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多尺度法初识和应用

摘要：简要介绍多重尺度发的中心思想，另外，举例说明多重尺度法在求解方程中的应用。

非线性问题的研究
非线性问题的“个性”很强，处理起来十分棘手。历史上曾有过一些解非 线性方程的“精品”，但与大量存在的非线性方程相比，只能算是“凤毛麟角”。 因此，长期以来，对非线性问题的研究一直分散在自然科学和技术科学的各个 领域。本世纪六十年代以来，情况发生了变化。人们几乎同时从非线性系统的 两个极端方向取得了突破：一方面从可积系统的一端，即从研究多自由度的非 线性偏微分方程的一端获得重大进展。如在浅水波方程中发现了“孤子”，发 展起一套系统的数学方法，如反散射法，贝克隆变换等，对一些类型的非线性 方程给出了解法；另一方面，从不可积系统的极端，如在天文学、生态学等领 域对一些看起来相当简单的不可积系统的研究，都发现了确定性系统中存在着 对初值极为敏感的复杂运动。促成这种变化的一个重要原因十计算机的出现和 广泛应用。科学家们以计算机为手段，勇敢地探索那些过去不能用解析方法处 理的非线性问题，从中发掘出规律性的认识，并打破了原有的学科界限，从共性、普适性方面来探讨非线性系统的行为。

线性与非线性的意义
“线性”与“非线性”是两个数学名词。所谓“线性”是指两个量之间所存在 的正比关系。若在直角坐标系上画出来，则是一条直线。由线性函数关系描述的系 统叫线性系统。在线性系统中，部分之和等于整体。描述线性系统的方程遵从叠加原理，即方程的不同解加起来仍然是原方程的解。这是线性系统最本质的特征之一。
“非线性”是指两个量之间的关系不是“直线”关系，在直角坐标系中呈一条曲线。 最简单的非线性函数是一元二次方程即抛物线方程。简单地说，一切不是一次的函 数关系，如一切高于一次方的多项式函数关系，都是非线性的。由非线性函数关系 描述的系统称为非线性系统。

多尺度法的基本思想
多尺度法首先是由Sturrock(1957) 、Cole(1963) 、 Nayfeh(1965)等提出的,此后得到进一步的发展。 上面介绍该法的基本思想与方法。我们考虑形式为

的方程所控制的系统，设方程的解为

将原点移至中心位置 是合适的。于是有

此时第一式可写成

假设 f 可以展为泰勒级数，则上式可写为

其中

而 f(n) 表示关于自变量的 n 阶导数，对于中心， ，而

我们可以把方程的解看成是多个自变量的函数，而不是一个自变量的函数。也就是们可以把x看成是 t 和 , …, 的函数。多尺度法的基本思想是，将表示响应的展开式考虑成为多个自变量(或多个尺度)的函数。

即

因此关于t的导数变成了关于的偏导数的展开式，即

然后代入方程进行求解，求出 。这时，方程的 解可写成：
然后按照小参数法 ( 摄动法 ) 建立ε 的 各阶方程， 进而 求出

多重尺度法的应用
一、求解自治系统
例1.4.1 求Duffing方程（1.1.4）

自由振动的二次近似解（用多尺度法）
解：
求二次近似解可选三个变量，设

代入原方程，并用到式（1.4.3），可得到下列方程组
（1.4.4a）
(1.4.4b)
(1.4.4c)
设式（1.4.4a）的解为

其中A是未知复函数，
是A的共轭。用复数形式表示是为了运算方便。把 代入式（1.4.4b）

其中cc表示前面各项的共轭。为使x1,不出现永年项，必须
（1.4.4d）
又求得
把代入（1.4.4c）,并利用条件（1.4.4d），有
消除永年项
（1.4.4e）
解为

利用式（1.4.4d）,（1.4.4e）求A（T1,T2）如下：
由（1.4.4d）

由（1.4.4c）

利用式（1.4.3a）并注意到，就得到

令，其中是t的实函数，将之代入上式，实、虚部展开，有

积分得

为积分常数，所以

于是，原方程二阶近似解为

其中

二、无限传输方程的近似解

（一） 稳定性分析

对于系统
（2.1.1）
对于方程（2.1.1）的根, 如果对的任一邻域U,存在的一个属于U的邻域，使系统（2.1.1）的解，若有,则对一切，有，就称是稳定的，否则就称为不稳定的。如果稳定，并且有，就称是渐近稳定的。

定义：若（2.1.1）的零解对都是渐近稳定的。则称（2.1.1）为全时滞稳定的。或叫无条件稳定或绝对稳定。
可求(2.1)的特征方程：
将代人到方程（2.1.1）中则有，

所以有：
即有： （2.1.2）

若时，则为其特征根。
如果其特征根位于左半平面，而当由0增至时，不越过虚轴，则系统（2.1.2）的更全具有负实部，这样系统（2.1）的零解为全时滞稳定的。因此，要使（2.1.1）为全时滞稳定，首先要使（2.1.2）的根具有负实部。
只有当(2.1.1)的特征根为纯虚数时，方程的解才有近似周期解。
用代人（2.1.1）中，有

即
所以有
令
当时，在区间上上，

函数 单调
当 时，
当时，
函数与X轴有交点，方程有解，即 特征方程（2.1.2）有纯虚根。

（二）近似周期解
在的非线性扰动的情况下，可求系统的一次近似周期解（利用多尺度法）
设 （2.2.1）
其中
应用微分算子，记，，知：
（2.2.2）
由，知
(2.2.3)
根据二元函数的泰勒展开：

令 知

（2.2.4）

（2.2.5）
将（2.2.4），（2.2.5）代人(2.2.3)中
得到时滞项：

++
（2.2.6）

（2.2.7）
（2.2.8）
将（2.2.1）（2.2.2）(2.2.3)（2.2.4）（2.2.5）（2.2.7）（2.2.8）代人原方程得

这样根据多项式的性质，可知，指数的系数在等式两边相等。这样就有，
（2.2.9）
则，当时，系统可形如（2.1.1），这样是特征方程的根。易见方程（2.2.9）有如下形式的谐波解：

其中cc表示前面各项的共轭，

又有，
这样，

=

而对齐次方程的特征方程有：
得，
为此，我们可以设
可令
这样，

由于所求的为方程的近似周期解，所以其永年项为0.
则，
即，
而，
这样有，
即，

分离实部和虚部
得
根据克拉默法则解方程组，得

把回代，因此有：

（注：其余那些项为永年项为零）
因此，应有形如形式的周期解。
将回代，则有

所以方程有如下形式的周期解：

结论：
当时，
当时，在区间上上，

函数 单调
当 时，
当时，
函数与X轴有交点，方程有解，即 特征方程（2.1.2）有纯虚根。

参考文献
陈予恕，唐云.非线性动力学中的现在分析方法 第1版 北京：科学出版1992
张锦炎，冯贝叶.常微分方程几何理论与分支问题 第二次修订本 北京大学出版社，1997
魏俊杰，中立型微分方程零解的稳定性征与全局Hopf分支.数学学报，2002，45（1）：93-104.
[4] 多尺度法论文 郑国金