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第五章 圆
5.1 圆的有关性褨
5.1.1圆的概念
1＆圆的定义
(1)在一个平面冁，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个竧点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点叫圆心，线段OA叫做半径； (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合．
2．圆的寸称性
(1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；
(2)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；
(3)圆是旋转对称图形．圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合，这就是圆的旋转不变性．
2、有关概念：
弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。
圆上任意䰤点间的部分叫做圆弧，简称弥。连接ᜆ上任意两点间的线段叫做弦缌经过圆心的弦叫做更径＄直径是最长的弦。
在同圆或等圆中，能夞重合的两条弧叫做等弧。
例 P为⊙O内一点，OP=cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦酿丸________；_最长弦长为_____O_．
解题思路：圂儅最长的弦是直径，最短的弆是和OP垂直的弦，答案：1 cm，8 cm.
5.1.2垂径定理
1．垂径ᮚ理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
2．推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①是直径 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙中，∵∥
∴弧弧

(1)(2010·南通)如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足P是OB的中点，CD＝6 cm，求直径AB的长．

例2(1)题 例2(2)题

(2)(2009·南充)如图，半圆的直径AB＝10，点C在半圆上，BC＝6.
①求弦AC的长；②若P为AB的中点，PE⊥AB交AC于点E，求PE的长．
【点拨】(1)题考查垂径定理及其推论．
(2)题主要考查“直径所对的圆周角为直角，勾股定理及三角形的相似判定和性质”，属于综合题．仔细审题，明确已知和未知条件是关键．
【解答】(1)连结OC、BC，则根据AB⊥CD且P是OB的中点，得OC＝BC.
∵OC＝OB，∴OC＝OB＝BC，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC＝60°.
由垂径定理得CP＝CD＝×6 cm＝3 cm.
在Rt△POC中，tan∠COP＝＝，∴OP＝ cm
∴AB＝2OB＝4OP＝4 cm.
(2)①∵AB是半圆的直径，点C在半圆上，
∴∠ACB＝90°.在Rt△ABC中，
AC＝＝＝8
②∵PE⊥AB，∴∠APE＝90°.　又∠ACB＝90°，
∴∠APE＝∠ACB.又∵∠PAE＝∠CAB，
∴△AEP∽△ABC，∴＝，∴＝，∴PE＝.

5.1.3圆心角定理
1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等．
此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出 其它的3个结论，
即：①；②；
③；④ 弧弧

2．推论：同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等；(4)两条弦的弦心距相等．四项中有一项成立，则其余对应的三项都成立．
例:如图1和图2，MN是⊙O的直径，弦AB、CD相交于MN上的一点P，∠APM=∠CPM．
（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．
（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．

(1) (2)
解题思路：（1）要说明AB=CD，只要证明AB、CD所对的圆心角相等，只要说明它们的一半相等．
上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的．
解：（1）AB=CD
理由：过O作OE、OF分别垂直于AB、CD，垂足分别为E、F
∵∠APM=∠CPM ∴∠1=∠2 OE=OF
连结OD、OB且OB=OD ∴Rt△OFD≌Rt△OEB ∴DF=BE
根据垂径定理可得：AB=CD
（2）作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F
∵∠APM=∠CPN且OP=OP，∠PEO=∠PFO=90°
∴Rt△OPE≌Rt△OPF ∴OE=OF
连接OA、OB、OC、OD
易证Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF
∴∠1+∠2=∠3+∠4 ∴AB=CD

5.1.4圆周角定理
1．定义：顶点在圆心上的角叫圆心角；顶点在圆上，角的两边和圆都相交的角叫圆周角．
2．性质
(1)圆心角的度数等于它所对弧的度数；
(2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角的度数的一半；
∵和是弧所对的圆心角和圆周角
∴

(3)同弧或等弧所对的圆周角相等．同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等；

在⊙中，∵、都是所对的圆周角
∴
(4)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

在⊙中，∵是直径 或∵
∴ ∴是直径
（5）若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
在△中，∵
∴△是直角三角形或
例题：例1、如图，A、B、C、D是⊙O上的三点，∠BAC=30°，则∠BOC的大小是( )
A、60° B、45° C、30° D、15°
解题思路：运用圆周角与圆心角的关系定理，答案：A

