资源描述
23．3 相似三角形
23．3.1 相似三角形
23．3.2 相似三角形的判定
第1课时 相似三角形的判定定理1
【知识与技能】
1．能够熟练地找出相似三角形的对应角和对应边．
2．会用相似条件“两角分别相等的两个三角形相似”证明两个三角形相似．
【过程与方法】
能够运用三角形相似的条件解决简单的问题，进一步培养合情推理能力和初步的逻辑推理意识．
【情感态度】
在探索活动中，增强发现问题、解决问题的意识和养成合作交流的习惯．
【教学重点】
相似三角形的概念及相似三角形的判定定理1.
【教学难点】
相似三角形判定的应用．
一、创设情境，导入新知
什么是相似图形？识别两个多边形是否相似的标准是什么？
二、合作探究，理解新知
问题1：相似三角形的有关概念
1．由复习知，如果两个多边形的对应边成比例，对应角相等，那么这两个多边形相似．三角形是最简单的多边形，那么什么样的两个三角形相似？
学生回答：如果两个三角形的三条边对应成比例，三个角对应相等，那么这两个三角形相似．
教师归纳：
如果在△ABC与△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，＝＝，那么△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′；“∽”是表示相似的符号，读作“相似于”，这样的两个三角形相似就读作“△ABC相似于△A′B′C′”．
由于∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，所以点A的对应顶点是A′，B与B′是对应顶点，C与C′是对应顶点，书写相似时，通常把对应顶点写在对应位置上，以便比较容易找到相似三角形中的对应角、对应边．如果记＝＝＝k，那么这个k就表示这两个相似三角形的相似比．相似比就是它们的对应边的比，它有顺序关系．
思考：如果△ABC∽△A′B′C′，它的相似比为k，即指＝k，那么△A′B′C′与△ABC的相似比应是，就不是k了，应为多少呢？
2．相似三角形与全等三角形的关系
(1)如果△ABC∽△A′B′C′，相似比k＝1，你会发现什么呢？
＝＝＝1，所以可得AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，因此这两个三角形不仅形状相同，且大小也相同，这样的三角形是全等三角形，全等三角形是相似三角形的特例．
思考：(1)全等的两个三角形一定相似吗？
(2)相似的两个三角形会全等吗？
3．应用
(1)判断下列两个三角形是否相似？简单说明理由，如果相似，写出对应边的比例．
(2)△ABC中，D为AB边上任意一点，过D作DE∥BC，交AC边于E，那么△ADE与△ABC是否相似呢？
说明：判断它们是否相似，由①对应角是否相等；②对应边是否成比例去考虑．能否得对应角相等？根据平行线性质与一个公共角可以推出①，而对应边是否成比例呢？目前还没有什么依据，同学们不妨用刻度尺量一量，算一算对应边是否成比例．
通过度量，计算发现＝＝.所以可以判断出△ADE与△ABC相似．
思考：(1)如果D是AB边的中点，那么题中△ADE和△ABC的相似比是多少？
(2)若是如图，DE∥BC，与BA、CA的延长线交于D、E，那么△ADE与△ABC还会相似吗？如果相似写出它们对应边的比例式．
问题2：相似三角形判定定理1
1．思考：除定义外，是否存在识别两个三角形相似的简便方法？
2．观察归纳：同学们观察你与你的同伴所用的三角尺，以及教师用的木三角板，如有一个角是30°的直角三角尺，它们的大小不一样．这些三角形是相似的，我们就从平常所用的三角尺入手探索．
(1)有一个角是45°的三角尺，是等腰直角三角形会相似．
(2)有一个角是30°的三角尺，那么另一个锐角为60°，有一个直角，因此它们的三个角都相等，同学们量一量它们的对应边，是否成比例呢？
这样，从直观上看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，它们好像就会“相似”．是这样吗？请同学们动手试一试：
①画两个三角形，使它们的三个角分别相等．
画△ABC与△DEF，使∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F，在实际画图过程中，同学们画几个角相等？为什么？
实际画图中，只画∠A＝∠D，∠B＝∠E，则第三个角∠C与∠F一定会相等，这是根据三角形内角和为180°所确定的；
②用刻度尺量一量各边长，它们的对应边是否会成比例？与同伴交流，是否有相同结果；
③发现什么现象：发现如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形相似．简单地说，两角分别相等的两个三角形相似．
对于上述结论，你能不能使条件再简单些？
只需两个角对应相等就可以了．由此得出相似三角形判定定理1：
如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
3．例题讲解
例1：如图所示，在两个直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
证明：∵∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′(如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似)．
例2：如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC.
