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课题：第十八讲 多边形与平行四边形
教学目标：
1．了解多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、外角、对角线等概念；掌握多边形内角和与外角和公式.
2．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理，综合运用它们进行有关计算与推理．
3．了解两条平行线间距离的定义，能度量两条平行线间的距离.
教学重点与难点：
重点：多边形内外角和公式、平行四边形的性质与判定.
难点：灵活利用平行四边形的性质定理与判定定理．
考点分析：四边形与三角形都是平面几何的基本图形，这部分知识的中考试题除考察基础知识、基本技能外，还考察基本思想、基本活动经验，如对多边形、四边形问题能否运用转化思想转化为三角形问题加以解决．另外，这部分知识常与图形的平移、对称（轴对称—折叠、中心对称）、旋转结合，考察数学的发现与探究能力，而图形的剪拼还考察空间想象能力和发散思维能力．
教学过程:
一、趣题导入
１．如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（ ）
A．
13
B．
14
C．
15
D．
16
变式题目：一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数可能为__________．
处理方式：第１题比较简单，只要掌握多边形的内角和公式即可解决，针对此题设计了一道变式练习，可以让学生小组讨论，或者拿出手中的多边形纸片用剪刀现场操作体验截去一个角应该分不同的类型，从而得出正确的额结论．
设计意图：通过一道简单题目让学生了解我们今天复习的内容是第五单元四边形与多边形，变式题目的设计可以让学生除了动脑外也可以借助动手来体会题目内容的丰富性，以及数学中分类讨论的思想，小组合作的目的是通过多人合作探究出题目所有可能的结果．
附变式题目解题思路：
首先求得内角和为720°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数
设内角和为720°的多边形的边数是n，则（n﹣2）•180=720，解得：n=6
若截去一个角的多边形的直线经过两个顶点，则原多边形是七边形；若截去一个角的多边形的直线经过一个顶点，则原多边形是六边形；若截去一个角的多边形的直线不经过顶点，则原多边形是五边形。
∴原多边形的边数为5或6或7．
二、知识梳理
（一）、多边形：
1．定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段 相连组成的 图形叫做多边形，各边相等 也相等的多边形叫做正多边形．
2．多边形的内外角和：
n边形(n≥3)的内角和是 _____ 外角和是 正n边形的每个外角的度数是 ，每个内角的度数是 _____ ．
3．多边形的对角线：
多边形的对角线是连接多边形 的两个顶点的线段，从n边形的一个顶点出发有_____ 条对角线，将n边形分成 个三角形，一个n边形共有 条对边线．
（二）、平行四边形
1、定义：两组对边分别__________的四边形是平行四边形，平行四边形ABCD可写成______ _____ ．
2、平行四边形的特质：
⑴平行四边形的两组对边分别_________________ ．
⑵平行四边形的两组对角分别_______________ ．
⑶平行四边形的对角线 ______________ ．
【备注：1、平行四边形是________ 对称图形，对称中心是______过对角线交点的任一直线被一组对边的线段________ 该直线将原平行四边形分成全等的两个部分．】
3、平行四边形的判定：
⑴用定义判定______________________________________．
⑵两组对边分别____________的四边形是平行四边形．
⑶一组对边_______________ 的四边形是平行四边形．
⑷两组对角分别____________的四边形是平行四边形．
⑸对角线_________________ 的四边形是平行四边形．
【备注：特别的：一组对边平行，另一组对边相等的四边形和一组对边相等、一组对角相等的四边形两个命题都不能保证是平行四边形】
4、平行四边形的面积：计算公式_________ X______________．
同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积 _____________．
（三）、两条平行线之间的距离
如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到_________________________,这个距离称为平行线之间的距离．
处理方式：平行线的性质与判定是本课的重点，教学时可以让学生口述平行四边形的性质定理与判定定理，同时结合图形让学生写出几何语言的表达形式，从数与型两个方面理解平行四边形的性质与判定．
设计意图：平行四边形的性质及判定是中考中常考的内容，常以选择题的形式出现，学生在做此类题时常出现混淆的情况，系统的复习知识点，可以使学生更明确图形的性质. 使学生对整章知识有更系统的理解，既注意了点的复习，又加强了横向的联系，使知识更系统化．
三、典例解析
例１一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是 ________．
分析：多边形的内角和比外角和的3倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是1360度．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
解答：解：根据题意，得
（n﹣2）•180=1360，
解得：n=9．
则这个多边形的边数是9．