例2．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？

解题思路：BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰，要证明D是BC的中点，只要连结AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．
解：BD=CD
理由是：如图24－30，连接AD
∵AB是⊙O的直径 ∴∠ADB=90°即AD⊥BC
又∵AC=AB ∴BD=CD

5.2 与圆有关的位置关系

5.2.1点与圆的位置关系
1、点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外．
如果圆的半径是r，点到圆心的距离为d，那么：
点在圆内 点在圆内；
点在圆上 点在圆上；
点在圆外 点在圆外；
2．过三点的圆（圆和三角形的关系）
(1)经过三点作圆：

①经过在同一直线上的三点不能作圆；
②经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆．

（2)三角形的外接圆：
经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；
外接圆的圆心叫做三角形的外心；
这个三角形叫做这个圆的内接三角形；
外心到三个顶点的距离等于外接圆的半径。
(3)三角形外接圆的作法：
①确定外心：作任意两边的中垂线，交点即为外心；
②确定半径：两边中垂线的交点到三角形任一个顶点的距离作为半径．
例1 如图，通过防治“非典”，人们增强了卫生意识，大街随地乱扔生活垃圾的人少了，人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图24－49所示，A、B、C为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见，要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请问如果你是工程师，你将如何选址．

解题思路： 连结AB、BC，作线段AB、BC的中垂线，两条中垂线的交点即为垃圾回收站所在的位置．

例2 如图，Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则它的外心与顶点C的距离为（ ）．
A．5 cm B．2.5cm C．3cm D．4cm

解题思路：直角三角形外心的位置是斜边的中点，答案 B

5.2.2直线与圆的位置关系
1、直线与圆的三种位置关系
(1)直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时的直线叫做圆的割线；
(2)直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，唯一的公共点叫做切点，这时的直线叫圆的切线；
(3)直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
直线与圆相离 无交点；
直线与圆相切 有一个交点；
直线与圆相交 有两个交点；

例(1)在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2，下列说法中不正确的是(　　)
A．当a<5时，点B在⊙A内
B．当1<a<5时，点B在⊙A内
C．当a<1时，点B在⊙A外
D．当a>5时，点B在⊙A外
答案：通过画图和点与圆位置关系的判定条件，A不正确．故选A.

(2)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是(　　)
A．相离　　　　　　　B．相切
C．相交　　　　　　　D．相切或相交
答案：过点C作CD⊥AB于D.∵∠B＝30°，BC＝4 cm
∴CD＝2 cm，即点C到AB的距离等于⊙C的半径．
故⊙C与AB相切，故选B.
2．直线和圆的位置关系的性质与判定
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么
：(1)直线l和⊙O相交⇔d<r；
(2)直线l和⊙O相切⇔d＝r；
(3)直线l和⊙O相离⇔d>r.
例1、 在中，BC=6cm，∠B=30°，∠C=45°，以A为圆心，当半径r多长时所作的⊙A与直线BC相切？相交？相离？

解题思路：作AD⊥BC于D
在中，∠B=30°   ∴
在中，∠C=45°
∴ CD=AD  
∵ BC=6cm   ∴
∴
∴ 当时，⊙A与BC相切；当时，⊙A与BC相交；当时，⊙A与BC相离。

5.2.3 切线
1．切线的性质
(1)切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径；
(2)推论1：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；
(3)推论2：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

2．切线的判定方法
(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
(3)过半径外端点且和这条半径垂直的直线是圆的切线．
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵且过半径外端
∴是⊙的切线

例1．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A．
（1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．
（2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．
解题思路：（1）要说明CD是否是⊙O的切线，只要说明OC是否垂直于CD，垂足为C，因为C点已在圆上．
由已知易得：∠A=30°，又由∠DCB=∠A=30°得：BC=BD=10
解：（1）CD与⊙O相切
理由：①C点在⊙O上（已知）
②∵AB是直径
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°
∵∠A=∠OCA且∠DCB=∠A
∴∠OCA=∠DCB ∴∠OCD=90°
综上：CD是⊙O的切线．
（2）在Rt△OCD中，∠D=30°
∴∠COD=60° ∴∠A=30° ∴∠BCD=30°
∴BC=BD=10
∴AB=20，∴r=10
答：（1）CD是⊙O的切线，（2）⊙O的半径是10．

3.切线有关的计算和性质
1．切线长：在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
2．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角．
即：∵、是的两条切线
∴
平分

4.圆的内切圆
1．与三角形(多边形)内切圆有关的一些概念
(1)和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，
内切圆的圆心叫做三角形内心，这个三角形叫做圆的外切三角形；
(2)和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．
2．三角形的内心的性质
三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，
它到三边的距离相等，且在三角形内部．
例1：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8.则△ABC的内切圆半径r＝_2____.