证明：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴∠ADE＝∠B＝∠EFC，
∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△EFC(如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似)．
三、尝试练习，掌握新知
1．教材第63页练习第1、2题．
2．补充练习：
(1)在△ABC与△A′B′C′中，∠A＝∠A′＝50°，∠B＝70°，∠B′＝60°，这两个三角形相似吗？
(2)如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3，AE＝2，BD＝4，试求的值，以及AC、EC的长．
(2)
(3)
(4)
(3)已知：如图，AB∥EF∥CD，则△AOB与______和______都相似．
(4)如图，AC⊥BD于C，DE⊥AB于E，DE与AC相交于点O，试找出图中的相似三角形，并说明理由．
3．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，你有什么收获和困惑？
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
教材习题23.3第1、2、3题．
第2课时 相似三角形的判定定理2
第3课时 相似三角形的判定定理3
【知识与技能】
1．会说出识别两个三角形相似的方法：有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似．
2．能依据条件，灵活运用三种识别方法，正确判断两个三角形相似．
【过程与方法】
能够运用三角形相似的条件解决简单的问题，进一步培养学生的推理能力和初步的逻辑推理意识．
【情感态度】
经历两个三角形相似条件的探索过程，进一步提高探究、交流能力，养成动手、动脑、手脑和谐一致的习惯．
【教学重点】
用相似的判定定理判定两个三角形相似．
【教学难点】
综合应用相似三角形的判定定理解决有关相似的问题．
一、创设情境，导入新知
1．现在要判断两个三角形相似有哪几种方法？
有两种方法：(1)根据定义；(2)有两个角分别相等的两个三角形相似．
2．上节学的“两角分别相等的两个三角形相似”判定方法是怎样得出的？
二、合作探究，理解新知
问题1：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
(1)问题：如图，△ABC中，D、E是AB、AC上三等分点(即AD＝AB，AE＝AC)，那么△ADE与△ABC相似吗？你用的是哪一种方法？
可提示学生：由于没有两个角对应相等，可以动手量一量，判断它们能否相似？
(2)思考：通过量角或量线段计算之后，可以得出：△ADE∽△ABC.从已知条件看，△ADE与△ABC有一对对应角相等，即∠A＝∠A(是公共角)，而另一个条件是AD＝AB，AE＝AC，即＝，＝，因此＝.也就是说：如果△ADE的两条边AD、AE与△ABC的两条边AB、AC对应成比例，它们的夹角又相等，那么△ABC∽△ADE.如果一个三角形两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似吗？
引导学生画出两个三角形，△ABC与△A′B′C′，使∠A＝∠A′，AB＝kA′B′，AC＝kA′C′，量一量BC与B′C′的长，计算，与同伴交流，是否与，相等？再量一量∠B与∠B′、∠C与∠C′，它们是否对应相等呢？这样的两个三角形相似吗？
(3)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简单地说：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．教师归纳强调：对应相等的角必须是成比例的边的夹角，如果不是夹角，它们不一定会相似．你能画出有两边对应成比例，有一个角相等，但它们不相似的两个三角形吗？(画顶角与底角相等的两个等腰三角形，∠B＝∠B′，＝.)
(4)知识运用：
①例1：证明如图中△AEB与△FEC相似．
证明：∵＝＝1.5，＝＝1.5，∴＝.
