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第22章二次函数
一、复习目标
1.理解二次函数的概念；
2.会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；
3.会平移二次函数y＝ax2(a≠0)的图象得到二次函数y＝a(ax＋m)2＋k的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；
4.会用待定系数法求二次函数的解析式；
5.利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。
6.二次函数的综合应用
二、课时安排
2
三、复习重难点
把握二次函数的性质，利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系，并能和其它知识点进行综合应用。
四、教学过程
（一）知识梳理
二次函数知识点：
1. 二次函数的概念：一般地，形如(是常数，)的函数，叫做二次函数。
2. 二次函数的基本形式
（1）二次函数基本形式：的性质：
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
2. 的性质：
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
3. 的性质：
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
X=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
4. 的性质：
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
X=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
3.二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
(1) 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
(2)保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
（3） 平移规律
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．
4.二次函数图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，(若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点).
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
5.二次函数的性质
（1） 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．
（2） 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．
6.二次函数解析式的表示方法
（1） 一般式：(，，为常数，)；
（2） 顶点式：(，，为常数，)；
（3）两根式：(，，是抛物线与轴两交点的横坐标).
7.二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与轴交点情况)：
一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.
图象与轴的交点个数：
① 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离.
② 当时，图象与轴只有一个交点；
③ 当时，图象与轴没有交点.
7.二次函数的应用：
（二）题型、方法归纳
类型一： 二次函数的平移
【主题训练1】(枣庄中考)将抛物线y=3x2向上平移3个单位,再向左平移2个单位,那么得到的抛物线的解析式为( )
A.y=3(x+2)2+3 B.y=3(x-2)2+3
C.y=3(x+2)2-3 D.y=3(x-2)2-3
【自主解答】选A.由“上加下减”的平移规律可知,将抛物线y=3x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为:y=3x2+3;由“左加右减”的平移规律可知,将抛物线y=3x2+3向左平移2个单位所得抛物线的解析式为:y=3(x+2)2+3.
归纳：二次函数平移的两种方法
1.确定顶点坐标平移:根据两抛物线前后顶点坐标的位置确定平移的方向与距离.
2.利用规律平移:y=a(x+h)2+k是由y=ax2经过适当的平移得到的,其平移规律是“h左加右减,k上加下减”.即自变量加减左右移,函数值加减上下移.
类型二：二次函数的图象及性质
【主题训练2】(十堰中考)如图,二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(0,1)和(-1,0),下列结论:①ab<0;②b2>4a;③0<a+b+c<2;④0<b<1;⑤当x>-1时,y>0.其中正确结论的个数是( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
【自主解答】选B.①∵对称轴在y轴右侧,∴- >0,∴ <0,∴a,b异号,∴ab<0,①正确;②把x=0,y=1代入y=ax2+bx+c得c=1,所以二次函数为y=ax2+bx+1; 又∵图象与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,∴b2>4a,②正确;③∵当x=1时,图象在x轴上方,∴a+b+c>0;把x=-1,y=0代入y=ax2+bx+1,得b=a+1,∵图象的开口向下,∴a<0,∴a+b+c= a+a+1+1=2a+2<2,∴0<a+b+c<2,③正确;④∵b=a+1,∴a=b-1,∵0<a+b+c<2,c=1,∴0<b-1+b+1<2,即0<2b<2,∴0<b<1,④正确;⑤当x>-1时,函数图象有部分在x轴上方,与x轴有交点,有部分在x轴下方,所以y>0,y=0,y<0都有可能.所以正确的共有4个,选B.
归纳：
类型三：二次函数与方程、不等式
【主题训练3】(贺州中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下结论:①b2>4ac;②abc>0;③2a-b=0;④8a+c<0;⑤9a+3b+c<0,其中结论正确的是 .(填入正确结论的序号)
【自主解答】∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点,∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根,∴b2-4ac>0,即b2>4ac,①是正确的.∵抛物线的开口方向向上,∴a>0;∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴,∴c<0;∵对称轴x= =1>0,∴a与b异号,则b<0.∴abc>0,②是正确的.∵抛物线的对称轴x==1,∴b=-2a,∴2a+b=0,③是错误的.