5.2.4 圆和圆的位置关系
1、圆和圆的五种位置关系：重点：两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用．
难点：探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题．
外离（图1） 无交点 ；
外切（图2） 有一个交点 ；
相交（图3） 有两个交点 ；
内切（图4） 有一个交点 ；
内含（图5） 无交点 ；

例1：已知两圆的半径分别是4和6，圆心距为7，则这两圆的位置关系是(　　)
A．相交　　　B．相切　　　C．外离　　　D．内含
例2：若两圆相切，圆心距是7，其中一个圆的半径为10，则另一个圆的半径为________．
1、∵6－4<7<6＋4，∴两圆相交，故选A.
2、由题意知两圆相内切，则两圆半径、圆心距的关系为d＝R－r，即|10－r|＝7，∴r＝3或17.
例3．两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图1所示（点O，O′是圆心），分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．

（1） (2)
解题思路：要求∠TPN，其实就是求∠OPO′的角度，很明显，∠POO′是正三角形，如图2所示．
解：∵PO=OO′=PO′ ∴△PO′O是一个等边三角形 ∴∠OPO′=60°
又∵TP与NP分别为两圆的切线，∴∠TPO=90°，∠NPO′=90°
∴∠TPN=360°－2×90°－60°=120°
例4、如图，已知⊙O1与⊙O2都过点A，AO1是⊙O2的切线，⊙O1交O1O2于点B，连结AB并延长交⊙O2于点C，连结O2C.
(1)求证：O2C⊥O1O2；
(2)证明：AB·BC＝2O2B·BO1；
【点拨】(1)题利用切线性质及等边对等角证明．
(2)题考查相似三角形的判定和性质
【解答】(1)∵AO1是⊙O2的切线，∴O1A⊥AO2，∠O2AB＋∠BAO1＝90°.
又O2A＝O2C，O1A＝O1B，∴∠O2CB＝∠O2AB，∠O2BC＝∠ABO1＝∠BAO1.
∴∠O2CB＋∠O2BC＝∠O2AB＋∠BAO1＝90°，∴O2C⊥O2B，即O2C⊥O1O2.
(2)如图，延长O2O1交⊙O1于点D，连结AD.
∵BD是⊙O1的直径，
∴∠BAD＝90°.
又由(1)可知∠BO2C＝90°，
∴∠BAD＝∠BO2C.又∠ABD＝∠O2BC，
∴△O2BC∽△ABD，∴＝，
∴AB·BC＝O2B·BD，又BD＝2BO1，
∴AB·BC＝2O2B·BO1.
例5．如图所示，点A坐标为（0，3），OA半径为1，点B在x轴上．
_
A
_
y
_
x
_
O
（1）若点B坐标为（4，0），⊙B半径为3，试判断⊙A与⊙B位置关系；
（2）若⊙B过M（－2，0）且与⊙A相切，求B点坐标．

（1）AB=5>1+3，外离．
（2）设B（x，0）x≠－2，则AB=，⊙B半径为│x+2│，
①设⊙B与⊙A外切，则=│x+2│+1，
当x>－2时，=x+3，平方化简得：x=0符题意，∴B（0，0），
当x<－2时，=－x－1，化简得x=4>－2（舍），
②设⊙B与⊙A内切，则=│x+2│－1，
当x>－2时，=x+1，得x=4>－2，∴B（4，0），
当x<－2时，=－x－3，得x=0，

5.3 圆中的有关计算
5.3.1 扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
1、扇形：（1）弧长公式：；
（2）扇形面积公式：
：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积
2、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图
=
（2）圆柱的体积：

（2）圆锥侧面展开图
（1）=
（2）圆锥的体积：

3．规则图形：按规则图形的面积公式去求．
4．不规则图形：采用“转化”的数学思想方法．把不规则图形的面积采用“割补法”、“等积变形法”、“平移法”、“旋转法”等转化为规则图形的面积．