∵∠AEB＝∠FEC，∴△AEB∽△FEC(如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似)．
②练习：教材P70练习第1题(3)．
问题2：三边成比例的两个三角形相似．
(1)如果两个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似吗？
(2)学生讨论，通过教材例4下边的“做一做”，或自己画出三边对应成比例的两个三角形探索两个三角形相似．
归纳：通过试验得出：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简单地说：三边成比例的两个三角形相似．
(3)知识运用：
①例2：△ABC和△A′B′C′中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，AC＝10 cm，A′B′＝18 cm，B′C′＝24 cm，A′C′＝30 cm.试证明△ABC与△A′B′C′相似．
证明：∵＝＝，＝＝，＝＝，
∴＝＝.
∴△ABC∽△A′B′C′(如果一个三角形的三边与另一个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似)．
说明：在应用三边对应成比例，判定两个三角形相似时，一定要找准对应边．
②练习：教材P70练习第1题(1)．
三、尝试练习，掌握新知
1．下面每组的两个三角形是否相似？为什么？
(1)
(2)
2．如图所示，如果有一点E在AC上，那么点E应该在什么位置才能使△ADE与△ABC相似呢？
3．如图，BD、CE是△ABC的高，求证：△ADE∽△ABC.
4．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，你有什么收获？
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
1．依据下列各组条件，判定△ABC与△A′B′C′是不是相似？并说明理由．
(1)∠A＝120°，AB＝7 cm，AC＝14 cm；
∠A＝120°，A′B′＝3 cm，A′C′＝6 cm.
(2)AB＝4 cm，BC＝6 cm，AC＝8 cm；
A′B′＝12 cm，B′C′＝18 cm，A′C′＝24 cm.
2.教材习题23.3第4题．
3.如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、BC边上，且AB2＝AD·AC，DE∥AB，试说明△BCD∽△BDE.
4.要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，怎样选料可使这两个三角形相似？你选的木料唯一吗？
23．3.3 相似三角形的性质
【知识与技能】
说出相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，对应中线、角平分线、高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
【过程与方法】
培养由特殊到一般的思维方法，培养逻辑思维能力和应用能力．
【情感态度】
经历探索相似三角形性质的过程，并在探索研究过程中发展积极的情感、态度、价值观，体验解决问题策略的多样性．
【教学重点】
相似三角形性质的应用．
【教学难点】
相似三角形的判定和性质的综合应用．
一、创设情境，导入新知
1．由于马路拓宽，有一个面积是100平方米、周长80米的三角形的绿化地被削去了一个角，变成了一块梯形绿地，原绿化地的一边AB的长由原来的20米缩短成12米(如图所示)．为了保证绿化建设，市政府规定：因为种种原因而失去的绿地面积必须等面积补回．这样就引出了一个问题：这块失去的面积到底有多大？它的周长是多少？
你能够将上面生活中的实际问题转化为数学问题吗？
2．两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结果．例如，在图中，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么AD、A′D′之间有什么关系？
二、合作探究，理解新知
1．△ABD与△A′B′D′相似吗？若相似，它们的相似比是多少？
2．△ABD和△A′B′D′都是直角三角形，而∠B＝∠B′，因为有两个角对应相等，所以这两个三角形相似．那么＝＝k.
由此可以得出结论：相似三角形对应高的比等于相似比．
(通过研究讨论，让学生借助已有的知识对新问题进行研究，培养学生的思考探索能力，同时让他们自己得出结论，感受成功的喜悦．)
3．思考：把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？即图中△ABC和△A′B′C′相似，AD、A′D′分别为对应边上的中线，BE、B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？
可以得到的结论是________________________________________________________________________．
(让学生用类似于“相似三角形对应高的比等于相似比”的方法进行研究，培养学生的推理能力．)
对于上述结论，你能证明吗？(学生仿对应高的证明独立完成)
4．想一想：两个相似三角形的周长比是什么？
可以得到的结论是________________________________________________________________________．
结论：相似三角形的周长比等于相似比．证明如下：
已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，即＝＝＝k.