跟踪练习：
1． 任意五边形的内角和为
２．一个正多边形的一个外角等于30°，则这个正多边形的边数为_________ ．
３．将一个n边形变成n+1边形，内角和将（ ）
A．减少180° B．增加90° C．增加180° D．增加360°
处理方式：题目内容简单，例题有学生分析，学生讲解，学生板书．跟踪练习题由学生解答后直接对答案．
设计意图：多边形的考察在中考中多以选择填空题的形式出现，考点集中在关于内角和与外角和上，只要熟记多边形的内角和与外角和公式即可．
例2如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的点，∠1=∠2．
（1）求证：BE=DF；
（2）求证：AF∥CE．
分析： （1）利用平行四边形的性质得出∠ABE=∠CDF，根据∠1=∠2得出∠AEB=∠CFD，进而利用全等三角形的判定得出即可；
（2）利用全等三角形的性质得出AE=CF，进而得出四边形AECF是平行四边形，即可得出答案．
解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵∠1=∠2，
∴∠AEB=∠CFD，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF；
（2）由（1）得△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵∠1=∠2，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE．
跟踪练习：
1．如图， □ABCD中，下列说法一定正确的是（ ）
A．
AC=BD
B．
AC⊥BD
C．
AB=CD
D．
AB=BC
２．四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．
OA=OC，OB=OD
B．
AD∥BC，AB∥DC
C．
AB=DC，AD=BC
D．
AB∥DC，AD=BC
３．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若OD=AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．
处理方式：例２是基本题型，考察的是平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，建议由学生来板书解题过程以便规范学生证明题的解题步骤．对应的跟踪训练前２题比较基础，第３题要求学生在作业纸中完成解题过程教师巡视检查．
方法总结：在解决平行四边形的问题时，常常把问题转化为三角形问题来解决，全等更是解决此类问题的首选方法．
设计意图：平行四边形的性质与判定是本课的重点，例２的设计就是为了落实这个基本的复习目标，第２问或许会有学生利用全等来解决也是可以的，教师应该给予鼓励，只是让学生明白利用平行四边形解决此类问题比较简便．
例3如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC．
（1）求证：BE=AF；
（2）若∠ABC=60°，BD=6，求四边形ADEF的面积．
分析：（1）由DE∥AB，EF∥AC，可证得四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，又由BD是△ABC的角平分线，易得△BDE是等腰三角形，即可证得结论；
（2）首先过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，易求得DG与DE的长，继而求得答案．
解答：（1）证明：∵DE∥AB，EF∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，
∴AF=DE，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBE，
∴∠DBE=∠BDE，
∴BE=DE，
∴BE=AF；
（2）解：过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，
∵∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠EBD=30°，
∴DG=BD=×6=3，
∵BE=DE，
∴BH=DH=BD=3，
∴BE==2，
∴DE=BE=2，
∴四边形ADEF的面积为：DE•DG=6．
处理方式：本例难度适中，涉及的知识点较多，而且又添加了两条辅助线，教学时第２问可以教师分析为主，并且由教师板书解题的步骤．这类题目可以不要求全体学生掌握，对于程度较好的学生要求自己独立完成解题步骤．
设计意图：此题属于综合性解答题，考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识，是一道有区分度的题目，设计这道题目是为了让班级中学习程度较好的学生得到一定的提升，培养他们分析综合问题，解决综合问题的能力．
跟踪练习：
1．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是（ ）
A．
7
B．
10
C．
11
D．
12
2．如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F．
（1）证明：FD=AB；
（2）当平行四边形ABCD的面积为8时，求△FED的面积．
四、创新体验
类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．
（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度数．
（2）在探究“等对角四边形”性质时：
①小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立．请你证明此结论；
