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期末复习讲义（四）—数列的综合
一． 知识梳理
1． 数列求和的基本方法：
（1） 公式法；（2）分组求和法；（3）裂项相消法；（4）错位相减法；（5）分类讨论
2． 求数列通项公式的基本思想方法：
（1） 累加（乘）法：（累加法），（累乘法）
（2） 化归为等差（比）数列：
①
②
（3） 递推思想：由求.运用：.
（4） 待定系数法：令.
二． 基础训练
1． 在正项等比数列中，若，则其前3项的和的取值范围是________.
2． 若数列满足，则的最小值为_______.
3． 设等比数列的前n项和为，公比为q，若成A.P.则q=________.
4． 若满足：.前n项和为，则
5． 若的通项为：,则
6． 已知,各项均为正数的数列满足，若则的值是_______.
7． 已知数列的前项和为，对任意，都有.若，则k的值为________.
8． 已知等差数列的前n项和为，.则数列的前100项和为__________.
三．例题
例1．数列的前n项和
（1） 求数列的通项公式；
（2） 数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项，若不存在，请说明理由.

例2．在各项均为正数的等比数列中，且成等差数列.
(1) 求数列的通项公式；
(2) 设，求数列的前n项和.

例3．设数列满足.
（1） 求证：.
（2） 若，对任意正整数n，恒成立，求m的取值范围.

例4、将数列中的所有项，按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：

……
已知表中第一列数构成一个等差数列，记为，且。表中每一行正中间一个数构成数列，其前项和为。
（1） 求数列的通项公式。
（2） 若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且。
①求
②记。若集合的元素个数为3，求的取值范围。

四、作业：
1、设等差数列的前项和为。，则的最大值为__________。
2、数列的通项公式前项和为则___________。
3、已知数列的前项和为，若，则__________。
4、数列满足：，则___________。
5、已知数列的首项为前项和为，且，则当时，___________。
6、设等差数列的前项和为，若，则中最大的是___。
7、已知等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为，其中都是大于1的正整数，且，对一切，总存在，使得成立，则___________。
8、数列满足，记，若对任意恒成立，则正整数的最小值为___________。
9、等比数列的前项和为，对任意，点均在函数（且，均为常数）的图象上。
（1）求的值。（2）当时，记，求数列的前项和。

10、已知等差数列的各项都是正数，它的前项和为，探求数列成等差数列的条件，并证明当条件成立时，成等差数列。

11、已知数列是以为首项，为公比的等比数列，是它的前项和。
（1）若成等差数列，求的值。
（2）当成等差数列时，求证：对任意自然数，也成等差数列。

12、数列的前项和满足。
（1）求。（2）数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项。若不存在，请说明理由。