求证：＝k.
证明：∵＝＝＝k，
∴AB＝kA′B′，BC＝kB′C′，CA＝kC′A′.
∴＝＝k.
图中(1)、(2)、(3)分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似．
(2)与(1)的相似比＝________________________________________________________________________；
(2)与(1)的面积比＝________________________________________________________________________；
(3)与(1)的相似比＝________________________________________________________________________；
(3)与(1)的面积比＝________________________________________________________________________.
从上面可以看出，当相似比为k时，面积比为k2.数学上可以说明，对于一般的相似三角形也具有这种关系．由此可以得出结论：相似三角形的面积比等于________．
(通过形象的图形比较，使学生直观地感知相似图形面积比与相似比之间的关系，便于被学生所接受．)
三、尝试练习，掌握新知
补充练习
1．(1)如果两个三角形相似，相似比为3∶5，则对应角的角平分线的比等于多少？
(2)相似三角形对应边的比为0.4，那么相似比为______，对应角的角平分线的比为________，周长的比为________，面积的比为________．
(3)两个相似多边形的面积比为4∶1，则它们的相似比为________，周长比为________．
(4)若两个相似三角形的最大边长分别为35 cm和14 cm，它们的周长差为60 cm，则较大三角形的周长是多少？
(5)把一个三角形改成和它相似的三角形，如果面积扩大为原来的n倍，那么边长扩大为原来的几倍？
(6)在△ABC中，已知D在AB上，E在AC上，且DE∥BC，AB＝30 m，BD＝18 m，△ABC的周长为80 m，面积为100 m2，求△ADE的周长和面积．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，你有什么收获？
(通过总结把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解．)
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
1．两个三角形的对应边的比为3∶4，则这两个三角形的对应角的角平分线的比为______，对应边上的对应高的比为______，对应边上的对应中线的比为______．
2．相似三角形对应角的角平分线的比为0.2，则相似比为______，对应中线的比等于______．
3．教材第72页练习第3题．
4．如图，▱ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE＝CD.
(1)求证：△ABF∽△CEB；
(2)若△DEF的面积为2，求▱ABCD的面积．
23．3.4 相似三角形的应用
第1课时 相似三角形的应用(1)
第2课时 相似三角形的应用(2)
【知识与技能】
掌握利用三角形相似测量物体的高度或宽度的方法．
【过程与方法】
通过具体的实践活动体会相似三角形的应用．
【情感态度】
1．通过著名科学家的名句和如何测量神秘金字塔的高度来激发学生学数学的兴趣，使全体学生积极参与探索，体验成功的喜悦．
2．力求培养学生科学、正确的数学观，体现探索精神．
【教学重点】
构建相似三角形解决实际问题．
【教学难点】
利用相似三角形解决实际问题．
一、创设情境，导入新知
世界上有许许多多的物体我们无法直接测量出它们的高度、宽度和厚度，如旗杆的高度、高层建筑物的高度、湖的宽度、河流的宽度、瓶子的厚度等．然而，从很早开始，人们就懂得利用相似三角形的有关性质来测算它们．
二、合作探究，理解新知
1．复习回顾
(1)相似三角形有几种判别方法？
(2)相似三角形有哪些性质？
(3)如图，B、C、E、F在同一直线上，AB⊥BF，DE⊥BF，AC∥DF.
