广东省广州市2010年高二数学立体几何练习题(B卷)理科-新人教A版选修2-1.doc

广州市高二理科数学立体几何练习题（B卷）

一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上
的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定

2．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面CBD，E是CD中点，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
3．PA，PB，PC是从P引出的三条射线，每两条的夹角都是60º，则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为（ ）
A． B。 C。 D。
4．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的中点，则直线ED与D1F所成角的余弦值是
A． B。 C。 D。
5． 在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点，那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
6．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，A A1=1，则点A到平面A1BC的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=BB1,则AB1与C1B所成的角的大小为 （ ）
A.60º B. 90º C.105º D. 75º
8．设E，F是正方体AC1的棱AB和D1C1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A1ECF成60°角的对角线的数目是（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6

二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
A
B
M
D
C
9.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则
sin〈，〉的值为_________.
10．如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点， A、B、M是顶点，
那么点M到截面ABCD的距离是 .
11．正四棱锥P-ABCD的所有棱长都相等，E为PC中点，则直线AC与截面BDE所成的角为 ．
12．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为 .
13．已知边长为的正三角形ABC中，E、F分别为BC和AC的中点，PA⊥面ABC，且PA=2，设平面过PF且与AE平行，则AE与平面间的距离为 ．
14．棱长都为2的直平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，∠BAD=60°，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成角的余弦值为________.

三、 解答题:本大题共6小题，共80分。解答需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤.
x
y
z
B1
C1
A1
C
B
A
M
N
15．如图，直三棱柱，底面中，CA＝CB＝1，，棱，M、N分别A1B1、A1A是的中点．
(1) 求BM的长；
(2) 求的值；
(3) 求证：．

16．如图，三棱锥P—ABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，
且CD平面PAB．
(1) 求证：AB平面PCB；
(2) 求异面直线AP与BC所成角的大小；
(3)求二面角C-PA-B的大小的余弦值．

Q
P
D
C
B
A
17．如图所示，已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a>0），PA⊥平面AC，且PA=1．
（1）试建立适当的坐标系，并写出点P、B、D的坐标；
（2）问当实数a在什么范围时，BC边上能存在点Q，
使得PQ⊥QD？
（3）当BC边上有且仅有一个点Q使得PQ⊥QD时，
求二面角Q-PD-A的余弦值大小．

C
D
B
A
P
E
18. 如图，在底面是棱形的四棱锥中，，点E在上，且:＝2:1．
(1) 证明 平面；
(2) 求以AC为棱，与为面的二面角的大小；
(3) 在棱PC上是否存在一点F，使∥平面？证明你的结论．

19. 如图四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG＝4，，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中点．
(1)求异面直线GE与PC所成的角的余弦值；
(2)求点D到平面PBG的距离；
P
A
G
B
C
D
F
E
(3)若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求的值．

20.已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面
ABCD，E是SC上的任意一点．
(1)求证：平面EBD⊥平面SAC；
(2)设SA＝4，AB＝2，求点A到平面SBD的距离；
(3)当的值为多少时，二面角B－SC－D的大小为120°？

理科立体几何训练题（B）答案
一、 选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
D
A
D
B
B
C

二、 填空题
9. 10． 11. 45° 12． 13． 14
三、解答题
15解析：以C为原点建立空间直角坐标系.
x
y
z
B1
C1
A1
C
B
A
M
N
(1) 依题意得B（0，1，0），M（1，0，1）．.
(2) 依题意得A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2）.

.
(3) 证明：依题意得C1（0，0，2），N.