②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例．
（3）已知：在“等对角四边形“ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求对角线AC的长．
分析：（1）利用“等对角四边形”这个概念来计算．
（2）①利用等边对等角和等角对等边来证明；②举例画图；
（3）（Ⅰ）当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，利用勾股定理求解；
（Ⅱ）当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，求出线段利用勾股定理求解．
解答：
解：（1）如图1
∵等对角四边形ABCD，∠A≠∠C，
∴∠D=∠B=80°，
∴∠C=360°﹣70°﹣80°﹣80°=130°；
（2）①如图2，连接BD，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB，
∴∠CBD=∠CDB，
∴CB=CD，
②不正确，
反例：如图3，∠A=∠C=90°，AB=AD，
但CB≠CD，
（3）（Ⅰ）如图4，当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，
∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5，
∴AE=10，
∴DE=AE﹣AD=10﹣4═6，
∵∠EDC=90°，∠E=30°，
∴CD=2，
∴AC===2
（Ⅱ）如图5，当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，
∵DE⊥AB，∠DAB=60°AD=4，
∴AE=2，DE=2，
∴BE=AB﹣AE=5﹣2=3，
∵四边形BFDE是矩形，
∴DF=BE=3，BF=DE=2，
∵∠BCD=60°，
∴CF=，
∴BC=CF+BF=+2=3，
∴AC===2．
处理方式：此题属于选用题，如果前面例题学生掌握较好，课堂留有比较充足的时间，则把此题展示给学生，丰富学生的视野．可以先由小组解决，教师观察学生做题的程度，然后再共同分析讲解．
设计意图：这道中考题是一道创新型题目，属于阅读理解题类型，解题的关键是理解并能运用“等对角四边形”这个概念．第３问涉及到了分类讨论的数学思想，提升了题目的难度．设计此题一是为了锻炼学生读题审题的能力，二是为了训练学生理解题意并且利用新知识解决问题的能力．
五、 畅谈收获
师：通过本节课的学习，你都掌握了哪些数学知识，运用了哪些数学思想方法？你还有什么疑难问题吗？请你先想一想，再相互说一说.
学生总结反思自己的所学所得，畅谈收获，拾遗补缺．
设计意图：复习课大多是学生自主探究、交流、提高的过程，教师只做点拨.因此，小结的过程不妨大胆交给学生，听听学生的感悟、体会，以便教师更好的了解学生学习经验的获得情况.让学生在与同学交流的过程中，增强与他人合作的意识.
六、检测反馈
A组：
1．如图,在平行四边形ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,对角线AC,BD相交于点O,则OA的取值范围是( )
A.2cm<OA<5cm B.2cm<OA<8cm C.1cm<OA<4cm D.3cm<OA<8cm
2．点A,B,C,D在同一平面内,从①AB∥CD;②AB=CD;③BC∥AD;④BC=AD这四个条件中任意选两个,能使四边形ABCD是平行四边形的有( )
A.3种 B.4种 C.5种 D.6种
3．如图,在△ABC中,BD,CE是△ABC的中线,BD与CE相交于点O,点F,G分别是BO,CO的中点,连接AO.若AO=6cm,BC=8cm,则四边形DEFG的周长是( )
A.14cm B.18cm C.24cm D.28cm
4．在直角坐标系中,已知A(1,0), B(-1,-2), C(2,-2)三点,若以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形,那么点D的坐标可以是 .(填序号)
①(-2,0); ②(0,-4); ③(4,0); ④(1,-4).
5．已知BD垂直平分AC,∠BCD=∠ADF,AF⊥AC,
(1)证明ABDF是平行四边形.
(2)若AF=DF=5,AD=6,求AC的长.
B组：
在△ABC中,AB=AC,点P为△ABC所在平面内一点,过点P分别作PE∥AC交AB于点E,PF∥AB交BC于点D,交AC于点F.若点P在BC边上(如图1),此时PD=0,可得结论,PD+PE+PF=AB.
请直接应用上述信息解决下列问题:
(1)当点P在△ABC内(如图2)时,上述结论是否成立?若成立,请给予证明.
(2)当点P在△ABC外(如图3)时,PD,PE,PF与AB之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需要证明.
处理方式： A组练习题目比较基础，紧扣中考的考试要求，主要考察学生对于这节课基础知识的掌握情况，学生独立完成后对一下答案即可，第5题安排学生黑板板书．B组题比较新颖，只要学生能掌握方程组解的意义便可解决，可以让学生以小组为单位讨论解决，安排1-2位代表上台讲解，锻炼学生的分析问题的能比以及表达能力．
设计意图：当堂检测是对学习目标进行的巩固训练和考试．要求学生在课堂教学时间内完成，题目应该有层次，所以设计了二组题目，简单的题目要求学生独立完成不讨论，有难度的题目可以在小组内展开探索，在下课前老师应该给予讲解与纠正．
六、作业布置
《初中复习指导丛书》９４页 第十八讲 多边形与平行四边形
板书设计：
第十八讲 多边形与平行四边形
一、知识梳理
例3
二、例题讲解
例1
学生板书区
例2
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