(1)(2010·昆明)如图，已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65π cm2，扇形的弧长为10π cm，则圆锥母线长是(　　)
A．5 cm　　B．10 cm　　C．12 cm　　D．13 cm
(2)(2010·兰州)现有一个圆心角为90°，半径为8 cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面(接缝处忽略不计)．该圆锥底面圆的半径为(　　)
A．4 cm　　　 B．3 cm　　　 C．2 cm　　　 D．1 cm
(3)(2010·哈尔滨)将一个底面半径为5 cm，母线长为12 cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是________度．

(4)(2010·龙岩)如图是圆心角为30°，半径分别是1、3、5、7、……的扇形组成的图形，阴影部分的面积依次记为S1、S2、S3、……，则S50＝________(结果保留π)．

【点拨】熟记扇形面积公式、弧长公式以及圆锥侧面积公式是解决本组题的基础，解决该部分的题目要结合原图及侧面展开图寻找等量关系．
【解答】(1)∵lr＝S扇形，∴×10π×r＝65π，∴r＝13，故选D.
(2)∵2πr＝π×8，∴r＝2，故选C.
(3)∵×122＝π×5×12，∴n＝150
(4)设每个扇形大圆半径为R，小圆半径为r，则R1＝3，R2＝7，R3＝11，……，Rn＝4n－1，r1＝1，r2＝5，r3＝9，……，rn＝4n－3.
则当n＝50时，S50＝π(R－r)＝×[(4×50－1)2－(4×50－3)2]＝66π.

例1：如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若DE＝2，∠DPA＝45°.
(1)求⊙O的半径；
(2)求图中阴影部分的面积．
【点拨】(1)题主要考查垂径定理；(2)题连结OF，S阴影＝S扇形OEF－S△O
【解答】(1)∵直径AB⊥DE，∴CE＝DE＝.
∵DE平分AO，∴CO＝AO＝OE.
又∵∠OCE＝90°，∴∠CEO＝30°.
在Rt△COE中，OE＝＝＝2.
∴⊙O的半径为2.

(2)连结OF，如图所示．
在Rt△DCP中，∵∠DPC＝45°，
∴∠D＝90°－45°＝45°，
∴∠EOF＝2∠D＝90°.

∵S扇形OEF＝×π×22＝π，S△OEF＝×OE×OF＝×2×2＝2.
∴S阴影＝S扇形OEF－S△OEF＝π－2.
例:2．操作与证明：如图所示，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处，并将纸板绕O点旋转，求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．

解题思路：如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB、AD分别交于点M、N，连结OA、OD． ∵四边形ABCD是正方形
∴OA=OD，∠AOD=90°，∠MAO=∠NDO，
又∠MON=90°，∠AOM=∠DON ∴△AMO≌△DNO
∴AM=DN ∴AM+AN=DN+AN=AD=a
特别地，当点M与点A（点B）重合时，点N必与点D（点A）重合，此时AM+AN仍为定值a．故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．
例3．已知扇形的圆心角为120°，面积为300cm2．
（1）求扇形的弧长；
（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？
解题思路：（1）由S扇形=求出R，再代入L=求得．（2）若将此扇形卷成一个圆锥，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长，就可求圆的半径，其截面是一个以底是直径，圆锥母线为腰的等腰三角形．[来源:学。科。网Z。X。X。K]
解：（1）如图所示：
∵300= ∴R=30
∴弧长L==20（cm）
（2）如图所示：
∵20=20r ∴r=10，R=30 AD==20
∴S轴截面=×BC×AD
=×2×10×20=200（cm2）
因此，扇形的弧长是20cm卷成圆锥的轴截面是200cm2．

5.4 圆和正多边形
5.4.1 圆内正多边形的计算
（1）正三角形
在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：；

（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在中进行，：

（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在中进行，.