16．解析： (1) ∵PC⊥平面ABC,平面ABC，
∴PCAB.∵CD平面PAB，平面PAB，
∴CDAB．又，∴AB平面PCB．
(2 由(I) AB平面PCB，∵PC=AC=2，
又∵AB=BC，可求得BC=．以B为原点，
如图建立坐标系．则Ａ（０,,０），Ｂ（0,0,0），C（,０,0），P（,０,2）．
=(,－,2)，=(,0,0)．
则=×+0+0=2．
=== ．
∴异面直线AP与BC所成的角为．

（3）设平面PAB的法向量为m= (x，y，z)．=(0, －,0),=(,－,2)，
则 即解得令z= -1,得 m= (，0，-1)．
由PC平面ABC易知：平面PAC平面ABC，取AC的中点E，连接BE，则为平面PAC的一个法向量，，故平面PAC的法向量也可取为n= (1，1，0)．
=. ∴二面角C-PA-B的大小的余弦值为．

z

Q
P
D
C
B
A
y
x
M
N

17．解析：（1）以A为坐标原点，AB、AD、AP分
别为x、y、z轴建立坐标系如图所示．
∵PA=AB=1，BC=a，
∴P（0，0，1），B（1，0，0），
D（0，a，0）．
（2）设点Q（1，x，0），则
．
由，得x2-ax+1=0．
显然当该方程有非负实数解时，BC边上才存在点Q，使得PQ⊥QD，故只须⊿=a2-4≥0．
因a>0，故a的取值范围为a≥2．
（3）易见，当a=2时，BC上仅有一点满足题意，此时x=1，即Q为BC的中点．
取AD的中点M，过M作MN⊥PD，垂足为N，连结QM、QN．则M（0，1，0），P（0，0，1），D（0，2，0）．∵D、N、P三点共线，
∴．
又，且，
故．
于是．
故．
∵，
∴．（资料来源：）
∴∠MNQ为所求二面角的平面角．
∵，
注：该题还有很多方法解决各个小问，以上方法并非最简.

18解析：（1）传统方法易得证明（略）
（2）传统方法或向量法均易解得；
（3）解 以A为坐标原点，直线分别为y轴、z轴，过A点垂直于平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系（如图）．由题设条件，相关各点的坐标为

所以，，

，设点F是棱上的点，，其中，则．令得
解得，即时，．亦即，F是PC的中点时，共面，又平面，所以当F是PC的中点时，∥平面．

19解析：(1)以G点为原点，为x轴、y轴、
P
A
G
B
C
D
F
E
z轴建立空间直角坐标系，则B(2，0，0)，C(0，2，0)，
P(0，0，4)，故E(1，1，0)，＝(1，1，0)， ＝(0，2，4)。，
∴GE与PC所成的余弦值为．
(2)平面PBG的单位法向量n＝(0，±1，0)
∵，
∴点D到平面PBG的距离为n |＝.
(3)设F(0，y，z)，则。
∵，∴，（资料来源：）
即，
∴ , 又，即(0，，z－4)＝λ(0，2，－4)， ∴z=1，
故F(0，，1) ，，∴。
20解析：(1)∵SA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴SA⊥BD，
∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴BD⊥ 平面SAC，
∵BD⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面SAC.
(2)设AC∩BD＝F，连结SF，则SF⊥BD，
∵AB＝2，SA＝4，∴BD＝2，
SF＝＝＝3，
∴S△SBD＝BD·SF＝·2·3＝6，
设点A到平面SBD的距离为h，
∵SA⊥平面ABCD，∴·S△SBD·h＝·S△ABD·SA，∴6·h＝·2·2·4，∴h＝，
即点A到平面SBD的距离为.
(3)设SA＝a，以A为原点，AB、AD、AS所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，为计算方便，不妨设AB＝1，则C(1,1,0)，S(0,0，a)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，
∴＝(1,1，－a)，＝(1,0，－a)，＝(0,1，－a)，
再设平面SBC、平面SCD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，
则
∴y1＝0，从而可取x1＝a，则z1＝1，∴n1＝(a,0,1)，

∴x2＝0，从而可取y2＝a，则z2＝1，∴n2＝(0，a,1)，
∴cos〈n1，n2〉＝，
要使二面角B－SC－D的大小为120°，则＝，从而a＝1，
即当＝＝1时，二面角B－SC－D的大小为120°.
用心 爱心 专心