6.7 回顾与思考教案 新课标.doc

§6.7回顾与思考

教学目标
1．知识目标：
(1)了解证明的书写格式.
(2)了解定义、命题、公理和定理的含义.
(3)平行线的性质定理和判定定理.
(4)三角形的内角和定理及推论.
2．能力目标：
通过回顾与思考，进一步掌握平行线的性质定理和判定定理，掌握三角形内角和定理及推论，并会灵活应用.
3．情感目标：
通过学生回顾与思考,培养学生的推理论证能力，进而发展他们的思考问题的能力.
教学重点
证明的过程
教学难点
证明的过程
教学方法
教师引导，小组讨论法.
教学过程
1．回顾知识，梳理内容
（1）直观是重要的，但它有时也会欺骗人，你还能找到这样的例子吗？
（2）请你用自己的语言说一说什么叫定义、命题、公理和定理.
定义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定.
命题：就是判断一件事情的句子.
公理：是人们在长期的实践中总结出来的，正确的命题.即公认的真命题.
定理是经过推理的过程得到的真命题.
（3）什么条件下两条直线平行？两条直线平行又会怎样？这两类命题的条件和结论有什么关系？你会证明它们吗？
在同位角相等的情况下，两直线平行；在内错角相等或同旁内角互补的情况下，两直线平行.
如果两条直线平行时，则同位角相等，内错角也相等，同旁内角是互补的.
这两类命题的条件和结论正好相反.
两条直线平行的判定定理的条件是两条直线平行的性质定理的结论，它的结论又正好是两直线平行的性质定理的条件.
（4）三角形内角和定理怎样证明？三角形的外角与内角有什么关系？
三角形的外角与它相邻的内角是互为补角.
与它不相邻的内角关系是：
①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
②三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
（5）请你用自己的语言说一说证明的基本步骤.
证明一个命题是真命题的基本步骤是：
①根据题意，画出图形.
②根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.
③经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.
在证明时需注意：
①在一般情况下，分析的过程不要求写出来.
②证明中的每一步推理都要有根据.
2．重点知识，详细回顾
（1）平行线的性质和判定的关系

（2）命题的真假性

3．变式训练，巩固提高
（1）将正方形的四个顶点用线段连接，什么样的连法最短？研究发现，并非对角线最短.而是如图6.7（1），的连法最短（即用线段AE、DE、EF、CF、BF把四个顶点连接起来），已知图中∠DAE=∠ADE=30°,∠AEF=∠BFE=120°,你能证明此时AB∥EF吗？
答案：能.
证明：∵四边形ABCD是正方形（已知）
∴∠DAB=90°（正方形的性质）
∵∠DAE=30°（已知）
∴∠EAB=60°（等式性质）
∵∠AEF=120°（已知）
∴∠AEF+∠EAB=120°+60°=180°（等式的性质）
∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行）

（2）已知，如图6.7（2），直线a,b被直线c所截，a∥b.
求证：∠1+∠2=180°
证明：∵a∥b（已知）
∴∠1+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠3=∠2（对顶角相等）
∴∠1+∠2=180°（等量代换）
（3）已知，如图6.7（3），∠1+∠2=180°,
求证：∠3=∠4.
证明：∵∠2=∠5（对顶角相等）
∠1+∠2=180°（已知）
∴∠1+∠5=180°（等量代换）
∴CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠3=∠4（两直线平行，同位角相等）

（4）回答下列问题
①三角形的一个内角一定小于180°吗？一定小于90°吗？
②一个三角形中最多有几个直角？最多有几个钝角？
③一个三角形的最大角不会小于60°，为什么？最小角不会大于多少度？
答案：
①是 不一定
②一个 一个
③如果一个三角形的最大角小于60°，则这个三角形的三个内角的和将小于180°，所以一个三角形的最大角不会小于60°.最小角不会大于60°.

（5）“作一个立方体使它的体积等于已知立方体的2倍”，这是数学史上三个著名问题之一.今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出这样的立方体的.在探索这一问题的过程中，有人曾利用过如图6.7（4），所示的图形.
其中AB⊥BC，BC⊥CD，AC⊥BD，2PD=PA.如果∠A=α，那么∠ABP和∠PCD等于多少？
解：∵AC⊥BD（已知）
∴∠APB=90°（垂直的定义）
∵∠A+∠APB+∠ABP=180°（三角形的内角和定理）
∠A=α
∴∠ABP=90°－α（等式的性质）
∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知）
∴∠ABC=∠BCD=90°（垂直的定义）
∴∠ABC+∠BCD=180°（等式的性质）
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠A=∠ACD（两直线平行，内错角相等）
∵∠A=α（已知）
∴∠PCD=α（等量代换）

6.已知：如图6.7（5），在△ABC中，DE∥BC，F是AB上一点，FE的延长线交BC的延长线于点G，求证：∠EGH>∠ADE.
证明：∵DE∥BC（已知）
∴∠ADE=∠B（两直线平行，同位角相等）
∵∠EGH是△FBG的一个外角（已知）
∴∠EGH>∠B（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∴∠EGH>∠ADE（等量代换）
7.已知：如图6.7（6），直线AB∥ED.
求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD.

证法一：如图6.7（6）
过点C作CF∥AB.
∴∠ABC=∠BCF（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥ED（已知）
∴ED∥CF（两直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行）
∴∠EDC=∠FCD（两直线平行，内错角相等）
∴∠BCF+∠FCD=∠EDC+∠ABC（等式性质）
即：∠BCD=∠ABC+∠CDE
证法二：如图6.7（6）
延长BC交DE于F点
∵AB∥DE（已知）
∴∠ABC=∠CFD（两直线平行，内错角相等）
∵∠BCD是△CDF的一个外角（已知）
∴∠BCD=∠CFD+∠CDE（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）
∴∠BCD=∠ABC+∠CDE（等量代换）
（8）如图6.7（7），AB∥CD，AC∥BD．找出图中相等的角与互补的角．

答：相等的角为：∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8．
互补的角为：∠BAC+∠ACD=180°，∠ABD+∠CDB=180°，∠CAB+∠DBA=180°，∠ACD+∠BDC=180°．
相等的角还有：∠ACD=∠ABD，∠BAC=∠BDC．(同角的补角相等)
（9）已知：如图6.7（8），AD∥BC，∠AEF=∠B，
求证：AD∥EF．

证明：∵ AD∥BC，(已知)
∴  ∠A+∠B=180°．(两直线平行，同旁内角互补)
∵  ∠AEF=∠B，(已知)
∴  ∠A+∠AEF=180°，(等量代换)
∴  AD∥EF．(同旁内角互补，两条直线平行)
（10）已知：如图6.7（9），AB∥DC, ∠A=∠C
求证：AD∥BC

证明方法一: ∵AB∥CD(已知)
∴∠B+∠C=180O（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠A=∠C(已知)
∴∠A+∠B=180O(等量代换)
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）
证明方法二:连结AC，如图6.7（10）
∵AB∥CD(已知)
∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）
∵∠BAD=∠DCB(已知)
∴∠BAD-∠1=∠DCB-∠2（等量减等量差相等）
即∠DAC=∠ACB
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）

证明方法三:延长CB至E，如图6.7（11）
∵AB∥CD(已知)
∴∠C=∠ABE（两直线平行，同位角相等）
∵∠A=∠C(已知)
∴∠ABE=∠A(等量代换)
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）