5.4.2正多边形和圆
（重点：正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．
难点：正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．）
正多边形的中心：所有对称轴的交点；
正多边形的半径：正多边形外接圆的半径。
正多边形的边心距：正多边形内切圆的半径。
正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角。
正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形，每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形。
例1．如图，已知正六边形ABCDEF，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积．
解题思路：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的．
解：如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于=60°，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．
因此，所求的正六边形的周长为6a
在Rt△OAM中，OA=a，AM=AB=a
利用勾股定理，可得边心距
OM==a
∴所求正六边形的面积=6××AB×OM=6××a×a=a2
例2．在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如图24－94的设计方案是使AC=8，BC=6．
（1）求△ABC的边AB上的高h．
（2）设DN=x，且，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？
（3）实际施工时，发现在AB上距B点1．85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．
解题思路：要求矩形的面积最大，先要列出面积表达式，再考虑最值的求法，初中阶段，尤其现学的知识，应用配方法求最值．（3）的设计要有新意，应用圆的对称性就能圆满解决此题．
解：（1）由AB·CG=AC·BC得h==4.8
（2）∵h=且DN=x ∴NF=
则S四边形DEFN=x·（4.8－x）=－x2+10x=－（x2－x）
=－ [（x－）2－]=－（x－2.4）2+12
∵－（x－2.4）2≤0 ∴－（x－2.4）2+12≤12 且当x=2.4时，取等号
∴当x=2.4时，SDEFN最大．
（3）当SDEFN最大时，x=2.4，此时，F为BC中点，在Rt△FEB中，EF=2.4，BF=3．
∴BE==1.8
∵BM=1.85，∴BM>EB，即大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案．
∵当x=2.4时，DE=5 ∴AD=3.2，由圆的对称性知满足条件的另一设计方案，如图所示: 此时，AC=6，BC=8，AD=1.8，BE=3.2，这样设计既满足条件，又避开大树．
● 单元综合评价
1、理解圆的基本概念与性质。
2、求线段与角和弧的度数。
3、圆与相似三角形、全等三角形、三角函数的综合题。
4、直线和圆的位置关系。
5、圆的切线的性质 和判定 。
6、三角形内切圆以及三角形内心的概念。
7、圆和圆的五种位置关系。
8、两圆的位置关系与两个圆半径的和或差与圆心距之间的关系式。两圆相切、相交的性质。
9、掌握弧长、扇形面积计算公式。
10、理解圆柱、圆锥的侧面展开图。
11、掌握圆柱、圆锥的侧面积和全面积计算。
考查目标一、主要是指圆的基础知识，包括圆的对称性，圆心角与弧、弦之间的相等关系，圆周角与圆心角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，以及垂径定理等内容。这部分内容是圆的基础知识，学生要学会利用相关知识进行简单的几何推理和几何计算
考查目标二、主要是指点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系的相关内容。学生要学会用动态的观点理解和解决与圆有关的位置关系的问题。
考查目标三、主要是指圆中的计算问题，包括弧长、扇形面积，以及圆柱与圆锥的侧面积和全面积的计算，这部分内容也是历年中考的必考内容之一。学生要理解圆柱和其侧面展开图矩形、圆锥和其侧面展开图扇形之间的关系。

考查目标一：主要是指圆的基础知识，包括圆的对称性，圆心角与弧、弦之间的相等关系，圆周角与圆心角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，以及垂径定理等内容。这部分内容是圆的基础知识，学生要学会利用相关知识进行简单的几何推理和几何计算
例1、如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交于D．
(1)请写出五个不同类型的正确结论；
(2)若BC=8，ED＝2，求⊙O的半径．
解题思路：运用圆的垂径定理等内容
解：(1)不同类型的正确结论有：
①BE=CE ;②弧BD=弧CD ③∠BED=90°④∠BOD=∠A;⑤AC∥OD，⑥AC⊥BC;
⑦OE2+BE2=OB2;⑧S△ABC＝BC·OE;⑨△BOD是等腰三角形，⑩△BOE∽△BAC;
(2)∵OD⊥BC， ∴BE＝CE=BC=4．
设⊙O的半径为R，则OE=OD－DE=R－2．
在Rt△OEB中，由勾股定理得
OE2＋BE2=OB2，即(R－2)2＋42=R2．解得R＝5． ∴ ⊙ O的半径为5
例2.已知：如图等边内接于⊙O，点是劣弧PC上的一点（端点除外），延长至，使，连结．
（1）若过圆心，如图①，请你判断是什么三角形？并说明理由．
（2）若不过圆心，如图②，又是什么三角形？为什么？
A
O
C
D
P
B
图①
A
O
C
D
P
B
图②
解题思路：（1）为等边三角形．
理由：为等边三角形
，
又在⊙O中
又
． [来源:Zxxk.Com]
又过圆心，，
，
为等边三角形．
（2）仍为等边三角形
理由：先证（过程同上）
又，

