九年级数学上册 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系教案 （新版）新人教版-（新版）新人教版初中九年级上册数学教案.doc

点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系
【同步教育信息】
一. 本周教学内容：
点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系
二. 教学目标：
1、了解点与圆的位置关系，并会判断点与圆的位置关系。理解不在同一直线上三点确定一个圆。了解三角形的外心、外接圆的概念。会作外接圆，理解反证法的方法。
2、了解直线与圆的位置关系，理解直线和圆相离、相切、相交的概念。掌握直线和圆的位置关系和判定。从运动的观点及量变到质变的观点来理解直线与圆的三种位置关系。

三. 教学重点与难点：
教学重点是理解点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系。教学难点是反证法的证明方法和用运动的观点理解位置关系。

四. 教学过程：
（一）知识要点复习
1、点与圆的位置关系
点P在圆外d>r
点P在圆上d=r
点P在圆内d<r
“”读作“等价于”，表示从“”左端可以得到右端，从右端也可以得到左端，可用于推理证明。
2、在同一直线上的三个点确定一个圆
（1）过一个点可以做无数个圆

（2）过2个点可以做无数个圆，圆心在两点的垂直平分线上

若要求r=m可做几个？
当时，2个

当时，1个

当时，0个
定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆

3、探索锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外心位置。

4、三角形的心
外心：中垂线交点
内心：角平分线交点
重心：中线交点
垂心：高的交点

5、直线与圆的位置关系
直线l和⊙O相交d<r
直线l和⊙O相切d=r
直线l和⊙O相离d>r

【典型例题】
例1. ⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离d=OD=3cm，在直线l上有P、Q、R三点，且有PD=4cm，QD>4cm，RD<4cm。
问：P、Q、R三点对于⊙O的位置关系各是怎样？

解：连结OP、OQ、OD

∵OD⊥l ∴∠ODQ=90°
在Rt△ODP中，
∴点P在⊙O上

∵RD<4 ∴OR<5
∴点R在⊙O内
OQ
∴QD>4 ∴OQ>5
∴点Q在⊙O外

例2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3m，AC=4m，以B为圆心，以BC为半径作⊙B，D、E是AB、AC中点，D、E分别与⊙O有怎样的位置关系？

解：∵BC=3m=R ∴点C在⊙B上
∵AB=5m>3m ∴点A在⊙B外
∵D为BA中点
∴
∴点D在⊙B内
∵E为AC中点
∴
连结BE
∴
∴E在⊙B外

例3. 用反证法证明：过直线外一点P只能有一条直线与已知直线l垂直。
证：∵假设过P点有两条直线PA⊥l于A
PB⊥l于B
则PA、PB、AB三条线段围成的三角形中
∠PAB＋∠PBA+∠APB＞180°，与∠PAB＋∠PBA=180°矛盾
∴假设错误
∴过直线外一点P只能有一条直线与已知直线垂直

反证法思路：假设命题成立，由此经过推理得出矛盾。由矛盾断定假设不正确，从而得到原命题成立，要考虑反面的所有可能。如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则须一一否定。

例4. 正方形ABCD边长为1，AC与BD交于O，过O作EF//AB，分别交AD、BC于E、F，以B为圆心，为半径作图，则⊙B与直线AC、EF、DC的位置关系？

解：∵BD⊥AC ∴B到AC的距离是OB
∵AB=1，∠B=90°，AB=BC
∴ ∴
∴AC与圆B相切
∵BF⊥EF ∴B到EF的距离是BF
∵ ∴EF与⊙B相交
∵BC⊥DC ∴B到DC的距离是BC
∵BC=1 ∴BC>r
∴DC与⊙B相离

例5. 已知∠AOB=30°，M为OB上一点，OM=5cm，以M为圆心，r为半径的圆与直线OA有怎样的位置关系？
（1）r=2m （2）r=4m （3）r=2.5m

