立体几何中的向量方法证明平行和垂直.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,空间向量应用,2,在立体几何证明中的应用,1,一、用空间向量处理“平行”问题,2,一、用空间向量处理“平行”问题,3,G,A,E,D,C,B,F,H,M,N,例,1.,如图：,ABCD,与,ABEF,是正方形，,CB,平面,ABEF,，,H,、,G,分别是,AC,、,BF,的中点，且,AH=GF.,求证：,HG,平面,CBE.,4,G,A,E,D,C,B,F,H,P,5,G,A,E,D,C,B,F,H,y,z,x,证明：分别以,BE,、,BA,、,BC,为,x,、,y,、,z,轴建立空间直角坐标系,o-xyz.,设正方形边长为,2,6,G,A,E,D,C,B,F,H,变式：将题中的“,H,、,G,分别为,GA,、,BF,的中点”改为“,AH=GF,”,求证：,HG,平面,CBE,7,G,A,E,D,C,B,F,H,o,z,y,证明：由已知得：,AB,、,BC,、,BE,两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系,o-xyz.,x,设正方形边长为,1,AH=FG=a,则,H(0,1-a,a),、,G(1-a,1-a,0),故,而平面,CBE,的法向量为,(0,1,0),故,而 平面,CBE,故,HG,平面,CBE,8,R,D,B,C,A,A,1,Q,P,N,M,D,1,C,1,B,1,例,2.,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，,P,、,Q,分别是,A,1,B,1,和,BC,上的动点，且,A,1,P=BQ,，,M,是,AB,1,的中点，,N,是,PQ,的中点,.,求证：,MN,平面,AC.,M,是中点，,N,是中点,MNRQ,MN,平面,AC,9,D,B,C,A,A,1,Q,P,N,M,D,1,C,1,B,1,z,y,x,o,证明：建立如图所示的空间直角坐标系,o-xyz,设正方形边长为,2,，又,A,1,P=BQ=2x,则,P(2,，,2x,，,2),、,Q(2-2x,，,2,，,0),故,N(2-x,1+x,1),而,M(2,1,1),所以向量,(-x,x,0),，又平面,AC,的法向量为,(0,0,1),，,又,M,不在平面,AC,内，所以,MN,平面,AC,10,D,C,B,A,D,1,C,1,B,1,A,1,例,3.,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，求证：平面,A,1,BD,平面,CB,1,D,1,平行四边形,A,1,BCD,1,A,1,BD,1,C,平行四边形,DBB,1,D,1,B,1,D,1,BD,于是平面,A,1,BD,平面,CB,1,D,1,11,D,C,B,A,D,1,C,1,B,1,A,1,o,z,y,x,证明：建立如图所示的空间直角坐标系,o-xyz,设正方形边长为,1,，则向量,设平面,BDA,1,的法向量为,则有,x+z=0,x+y=0,令,x=1,则得方程组的解为,x=1 y=-1 z=-1,故平面,BDA,1,的法向量为,12,D,C,B,A,D,1,C,1,B,1,A,1,F,G,H,E,例,4.,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,、,F,、,G,、,H,分别是,A,1,B,1,、,B,1,C,1,、,C,1,D,1,、,D,1,A,1,的中点,.,求证：平面,AEH,平面,BDGF,ADGF,，,AD=GF,又,EHB,1,D,1,，,GFB,1,D,1,EHGF,平行四边形,ADGE AEDG,故得平面,AEH,平面,BDGF,13,D,C,B,A,D,1,C,1,B,1,A,1,H,G,F,E,o,z,y,x,略证：建立如图所示的空间直角坐标系,o-xyz,则求得平面,AEF,的法向量为,求得平面,BDGH,的法向量为,显然有,故 平面,AEH,平面,BDGF,14,二、用空间向量处理“垂直”问题,15,二、用空间向量处理“垂直”问题,16,D,A,C,B,B,C,D,A,F,E,X,Y,Z,17,18,证明,:,分别以 为坐标向量建立空间直角坐标系,19,例,6,：如图，在正三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中，,AB=AA,1,/3=a,，,E,、,F,分别是,BB,1,、,CC,1,上的点，且,BE=a,，,CF=2a,。求证,:,面,AEF,面,ACF,。,A,F,E,C,1,B,1,A,1,C,B,x,z,y,20,A,F,E,C1,B1,A1,C,B,z,y,不防设,a=2,，则,A,（,0,，,0,，,0,），,B,（,3,，,1,，,0,），,C,（,0,，,2,，,0,），,E,（,3,，,1,，,2,），,F,（,0,，,2,，,4,），,AE=,（,3,，,1,，,2,）,AF=,（,0,，,2,，,4,），因为，,x,轴面,ACF,，所以可取面,ACF,的法向量为,m=,（,1,，,0,，,0,），设,n=,（,x,y,z),是面,AEF,的法向量，则,x,nAE=,3x+y+2z=0,nAF=2y+4z=0,x=0,y=-2z,令,z=1,得,n=,（,0,，,-2,，,1,）,显然有,m n=0,，即，,m,n,面,AEF,面,ACF,证明：如图，建立空间直角坐标系,A-xyz,，,21,A,D,C,B,求证：平面,MNC,平面,PBC,；,已知,ABCD,是矩形，,PD,平面,ABCD,，,PD,DC,a,，,AD,，,M,、,N,分别是,AD,、,PB,的中点。,P,M,N,练习,1,22,