①△DEF与△ABC相似吗？为什么？
②若DE＝1，EF＝2，BC＝10，那么AB等于多少？
2．问题1：在同一时刻，物体的高度与它的影长之间有何关系？说说你的理由．
如图，BC、B′C′分别是竖立在地面上的旗杆AB和木棒A′B′的影子．(多媒体演示)
请同学们根据图形回答以下问题：
(1)在△ABC和△A′B′C′中，∠C与∠C′有何关系？为什么？
(2)△ABC与△A′B′C′相似吗？为什么？
(3)根据△ABC∽△A′B′C′，你能确定AB、BC分别与A′B′、B′C′之间的关系吗？
(引导学生写出AB∶A′B′＝BC∶B′C′，即在同一时刻物体的高度与它的影长成正比．)
(4)假如测得A′B′＝2米，B′C′＝1.2米，BC＝6米，那么旗杆AB的高度是多少？
利用“影子”来测物高，早在古代就已被应用于测量不能直接测量的物体的高度．
知识运用
例1：古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图所示，为了测量金字塔的高度OB，先竖立一根已知长度的木棒O′B′，比较木棒的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB.如果O′B′＝1米，A′B′＝2米，AB＝274米，求金字塔的高度OB.
分析：本题是相似三角形判定和性质的应用，首先要明确，太阳光是平行光线，因此可得∠OAB＝∠O′A′B′.同时要知道，木棒与金字塔的高都与地面垂直．这样，要解决求金字塔OB的高的问题，只要应用相似三角形判定定理证明△OAB∽△O′A′B′即可．
学生在教师的指导下完成．
解：∵太阳光线是平行光线，
∴∠OAB＝∠O′A′B′.
∵∠ABO＝∠A′B′O′＝90°，
∴△OAB∽△O′A′B′(如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似)．
∴OB∶O′B′＝AB∶A′B′，
∴OB＝＝＝137(米)．
答：该金字塔高为137米．
3．问题2：测量不能直接测量的物体的宽度
在实际生活中，有许多物体的宽度是不可直接测量的，如河宽、湖宽、瓶子的内径等．那么，我们又如何测量它们的宽度呢？
例2：如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，再在河的这一边选点B和C使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D.此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求河的宽度．
解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABC＝∠ECD＝90°，∴△ABD∽△ECD(如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似)．
∴＝，即AB＝＝＝100(米)．
答：河的宽度为100米．
思考：通过例1、例2的学习，你对相似三角形的应用有什么认识？
学生思考、讨论、交流．
三、尝试练习，掌握新知
1．教材第74页练习第1题．
2．如图，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙角1.8 m，梯上点D距墙1.5 m，BD＝0.5 m，求梯子AB的长．
第2题图
第3题图
3．某河段的两岸是平行的，如图所示，对岸有相距50米的A、B两棵树，小明在河这边点O处，用视线确定OA、OB与河岸PQ的交点C、D，作OM⊥CD并延长OM交EF于点N.此时，测得CD＝2米，OM＝4.2米，求河的大致宽度MN.
4．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
本节课你学到了什么？
本节课学习应用相似三角形的性质，测量计算物体的高度，在应用时要分清转到数学上是哪两个三角形会相似，它们对应的边是哪一边，利用比例的性质求证答案．
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
1.在同一时刻物体的高度与它的影长成正比，在某一时刻，有人测得高为1.8米的竹竿的影长为3米，此时某高楼影长为60米．那么高楼的高度为多少米？
2.教材习题23.3第6题．
3.(选做)我国魏晋时期的数学家刘徽的《海岛算经》中有一题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，今后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目看地取望岛峰与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目看地取望岛峰亦与表末参合，问岛高及去表各几何？画成图形，用现在话表述即是：要求海岛的山峰AB的高度，在D和F处都树立标杆DC和FE，标杆高都是3丈，相隔1000步(一步等于5尺)，并且AB、CD、EF在同一截面上．从标杆DC退后123步的G处，可看到山峰顶A和标杆顶C在一直线上；从标杆FE退后127步的H处，也可看到山峰顶A和标杆顶E正在一直线上，求山高AB及它和标杆CD的水平距离BD.
4.一位同学要测一建筑物高，身边未带任何工具，但知道自己的身高为1.6 m，鞋长0.27 m.
(1)如何通过影子的度量达到目的？(可用文字、草图及字母符号辅助说明)
(2)若建筑物的影长为55 m，自己的影子长为1.1 m，此建筑物大约有多高？
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