第十一课时对数函数图像及性质.doc

第十一课时 对数函数的图像和性质
教学目标
掌握对数函数的概念、图象和性质；能利用对数函数的性质解题．
教学重点
运用对数函数的图象、性质解题．
教学过程
一 自主预习
1.根据对数函数的图象和性质填空．
(1)已知函数,则当时, ；当时, ；
当时, ；当时, ．
(2)已知函数，则当时, ；当时, ；当时, ；当时, ；当时， ．
2.函数的定义域是____ .
变式：已知f(x)=loga (a＞0，且a≠1)，则f(x)的定义域为 f(x)的奇偶性是 。
3. 函数y=的递增区间是 。
4.设是奇函数，则使的的取值范围是 _________________。
5.(2010年福建厦门模拟)已知lga＋lgb＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是________．

6.如图所示，若函数f(x)＝ax－1的图象经过点(4,2)，则函数g(x)＝loga的图象是________．

7.设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则 2 。
8. 若loga2<logb2<0，则 （ ）
A．0<a<b<1 B．0<b<a<1 C．a>b>1 D．b>a>1

二 总结提高

a>1
0<a<1
图
象

性
质
定义域：
值域：
过点
时
时
时
时
在（0，+∞）上是 函数
在（0，+∞）上是 函数
注：1.同底的指数函数与对数函数互为反函数；
2。底大图低；
3.解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；
4．解决对数不等式、对数方程时，要重视考虑对数的真数、底数的范围；
5.对数不等式的主要解决思想是对数函数的单调性。
三 考点剖析
例1.（1） (重庆文6)设，,则的大小关系是 。
（2）（天津文6）设，则大小关系是 ．
　　练习：（1）0.32,20.3,log20.3,________________.
（2），__________________.
（3）；
(4)已知且比较的大小；

例2．若f(x)＝x2－x＋b，且f(log2a)＝b，log2f(a)＝2(a>0且a≠1)．(1)求f(log2x)的最小值及相应x的值；(2)若f(log2x)>f(1)且log2f(x)<f(1)，求x的取值范围．

例3.已知函数f（x）=log2(x2-ax-a)在区间（-∞,1-］上是单调递减函数.求实数a的取值范围.

例4．(2010年天津和平质检)已知f(x)＝loga(a>0，a≠1)．(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性并给予证明；(3)求使f(x)>0的x的取值范围．

变式．已知函数f(x)满足f(logax)＝(x－x－1)，其中a>0且a≠1.
(1)对于函数f(x)，当x∈(－1,1)时，f(1－m)＋f(1－m2)<0，求实数m的集合；
(2)x∈(－∞，2)时，f(x)－4的值恒为负数，求a的取值范围．

例5.对于，
（1）函数的“定义域为R”和“值域为R”是否是一回事；
（2）结合“实数a的取何值时在上有意义”与“实数a的取何值时函数的定义域为”说明求“有意义”问题与求“定义域”问题的区别；
（3）结合（1）（2）两问，说明实数a的取何值时的值域为
（4）实数a的取何值时在内是增函数。

四 走进高考
1．(2009年高考全国卷Ⅱ)设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则a、b、c的大小关系是________．
2．若函数f(x)＝，则f(log43)＝________.
3．(原创题)已知函数f(x)＝alog2x＋blog3x＋2，且f()＝4，则f(2010)的值为_．
4.（天津理8）设函数，若，则实数的取值范围是 ．
5.（2010浙江理10）设函数的集合，
平面上点的集合，则在同一直角坐标系中，中函数的图象恰好经过中两个点的函数的个数是 。

6．(2010年安徽黄山质检)对于函数f(x)＝lgx定义域中任意x1，x2(x1≠x2)有如下结论：①f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)；②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)；③>0；④f()<.上述结论中正确结论的序号是________．

7.(2010年枣庄第一次质检)对任意实数a、b，定义运算“*”如下：a*b＝，则函数f(x)＝log(3x－2)*log2x的值域为________．

8．(2009年高考辽宁卷改编)若x1满足2x＋2x＝5，x2满足2x＋2log2(x－1)＝5，则x1＋x2＝________.
变式：已知曲线C：x2＋y2＝9(x≥0，y≥0)与函数y＝log3x及函数y＝3x的图象分别交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x12＋x22的值为________．

9．当x∈[n，n＋1)，(n∈N)时，f(x)＝n－2，则方程f(x)＝log2x根的个数是________．

10．已知函数f(x)＝lg(k∈R且k>0)．(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)在[10，＋∞)上是单调增函数，求k的取值范围．

第十一课时 对数函数的图像和性质参考答案

例2.解：(1)∵f(x)＝x2－x＋b，∴f(log2a)＝(log2a)2－log2a＋b＝b，∴log2a＝1，∴a＝2.又∵log2f(a)＝2，∴f(a)＝4.∴a2－a＋b＝4，∴b＝2.∴f(x)＝x2－x＋2.
∴f(log2x)＝(log2x)2－log2x＋2＝(log2x－)2＋.
∴当log2x＝，即x＝时，f(log2x)有最小值.
(2)由题意知∴
∴∴0<x<1.