∵当x=-2时,y=4a-2b+c>0,又∵b=-2a,
∴4a-2b+c=4a-2(-2a)+c=8a+c>0,④是错误的.
∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴在x=-1与x=3时函数值相等,由函数图象可知x=-1的函数值为负数,∴x=3时的函数值y=9a+3b+c<0,⑤是正确的.
答案:①②⑤
归纳：二次函数与方程、不等式的关系
1.二次函数与方程:抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标满足ax2+bx+c=0.
2.二次函数与不等式:抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方部分的横坐标满足ax2+bx+c>0;抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方部分的横坐标满足ax2+bx+c<0.
类型四：二次函数的应用
【主题训练4】(武汉中考)科幻小说《实验室的故事》中,有这样一个情节:科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中,经过一天后,测试出这种植物高度的增长情况(如表).
温度x(℃)
…
-4
-2
0
2
4
4.5
…
植物每天
高度增长
量y(mm)
…
41
49
49
41
25
19.75
…
由这些数据,科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数,且这种函数是一次函数和二次函数中的一种.
(1)请你选择一种适当的函数,求出它的函数关系式,并简要说明不选择另外两种函数的理由.
(2)温度为多少时,这种植物每天高度增长量最大?
(3)如果实验室温度保持不变,在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm,那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择?直接写出结果.
【自主解答】(1)选择二次函数.设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,
根据题意,得
∴y关于x的函数解析式为y=-x2-2x+49.
不选另外两个函数的理由:点(0,49)不可能在任何反比例函数图象上,所以y不是x的反比例函数;点(-4,41),(-2,49),(2,41)不在同一直线上,所以y不是x的一次函数.
(2)由(1)得y=-x2-2x+49,∴y=-(x+1)2+50.
∵a=-1<0,∴当x=-1时y的最大值为50.
即当温度为-1℃时,这种植物每天高度增长量最大.
(3)-6<x<4.
归纳：解决二次函数应用题的两步骤
1.建模:根据数量关系列二次函数关系建模或者根据图象的形状建模.
2.应用:利用二次函数的性质解决问题.
（三）典例精讲
例题1： （2016·浙江省绍兴市·10分）课本中有一个例题：
有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05m2．
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题：
（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积？
（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．
【分析】（1）根据矩形和正方形的周长进行解答即可；
（2）设AB为xcm，利用二次函数的最值解答即可．
【解答】解：（1）由已知可得：AD=，
则S=1×m2，
（2）设AB=xm，则AD=3﹣m，
∵，
∴，
设窗户面积为S，由已知得：
，
当x=m时，且x=m在的范围内，，
∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大．
【点评】本题考查待定系数法确定二次函数解析式、二次函数性质等知识，解题的关键是求出对称轴与直线BC交点H坐标，学会利用判别式确定两个函数图象的交点问题，属于中考常考题型．
（四）归纳小结
1.引导学生整理把握本章知识点并熟练掌握。
2.结合知识点进行归纳总结；
3.灵活应用知识点。
（五）随堂检测
1.(茂名中考)下列二次函数的图象,不能通过函数y=3x2的图象平移得到的是( )
A.y=3x2+2 B.y=3(x-1)2
C.y=3(x-1)2+2 D.y=2x2
2.(衢州中考)抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位,再向下平移3个单位,所得图象的函数解析式为y=(x-1)2-4,则b,c的值为( )
A.b=2,c=-6 B.b=2,c=0
C.b=-6,c=8 D.b=-6,c=2
3.(长沙中考)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,
则下列关系式错误的是( )
A.a>0 B.c>0 C.b2-4ac>0 D.a+b+c>0
4. 4.(陕西中考)已知两点A(-5,y1),B(3,y2)均在抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上,点C(x0,y0)是该抛物线的顶点,若y1>y2 ≥y0,则x0的取值范围是( )
A.x0>-5 B.x0>-1
C.-5<x0<-1 D.-2<x0<3
5.(绵阳中考)二次函数y=ax2+bx+c
的图象如图所示,给出下列结论:①2a+b>0;
②b>a>c;③若-1<m<n<1,则m+n< ;
④3|a|+|c|<2|b|.其中正确的结论是
(写出你认为正确的所有结论序号).
