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第二章 函数、导数及其应用
第一节 函数及其表示
6
用心 爱心 专心
强化训练
1.已知f:sinx是集合])到集合B={}的一个映射,则集合A中的元素个数最多有( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
答案:B
解析:∵],由-sinx=0得x=0,,2;由-sin
得
∴A中最多有5个元素.
2.函数y=f(x)的图象如图所示.观察图象可知函数y=f(x)的定义域、值域分别是( )
A.5]
B.[-5,6)
C.
D.
答案:C
解析:由题中图象可以看出,应选C.
3.设f(x),g(x),h(x)是R上的任意实值函数,如下定义两个函数(fg)(x)和(:对任意R,(fg)(x)=f(g(x));g(x).则下列等式恒成立的是( )
A.((f
B.h)(x)=((fh))(x)
C.((fg) h)(x)=((fh)(gh))(x)
D.
答案:B
4.二次函数R)的部分对应值如下表:
则不等式的解集是 .
答案:(-2,3)
解析:由表中的二次函数对应值可得,二次方程bx+c=0的两根为-2和3,又根据f(0)<f(-2)且f(0)<f(3)可知a>0,所以不等式的解集是(-2,3).
5.已知则f(x)= .
答案:
解析:令则.
所以
故.
6.如图所示,△OAB是边长为2的正三角形,记△OAB位于直线x=t(t>0)左侧的图形的面积为f(t),试求函数f(t)的解析式;并画出函数y=f(t)的图象.
解:当时,
tan60;
当时,
t)tan60;
当t>2时 .
∴f(t)=
函数的图象如图所示.
见课后作业B
题组一 函数与映射的概念
1.设f:是从集合A到集合B的映射,如果B={1,2},则为( )
A. B.{1}
C.或{2} D.或{1}
答案:D
解析:由已知或解之得或.若则{1},若则.故或{1}.
2.下列函数中与函数y=x相同的是( )
A. B.
C. D.
答案:B
解析:因为所以应选B.
3.已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表:
则方程g的解集为（ ）
A.{1} B.{2}
C.{3} D.
答案:C
解析:当x=1时,g不合题意；
当x=2时,g不合题意；
当x=3时,g符合题意.
题组二 函数的表示方法
4.某工厂从2000年开始,近八年以来生产某种产品的情况是:前四年年产量的增长速度越来越慢,后四年年产量的增长速度保持不变,则该厂这种产品的产量y与时间t的函数图象可能是( )
答案:B
解析:前四年年产量的增长速度越来越慢,知图象的斜率随x的变大而变小,后四年年产量的增长速度保持不变,知图象的斜率不变,∴选B.
5.设f、g都是由A到A的映射,其对应法则如下表(从上到下):
映射f的对应法则是表1
映射g的对应法则是表2
则与f[g(1)]相同的是( )
A.g[f(1)] B.g[f(2)]
C.g[f(3)] D.g[f(4)]
答案:A
解析:根据表中的对应关系得,f[g(1)]=f(4)=1,g[f(1)]=g(3)=1.
6.里氏震级M的计算公式为:M=lgA-lg其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为 级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的 倍.
答案:6 10 000
题组三 分段函数
7.设f(x)= 则f[f(-2)]= .
答案:-2
解析:∵x=-2<0,∴f
∴lg
即f[f(-2)]=-2.
8.已知函数f(x)=则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
答案:A
解析:当时,不等式化为即所以;
当x>0时,不等式化为即所以.
综上可得不等式的解集为.
9.设函数f(x)=若f(-3)=f(0),f(-1)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为 .
答案:3
解析:由f(-3)=f(0),f(-1)=-2可得b=3,c=0,从而方程f(x)=x等价于 或 解得到x=0或x=-2,从而得方程f(x)=x的解的个数为3.
10.已知f(x)= 且f(a)=3,求a的值.
解:①当时,f(a)=a+2,
由a+2=3,得a=1,与相矛盾,应舍去.
②当-1<a<2时,f(a)=2a,由2a=3,得a=满足-1<a<2.
③当时
由得.
又∴.综上可知,a的值为或.
题组四 函数及其表示的灵活应用
11.如果f(a+b且f(1)=2,则…
.
答案:2 012
解析:f(2)=f(1f(1)f(2)=2
…
∴原式 006=2 012.
12.已知f(x)是二次函数,不等式f(x)<0的解集是(0,5)且f(x)在区间[-1,4]上的最大值是12.
(1)求f(x)的解析式;
(2)是否存在实数m,使得方程在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.
解:(1)∵f(x)是二次函数,且f(x)<0的解集是(0,5),
∴可设f(x)=ax(x-5)(a>0).
∴f(x)在区间[-1,4]上的最大值是f(-1)=6a,由已知,得6a=12.
∴a=2.
∴f(x)=2xR).
(2)方程等价于方程37=0.
设则h′10).
当时,h′(x)<0,h(x)是减函数;
当和时,h′(x)>0,h(x)是增函数.
∴h(x)在内不可能有两不等实根.
又∵h(3)5>0,
∴方程h(x)=0在区间内分别有唯一实数根,而在区间(0,3)内没有实数根.
∴存在唯一的自然数m=3,使得方程f(x)+在区间(m,m+1)内有且只有两个不同的实数根.
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