题是一种新定义运算题，定义，
所以，故填－2
【关键词】有理数运算
【答案】－2
．（2009 年佛山市）黄金分割比是=，将这个分割比用四舍五入法精确到0.001的近似数是 ．
【关键词】近似数
【答案】0.618
．（09湖南邵阳）受甲型H1N1流感影响，猪肉价格下降了30%，设原来的猪肉价格为元/千克，则现在的猪肉价格为 元/千克．
【关键词】有理数运算
【答案】（或或）
．（09湖南怀化）若则 ．
【关键词】绝对值、平方根、有理数运算
【答案】3
．（2009年哈尔滨）4支排球队进行单循环比赛（参加比赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），则总的比赛场数为 场
【关键词】有理数运算的应用
【答案】6. 此问题可通过画图求解。设这4支球队分别为A，B，C，D，则可能的情况有：AB，AC，AD，BC，BD，CD，一共就这6种情况
．（2009年南宁市）正整数按图的规律排列．请写出第20行，第21列的数字 ．
第一行
第二行
第三行
第四行
第五行
第一列
第二列
第三列
第四列
第五列
1
2
5
10
17
…
4
3
6
11
18
…
9
8
7
12
19
…
16
15
14
13
20
…
25
24
23
22
21
…
……
【关键词】有理数运算、归纳猜想
【答案】420
．（2009年孝感）若,且,,则 ．
【关键词】绝对值的意义
【答案】49或1;
．（2009年河南）下图是一个简单的运算程序.若输入X的值为﹣2,则输出的数值为 .
【关键词】有理数的运算
【答案】6
．（2009年吉林省）若 ．
【关键词】绝对值、有理数运算
【答案】
．（2009年滨州）大家知道，它在数轴上的意义是表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．类似地，式子在数轴上的意义是 ．
【关键词】绝对值的意义.
【答案】表示a的点与表示-5的点之间的距离.
三、解答题
．（2009年凉山州）我们常用的数是十进制数，如，数要用10个数码（又叫数字）：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：0和1，如二进制中等于十进制的数6，等于十进制的数53．那么二进制中的数101011等于十进制中的哪个数？
【关键词】二进制、幂的表示
【答案】
．（2009年广西钦州）当时，比较1＋b与1的大小；
【关键词】比较数的大小
【答案】：解：（1）∵b≠0时，∴b＞0或b＜0．
当b＞0时，1＋b＞1，
当b＜0时，1＋b＜1；
．（2009年重庆）据重庆市统计局公布的数据，今年一季度全市实现国民生产总值约为7840000万元．那么7840000万元用科学记数法表示为 万元．
【关键词】科学记数法
【答案】7.84×106．
．（2009年福州）（1）计算：22-5×+
【关键词】有理数运算
【答案】原式＝４－１＋２
＝３＋２
＝５．
．（2009白银市）在实数范围内定义运算“”，其法则为：，求方程（43）的解．
【关键词】有理数的运算、一元二次方程的解法
【答案】解：∵ ， ∴ ．
∴ ． ∴ ．
∴
．（2009年甘肃白银）本试卷第19题为：若，，试不用将分数化小数的方法比较a、b的大小．观察本题中数a、b的特征，以及你比较大小的过程，直接写出你发现的一个一般结论．
【关键词】实数
【答案】本小题满分7分
解：学生可能写出不同程度的一般的结论，由一般化程度不同得不同分．
若m、n是任意正整数，且m＞n，则
若m、n是任意正实数，且m＞n，则．
若m、n、r是任意正整数，且m＞n；或m、n是任意正整数，r是任意正实数，且m＞n，则．
若m、n是任意正实数，r是任意正整数，且m＞n；或m、n、r是任意正实数，且m＞n，则．
【参考答案】
一、选择题：1-8：BCADDBCB
二、填空题：
9．-3； 10．非正数； 11．； 12．2：00； 13．3．625×106； 14．-9； 15．5或-5； 16．6
三、计算题17．-9； 18．-45； 19．； 20．； 21．； 22．
四、解答题：23．-2×17×33； 24．0； 25．（1）1（2）五（3）12．3； 26．
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