七年级数学 一次不等式(不等式组)的解法.doc

七年级数学 一次不等式(不等式组)的解法
　　不等式和方程一样，也是代数里的一种重要模型．在概念方面，它与方程很类似，尤其重要的是不等式具有一系列基本性质，而且“数学的基本结果往往是一些不等式而不是等式”．本讲是系统学习不等式的基础．
　　下面先介绍有关一次不等式的基本知识，然后进行例题分析．
　　1．不等式的基本性质

　　　这里特别要强调的是在用一个不等于零的数或式子去乘(或去除)不等式时，一定要注意它与等式的类似性质上的差异，即当所乘(或除)的数或式子大于零时，不等号方向不变(性质(5))；当所乘(或除)的数或式子小于零时，不等号方向要改变(性质(6))．
　　2．区间概念
　　在许多情况下，可以用不等式表示数集和点集．如果设a，b为实数，且a＜b，那么
　　(1)满足不等式a＜x＜b的数x的全体叫作一个开区间，记作(a，b)．如图1－4(a)．
　　(2)满足不等式a≤x≤b的数x的全体叫作一个闭区间，记作[a，b]．如图1－4(b)．
　　(3)满足不等式a＜x≤b(或a≤x＜b)的x的全体叫作一个半开半闭区间，记作(a，b](或[a，b))．如图1－4(c)，(d)．

　　3．一次不等式的一般解法
　　一元一次不等式像方程一样，经过移项、合并同类项、整理后，总可以写成下面的标准型：ax＞b，或ax＜b．为确定起见，下面仅讨论前一种形式．
　　 一元一次不等式ax＞b．

　　 (3)当a=0时，

用区间表示为(-∞，+∞)．

例1 解不等式

　　分析与解 因y2+1＞0，所以根据不等式的基本性质有

　　例2 解不等式

为x+2＞7，解为x＞5．这种错误没有考虑到使原不等式有意义的条件：x≠6．
　　解 将原不等式变形为
　　解之得　　所以原不等式的解为x＞5且x≠6．
　　例3 已知2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)，且y＜x+9，试比较
　　解 首先解关于x的方程得x=-10．将x=-10代入不等式得
y＜-10+9，即y＜-1．

　　例4 解关于x的不等式：

　　解 显然a≠0，将原不等式变形为
3x+3-2a2＞a-2ax，　　即(3+2a)x＞(2a+3)(a-1)．

　　说明 对含有字母系数的不等式的解，也要分情况讨论．
　　例5 已知a，b为实数，若不等式(2a-b)x+3a-4b＜0

　　解 由(2a-b)x+3a-4b＜0得(2a-b)x＜4b-3a．

　　由②可求得
　　将③代入①得

　　所以b＜0．于是不等式(a-4b)x+2a-3b＞0可变形为

　　因为b＜0，所以

　　下面举例说明不等式组的解法．
　　不等式组的解是不等式组中所有不等式解的公共部分．
　　若不等式组由两个不等式组成，分别解出每一个不等式，其解总可以归纳成以下四种情况之一(不妨设α＜β)：

　　解分别为：x＞β；x＜α；α＜x＜β；无解．如图1－5(a)，(b)，(c)，(d)所示．

　　若不等式组由两个以上不等式组成，其解可由下面两种方法求得：
　　(1)转化为求两两不等式解的公共部分．如求解

　　(2)不等式组的解一般是个区间，求解的关键是确定区间的上界与下界，如求解

　　确定上界：由x＜4，x＜8，x＜5，x＜2，从4，8，5，2这四个数中选最小的数作为上界，即x＜2．
　　确定下界：由x＞-4，x＞-6，x＞0，x＞-3．从-4，-6，0，-3中选最大的数作为下界，即x＞0．
　　确定好上、下界后，则原不等式组的解为：0＜x＜2．不等式组中不等式的个数越多，(2)越有优越性．
　　例6 解不等式组

　　解 原不等式组可化为

　　解之得　　

　　例7 解关于x的不等式组

　　解 解①得4mx＜11，③　　　 解②得 　3mx＞8． ④
　　(1)当m=0时，③，④变为
原不等式组无解．
　　(2)当m＞0时，③，④变形为

　　(3)当m＜0时，由③，④得

  第九讲一元一次不等式课堂练习
一、填空题
1. 关于x的不等式组的解集为-1<x<1。则ab=_______。
2. x满足不等式，则x可能取到的值中最大的整数是_______。
3. 已知关于x的不等式值是_________。
4.不等式的解是 。
5.关于x的不等式的解都是正数，那么m所能取的最小整数是 。
6.满足不等式的所有非负整数的乘积等于______。
二、解答题
　1.求自然数对（a，b），同时满足条件：
（1）0<a,（2）。
2. 求满足下列条件的最小的正整数n：对于n，存在正整数k，使成立。
3.解不等式｜｜x＋3｜-｜x-1｜｜＞2．

第九讲一元一次不等式课堂练习答案
一、填空题
1.解： 2x+a>3的解集为x>。5x-b<2的解集为。 ∴ 原不等式组的解集为。且。但题设原不等式解集为-1<x<1。故可知，在结合
解得a=5，b=3。所以ab=15。
2. 解: 解不等式 ① 及 ②
由①得 x，由②得x。 所以。
可见，x可能取到的值中最大整是0。
3. 解：原不等式可化为：
4. 解：，

5. 解：要使关于x的不等式的解是正数，必需 ，即
故m所取的最小整数是3。
6. 解：将0代入，不等式左边为1，右边为，1>所以0是满足不等式
的一个非负整数解，所以不等式的所有非负整数解 的积0。
二、解答题
1.解： ∵ ，∴ 。又 （
∴ 。又 a为自然数，∴ a的值只可能为1，2，3。由已知，且b是自然数，最小是1。∴。若a=2，由，知b只可能为1。此时，（与条件（2）相违。若a=3，由，知。∴ b=2。
则满足条件91）。此时，
（=。设，则m2=9800。∴ 982<m2<992(992=9801)。∴
满足条件（2）。即欲求的自然数对（a，b）为（3，2）。
2.解：3.解： ①

　　解①得x≤-3；解②得-3＜x＜-2或0＜x≤1；
　　解③得x＞1．所以原不等式解为x＜-2或x＞0．

第九讲一元一次不等式课堂课后练习
1.不等式|x+2|+|x-3|>5的解集是__________ .
2.已知方程有一负根且无正根，求的取值范围。
3．证明不等式

4.已知：，求的最大值和最小值。
第九讲一元一次不等式课堂课后练习答案
1. 解：
2. 解：方程有负根，，，。
当时，。，，，即。
3. 若有正根。，，。
当时，。，即。
综上所述，使方程有一负根且无正根的的取值范围是
3．令　　因为所以

4.由得：. ，。

当的最小值为，当时，的最大值为4。