解：作MP⊥OA

∵∠O=30°，OM=5m
∴d=PM=2.5m
（1）当r=2m时，d>r
∴圆M与直线OA相离
（2）当r=4m时，d<r
∴圆M与直线OA相交
（3）当r=2.5m时，d=r
∴圆M与直线OA相切

例6. 在直线上是否存在一点P，使得以P点为圆心的圆经过已知两点A（－3，2），B（1，2）。若存在，求出P点的坐标，并作图。
解：∵A（－3，2），B（1，2）
∴AB的中点（－1，2）
∴AB的垂直平分线为

∴P（－1，）为所求

例7. 下列说法正确的是（ ）
A. 经过三点一定可以作一个圆
B. 任一个圆一定有内接三角形并且只有一个内接三角形
C. 任意一个三角形一定有一个外接圆并且只有一个外接圆
D. 三角形的外心到三角形三边的点距离相等
答案：C

例8. 已知圆的直径为13m，如圆心与直线的距离为（1）4.5m，（2）6.5m，（3）8m。那么直线与圆有几个公共点？
解：（1）∵直径为13m
∴r=6.5m
d=4.5m时，d<r
∴直线与圆相交，有2个公共点
（2）d=6.5m时，d=r
∴直线与圆相切，有1个公共点
（3）d=8m时，d>r
∴直线与圆相离，没有公共点

例9. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？
（1）r=2cm （2）r=2.4cm （3）r=3cm

解：（1）r=2cm，d=CD=2.4cm
∵d>r ∴直线AB与圆C相离
（2）r=2.4cm时，d=r
∴直线AB与圆C相切
（3）r=3cm时，d<r
∴直线AB与圆C相交

【模拟试题】（答题时间：20分钟）
1. 已知△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，AB的中点为M，
（1）以C为圆心，2为半径作圆C，则点A、B、M与圆C的位置关系如何？
（2）若以C为圆心作圆C，使A、B、M三点至少有一点在圆C内，且至少有一点在圆C外，则圆C的半径r的取值范围是什么？
2. 如图所示，直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，AD=4，BC=9，M为AB的中点，以C、D为直径画圆P，当CD的长为何值时，（1）M在圆P外；（2）M在圆P上；（3）M在圆P内。

3. 已知线段AB和直线l，过A、B两点作圆，并使圆心在l上，问：（1）当l//AB时，可作几个这样的圆；（2）当l与AB斜交时，可作几个这样的圆；（3）当l垂直于AB且不过AB的中点时，可作几个这样的圆；（4）当l是AB的垂直平分线时，可作几个这样的圆。
4. 去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、B两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的西偏北45°方向的C处有一半径为0.7km的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？

[参考答案]
1. 解：如图所示。

（1）∵AC=2，且圆C的半径也为2，即AC=r
∴点A在圆C上
又∵BC＝3，r＝2，BC>r
∴点B在圆O外。
在Rt△ABC中，
∵M为AB的中点
∴点M在圆C内；
（2）∵AC=2，BC=3，
∴要使A、B、M三点中至少有一点在圆C内且至少有一点在圆C外，则圆C的半径r的取值范围是
2. 解：取CD的中点P，连结MP
则
（1）若M点在圆P外，则MP>PC，∴CD<2MP 即CD<13
（2）若点M在圆P上，则MP=PC，∴CD=2MP 即CD=13
（3）若点M在圆P内，则MP<PC，∴CD>2MP 即CD>13

3. 解：（1）当l//AB时，可作一个圆，如图①所示；
（2）当l与AB斜交时，可以作一个圆，如图②所示；
（3）当l垂直于AB且不过AB的中点时，不能作圆；
（4）当l是AB的垂直平分线时，可作无数个这样的圆，如图③所示。

4. 解：如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为D
因为∠B=45°，所以∠BCD=45°，CD=BD
设CD=x，则BD=x
由∠A=30°知AC=2x，AD=
所以
即
也就是说，以C为圆心，以0.7km为半径的圆与AB相离。
所以，计划修筑的这条公路不穿过公园。