例4解：(1)由>0 ，解得x∈(－1,1)．
(2)f(－x)＝loga＝－f(x)，且x∈(－1,1)，∴函数y＝f(x)是奇函数．
(3)若a>1，f(x)>0，则>1，解得0<x<1；若0<a<1，f(x)>0，则0<<1，解得－1<x<0.
变式解：令logax＝t(t∈R)，则x＝at，∴f(t)＝(at－a－t)，
∴f(x)＝(ax－a－x)．∵f(－x)＝(a－x－ax)＝－f(x)，
∴f(x)是R上的奇函数．
当a>1时，>0，ax是增函数，－a－x是增函数，∴f(x)是R上的增函数；
当0<a<1，<0，ax是减函数，－a－x是减函数，∴f(x)是R上的增函数．
综上所述，a>0且a≠1时，f(x)是R上的增函数．
(1)由f(1－m)＋f(1－m2)<0有f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)，
∴解得m∈(1，)．
(2)∵f(x)是R上的增函数，∴f(x)－4也是R上的增函数，由x<2，得f(x)<f(2)，
∴f(x)－4<f(2)－4，要使f(x)－4的值恒为负数，只需f(2)－4≤0，
即(a2－a－2)－4≤0，解得2－≤a≤2＋，
∴a的取值范围是2－≤a≤2＋且a≠1.
四 走进高考
1.解析：a＝log3π>1，b＝log2＝log23∈(，1)，c＝log3＝log32∈(0，)，故有a>b>c.答案：a>b>c
2.解析：0<log43<1，∴f(log43)＝4log43＝3.答案：3
3.解析：设F(x)＝f(x)－2，即F(x)＝alog2x＋blog3x，则F()＝alog2＋blog3＝－(alog2x＋blog3x)＝－F(x)，∴F(2010)＝－F()＝－[f()－2]＝－2，
即f(2010)－2＝－2，故f(2010)＝0.答案：0
　4.【解析】若，则，即，所以，
若则，即，所以，。
所以实数的取值范围是或，即．故选C．

5.解析：当a=0,b=0;a=0,b=1;a=,b=0; a=,b=1;a=1,b=-1;a=1,b=1时满足题意，故答案选B，本题主要考察了函数的概念、定义域、值域、图像和对数函数的相关知识点，对数学素养有较高要求，体现了对能力的考察，属中档题

6.解析：由运算律f(x1)＋f(x2)＝lgx1＋lgx2＝lgx1x2＝f(x1x2)，所以②对；因为f(x)是定义域内的增函数，所以③正确；f()＝lg，＝＝lg，∵≥，且x1≠x2，∴lg>lg，所以④错误．
答案：②③

7.解析：在同一直角坐标系中画出y＝log(3x－2)和y＝log2x两个函数的图象，

由图象可得
f(x)＝，值域为(－∞，0]．答案：(－∞，0]
8.解析：由题意2x1＋2x1＝5，①2x2＋2log2(x2－1)＝5，②所以2x1＝5－2x1，x1＝log2(5－2x1)，
即2x1＝2log2(5－2x1)．令2x1＝7－2t，代入上式得7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－1)，
∴5－2t＝2log2(t－1)与②式比较得t＝x2，于是2x1＝7－2x2.∴x1＋x2＝.答案：

变式解析：∵y＝log3x与y＝3x互为反函数，所以A与B两点关于y＝x对称，所以x1＝y2，y1＝x2，∴x12＋x22＝x12＋y12＝9.答案：9

解析：当n＝0时，x∈[0,1)，f(x)＝－2；
当n＝1时，x∈[1,2)，f(x)＝－1；
当n＝2时，x∈[2,3)，f(x)＝0；
当n＝3时，x∈[3,4)，f(x)＝1；
当n＝4时，x∈[4,5)，f(x)＝2；
当n＝5时，x∈[5,6)，f(x)＝3.答案：2
10.解：(1)由>0及k>0得>0，即(x－)(x－1)>0.
①当0<k<1时，x<1或x>；②当k＝1时，x∈R且x≠1；③当k>1时，x<或x>1.综上可得当0<k<1时，函数的定义域为(－∞，1)∪(，＋∞)；
当k≥1时，函数的定义域为(－∞，)∪(1，＋∞)．
(2)∵f(x)在[10，＋∞)上是增函数，∴>0，∴k>.
又f(x)＝lg＝lg(k＋)，故对任意的x1，x2，当10≤x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)，
即lg(k＋)<lg(k＋)，∴<，∴(k－1)·(－)<0，
又∵>，∴k－1<0，∴k<1.综上可知k∈(，1)．