又 为等边三角形．
例3.(1)如图OA、OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点：过点C作CD切⊙O于点D，连结AD交DC于点E．求证：CD=CE
(2)若将图中的半径OB所在直线向上平行移动交OA于F，交⊙O于B’，其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗?为什么?
(3)若将图中的半径OB所在直线向上平行移动到⊙O外的CF，点E是DA的延长线与CF的交点，其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗?为什么

解题思路：本题主要考查圆的有关知识，考查图形运动变化中的探究能力及推理能力．
解答：(1)证明：连结OD 则OD⊥CD，∴∠CDE+∠ODA=90°
在Rt△AOE中，∠AEO+∠A=90°
在⊙O中，OA=OD∴∠A=∠ODA， ∴∠CDE=∠AEO [来源:Z|xx|k.Com]
又∵∠AEO=∠CED，∠CDE=∠CED ∴CD=CE
(2)CE=CD仍然成立．
∵原来的半径OB所在直线向上平行移动∴CF⊥AO于F，
在Rt△AFE中，∠A+∠AEF=90°．
连结OD，有∠ODA+∠CDE=90°，且OA=OD ．∠A=∠ODA
∴∠AEF=∠CDE 又∠AEF=∠CED ∴∠CED=∠CDE∴CD=CE
(3)CE=CD仍然成立．
∵原来的半径OB所在直线向上平行移动．AO⊥CF
延长OA交CF于G，在Rt△AEG中，∠AEG+∠GAE=90°
连结OD，有∠CDA+∠ODA=90°，且OA=OD∴∠ADO=∠OAD=∠GAE
∴∠CDE=∠CED ∴CD=CE

考查目标二、主要是指点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系的相关内容。学生要学会用动态的观点理解和解决与圆有关的位置关系的问题。

例1、是⊙O的直径，切⊙O于，交⊙O于，连A
B
C
P
O
．若，求的度数．

解题思路：运用切线的性质 .
切⊙O于是⊙O的直径， ∴． [来源:学。科。网Z。X。X。K]
，∴．∴
例2.如图，四边形内接于⊙O，是⊙O的直径，，垂足为，平分．
D
E
C
B
O
A

（1）求证：是⊙O的切线；
（2）若，求的长．

解题思路：运用切线的判定
（1）证明：连接，平分，．
．．
．
D
E
C
B
O
A
，．
．是⊙O的切线．
（2）是直径，．
，．
平分，．．
在中，．
在中，．
的长是1cm，的长是4cm．
考查目标三、主要是指圆中的计算问题，包括弧长、扇形面积，以及圆柱与圆锥的侧面积和全面积的计算，这部分内容也是历年中考的必考内容之一。学生要理解圆柱和其侧面展开图矩形、圆锥和其侧面展开图扇形之间的关系。
例1、如图，已知在⊙O中，AB=，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30°.
(1)求图中阴影部分的面积；
(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径.
解题思路：（1）法一：过O作OE⊥AB于E，则AE=AB=2。
F
E
在RtAEO中，∠BAC=30°，cos30°=．
∴OA===4．
又∵OA=OB，∴∠ABO=30°．∴∠BOC=60°．
∵AC⊥BD，∴．∴∠COD =∠BOC=60°．∴∠BOD=120°．
F
∴S阴影==．
法二：连结AD．
∵AC⊥BD，AC是直径，
∴AC垂直平分BD。
∴AB=AD，BF=FD，。∴∠BAD=2∠BAC=60°，∴∠BOD=120°．
∵BF=AB=2，sin60°=， AF=AB·sin60°=4×=6。
∴OB2=BF2+OF2．即．∴OB=4．∴S阴影=S圆=。
法三：连结BC．
∵AC为⊙O的直径， ∴∠ABC=90°。
F
∵AB=4，∴
∵∠A=30°， AC⊥BD， ∴∠BOC=60°，∴∠BOD=120°．
∴S阴影=π·OA2=×42·π=。
以下同法一。
（2）设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr，∴

O
①
②
③
∴。
例2.如图，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为的扇形．
（1）求这个扇形的面积（结果保留）．
（2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与
此扇形围成一个圆锥？请说明理由．
（3）当⊙O的半径为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
解题思路：（1）连接，由勾股定理求得：

①
②
③

（2）连接并延长，与弧和交于，
弧的长：
圆锥的底面直径为：
，不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．
（3）由勾股定理求得： 弧的长：

圆锥的底面直径为：

且

即无论半径为何值，
· 不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．

2012年初中数学中考总复习教案 第 22 页