角平分线的性质1.doc

海陵中学初一数学教学案 班级 姓名 第八章《全等三角形》
角平分线的性质（1）
【目标导航】
1．会用尺规作一个已知角的平分线，并能解释其原理．
2．角平分线的性质定理和判定定理．
【预习引领】
探究：如图是一个平分角的仪器，其中
AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明其中的道理吗？

【要点梳理】

知识点1. 作已知角的平分线的方法：
已知：∠AOB
求作：∠AOB的平分线

练习：已知：∠AOB
求作：∠AOB的四等分线

探究： 如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？

知识点2. 角的平分线的性质及判定定理：
1．如上图∵OC平分∠AOB，点P在射线OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E
∴ (角平分线的性质定理)
2．∵PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，
∴ (角平分线的判定定理)
【例题讲解】
例1如图，∠B=∠C，D为BC的中点，ED⊥AB， DF⊥AC，求证：AD平分∠BAC．

例2如图，公路南有一学校
在铁路的东侧，到公路的距
离与到铁路的距离相等，并
且与两路交叉处O的距离为300m，你能在图上标出学校的位置吗？

例3如图，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD交BE于点O．
① 若OC=OB，求证：点O在∠BAC的平分线上．
②若点O在∠BAC的平分线上，
求证：OC=OB．

【课堂操练】
1．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.下列推理中正确的有
①AD上任意一点到点C，B的距离相等；
②AD上任意一点到AC，AB的距离相等；
③BD=CD，AD⊥BC；④∠BDE=∠CDF

2．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，有以下结论：①△ADE≌△ADF；②△BDE≌△CDF；③△ABD≌△ACD；④AE=AF；⑤BE=CF；
⑥BD=CD．其中正确的有 （填写序号）．
3．如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC 于E，CD，BE交于点O ，且∠1=∠2 ，求证：OB=OC．

4．如图，∠A=∠B=90°，M是AB的中点，DM平分∠ADC，求证：CM平分∠BCD．

5．如图，BA平分∠CAD，BC⊥AC于D，BD⊥AD于D，E是AB上一点，EB平分∠CED吗？为什么？当E点在AB的延长线上或AB的反向延长线时，上述结论成立吗？请选择其一加以证明．

【课后巩固】
1．角的平分线上的点到_______________相等；到___________________相等的点在这个角的平分线上．
2.下列说法：①角的内部任意一点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；③角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等；④△ABC中∠BAC的平分线上任意一点到三角形的三边的距离相等，其中正确的（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E,且DE=3cm,则点D到AC的距离是( )
A．2cm； B．3cm； C．4cm； D．6cm
4．如图1，已知CE、CF分别是△ABC的内角和外角平分线，则图中与∠BCE互余的角有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．如图2，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，则下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P是∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交点，其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③
C．④ D．②③
（2）
（1）

6．如图5，三条公路两两交于点，现要修一个货物中转站，要求到三条公路距离相等，则可供选择的地址有 处．

7．如图3，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，则下列结论：①∠3=∠4；②∠1=∠2；
③∠5=∠6；④AC垂直且平分BD，其中正确的有（ ）
A．①②③④ B．①②③
C．①③ D．①③④
(3)
8．如图4，AB∥CD，AP、CP分别平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于E，且PE=2cm，则AB与CD之间的距离是___________．
（4）

9．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=7，BC=24，AC=25，△ABC内存在一点P到三边距离相等，这个距离为 ．

10．请你用直尺和圆规画一个135度的角．

11．某考古队为进行考古研究，寻找一座古城遗迹，根据史料记载，这座古城在古战道与河流之间且到古战道与河流距离相等，在凤凰山附近且距离雁塔有2000，考古队员很快找到了这座古城的的遗址，你能用学过的知识在图中合理标出古城遗址吗？（比例尺为1：100000如图所示）

12．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，
AB=5cm，BC =4cm，AD平分∠BAC，DE⊥AB于F，求△BDE周长．

13. 如图，四边形ABCD中AB=AD，AB⊥BC，AD⊥CD，P是对角线AC上一点，
求证：PB=PD．

14.如图，BE和CD是△ABC的两条高，在BE上截取BF=CA，延长CD至点H，使HC=AB．
求证：①AF=AH；②AF⊥AH．