6.(仙桃中考)2013年5月26日,中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军,成就了首个五连冠霸业.比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图).若不考虑外力因素,羽毛球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间满足关系则羽毛球飞出的水平距离为 m.
7.(鞍山中考)某商场购进一批单价为4元的日用品.若按每件5元的价格销售,每月能卖出3万件;若按每件6元的价格销售,每月能卖出2万件,假定每月销售件数y(件)与价格x(元/件)之间满足一次函数关系.
(1)试求y与x之间的函数关系式.
(2)当销售价格定为多少时,才能使每月的利润最大?每月的最大利润是多少?
【答案】
1.【解析】选D.函数y=3x2的图象平移后,二次项系数仍然是3,不可能变为2,所以D选项中二次函数的图象不能通过函数y=3x2的图象平移得到.
2. 【解析】选B.平移后的顶点为(1,-4),根据平移前后是相反的
过程可知(1,-4)向左平移2个单位,再向上平移3个单位得到y=x2+bx+c的顶点为(-1,-1),所以原抛物线的解析式y=(x+1)2-1,化成一般形式为y=x2+2x,故b=2,c=0.
3. 【解析】选D.
4. 【解析】选B.∵y1>y2≥y0,∴抛物线开口向上,且对称轴不可能
在A点的左侧;若对称轴在B点或其右侧,此时满足题意,则有
x0≥3;若对称轴在A,B两点之间,当y1=y2时,有x0=-1,当y1>y2时,
应有x0> ,即3>x0>-1,综上可得x0的取值范围是x0>-1.
5. 【解析】对称轴x= ＞1，所以b>－2a，即2a+b>0，故①正
确；抛物线开口向下，a＜0，与y轴交于负半轴，c＜0，对称
轴x= ＞0，∴b＞0.根据图象无法确定a与c的大小，故②不
正确；因为－1＜m＜n＜1，∴ ＜1，而对称轴x= ＞
1，所以 ＜，即m+n＜ ，故③正确；因为x=1时，
a+b+c＞0，而2a+b>0，∴2a+b+a+b+c>0，所以3|a|－2|b|
+|c|=－3a－2b－c=-(3a+2b+c)<0，即3|a|+|c|＜2|b|，故
④正确.
答案：①③④
6. 【解析】令y=0，得： 解得：x1=5，x2=-1(不合题意，舍去)，所以羽毛球飞出的水平距离为5 m.
答案：5
7. 【解析】(1)由题意,可设y=kx+b(k≠0),把(5,30000),(6,20000)代入得
所以y与x之间的关系式为:y=-10000x+80000.
(2)设每月的利润为W,则W=(x-4)(-10000x+80000)
=-10000(x-4)(x-8)=-10000(x2-12x+32)
=-10000[(x-6)2-4]=-10000(x-6)2+40000.
所以当x=6时,W取得最大值,最大值为40000元.
答:当销售价格定为每件6元时,每月的利润最大,每月的最大利润为40000元.
五、板书设计
第22章二次函数
1.考查二次函数的定义、性质：
2.综合考查正比例、一次函数、二次函数的图像:
3.考查二次函数与一元二次方程的关系问题：
4.考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值
5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。
例题精讲：
六、作业布置
《二次函数》随堂检测及其单元检测试题
七、教学反思
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