6.5 三角形内角和定理的证明教案 新课标.doc

§6.5 三角形内角和定理的证明
教学目标
1．知识目标：三角形的内角和定理的证明.
2．能力目标：通过三角形内角和定理的证明，学会添加辅助线.
3．情感目标：通过三角形内角和定理的证明，激发学生的数学兴趣.
教学重点
三角形内角和定理的证明.
教学难点
三角形内角和定理的证明方法.
教学方法
引导探索法
教学过程
1．创设情境，自然引入
小学里，我们曾用量角器量出三角形三个内角的具体度数后计算它们的和；也曾用折叠一张三角形纸片，把三角形的三个内角拼在一起,如图6.5(1)将一张三角形纸片折叠拼合演示），得到“三角形三个内角的和等于180°”的结论

其实，拼出∠A+∠B+∠C=180°的方法有多种多样, 如图6.5(2)

2.设问质疑，探究尝试
上面的观察与实验得到的结论，并不一定正确、可靠，这样就需要通过数学证明.那么怎样证明呢？
已知：如图6.5（3），△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°
证明一：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥AB.则
∠ACE=∠A（两直线平行，内错角相等）
∠ECD=∠B（两直线平行，同位角相等）
∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（1平角=180°）
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）
即：∠A+∠B+∠C=180°.

证明二：作BC的延长线CD，作∠ECD=∠B.
则：EC∥AB（同位角相等，两直线平行）
∴∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等）
∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（1平角=180°）
∴∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）
证明三：如图6.5（4）
∵PQ∥BC（已作）
∴∠PAB=∠B（两直线平行，内错角相等）
∠QAC=∠C（两直线平行，内错角相等）
∵∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°（1平角=180°）
∴∠B+∠BAC+∠C=180°（等量代换）

证明四：如图6.5（5）
在BC上任取一点D，过点D分别作DE∥AB交AC于E，DF∥AC交AB于F.
∴四边形AFDE是平行四边形（平行四边形的定义）
∠BDF=∠C（两直线平行，同位角相等）
∠EDC=∠B（两直线平行，同位角相等）
∴∠EDF=∠A（平行四边形的对角相等）
∵∠BDF+∠EDF+∠EDC=180°（1平角=180°）
∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）
证明五：如图6.5（6），作CA的延长线AD，过点A作∠DAE=∠C
（过程略）

证法六：如图6.5（7），过点A任作一条射线AD，再作BE∥AD，CF∥AD.
∵BE∥AD∥CF
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∠EBC+∠BCF=180°
∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=∠EBC+∠BCF=180°.
3．变式训练，巩固提高
（1）已知: 如图6.5（8），在△ABC中，DE∥BC，∠A=60°,∠C=70°，
求证：∠ADE=50°

（2）已知：如图6.5（9），在△ABC中，∠A=n°，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，
求证：∠BOC=90°+ n°
4．总结串联，巩固提高
（1）三角形内角和定理，提示了三角形三个内角之间的一个确定的数量关系，所以求解一个三角形的三个内角，只要再给出两个条件即可。
（2）我们从多种拼图活动中找到了多种添画辅助线的方法，同时以三角形内角和定理的推证中，可以看出灵活、恰当的添画辅助线，有助于获得简捷、新颖、多样的解题途径。

教学检测
一．请你想一想
1．在△ABC中：
（l）已知∠A=80°，能否知∠B、∠C的度数？
（2）已知∠A=80°，∠B=52°，则∠C=？
（3）已知∠A＝80°，∠B－∠C＝40°，则∠C=？
（4）已知∠A＋∠B=100°，∠C=2∠A，能否求出∠A、∠B、∠C的度数。
（5）已知∠A：∠B：∠C=1：3：5，能否求出∠A、∠B、∠C的度数？
2．三角形三个内角可以都是锐角吗？都是直角吗？都是钝角吗？最多能有几个直角？最多能有几个钝角？
二．请你来计算
1．如图6.5（10），求∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠Ｄ＋∠Ｅ的度数。

2．如图6.5（11），Ｄ是△ＡＢＣ内任意一点，
求证：∠ＡＤＢ＝∠１＋∠２＋∠Ｃ

三．请你来证明
1.已知：如图6.5（12），△ABC中，AD是高，E是AC边上一点，BE与AD交于点F，
∠ABC=45°,∠BAC=75°,∠AFB=120°.
求证：BE⊥AC.

2. 已知：如图6.5（13），△ABC中，∠B=∠ACB，CD是高，
求证：∠BCD=∠A.

参考答案
一．请你想一想
1.(1)不知道 （2）∠C=48° （3）∠C=30°
（4）∠A=40°，∠B=60°，∠C=80°
（5）∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°
2．三角形三个内角可以都是锐角，不能都是直角，不能都是钝角，最多能有一个直角，最多能有一个钝角.
二．请你来计算
1．∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠Ｄ＋∠Ｅ＝１８０°
2．略
三．请你来证明
1．证明：∵AD是高（已知）
∴∠ADB=90°（垂直的定义）
∵∠ABC+∠ADB+∠BAD=180°（三角形内角和定理）
∠ABC=45°（已知）
∴∠BAD=45°（等式的性质）
∵∠BAC=75°（已知）
∴∠DAC=30°（等式的性质）
∵∠AFB+∠AFE=180°（1平角=180°）
∠AFB=120°（已知）
∴∠AFE=60°（等式性质）
∵∠AFE+∠AEF+∠DAC=180°（三角形内角和定理）
∴∠AEF=90°（等式性质）
∴AC⊥AE（垂直的定义）
2．证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理）
∠B=∠ACB（已知）
∴∠B==90°－∠A
∵CD是△ABC的高（已知）
∴∠BDC=90°
∵∠BDC+∠B+∠DCB=180°（三角形内角和定理）
∴∠BCD=180°－∠BDC－∠B
=180°－90°－（90°－∠A）
=∠A（等式的性质）