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7-7 空间向量的坐标运算
一、选择题
1．已知▱ABCD，且A(4,1,3)、B(2，－5,1)、C(3,7，－5)，则顶点D的坐标为( )
A．(，4，－1) B．(2,3,1) C．(－3,1,5) D．(5,13，－3)
解析：，设＝(x，y，z)，则(7,8，－2)＝(x＋2，y－5，z＋1)，
∴x＝5，y＝13，
z＝－3，即＝(5,13，－3)．
答案：D
2．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,3,1)、B(4,1，－2)、C(6,3,7)，则△ABC的重心坐标为( )
A．(6，，3) B．(4，，2) C．(8，，4) D．(2，，1)
解析：△ABC的重心坐标为x＝＝4，y＝＝，z＝＝2.
答案：B
3．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，cos〈a，b〉＝，则λ等于( )
A．2 B．－2 C．－2或 D．2或－
解析：|a|＝，|b|＝3，a·b＝6－λ，根据已知条件＝，解得λ＝－2， 或λ＝.
答案：C
4． 已知两空间向量a＝(2，cos θ，sin θ)，b＝(sin θ，2，cos θ)，则a＋b与a－b的夹角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
解析：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，∴〈a＋b，a－b〉＝90°.
答案：D
二、填空题
5．与A(－1,2,3)、B(0,0,5)两点距离相等的点满足的等式为________．
解析：设到A、B两点距离相等的点为P(x，y，z)，由|PA|＝|PB|，
即(x＋1)2＋(y－2)2＋(z－3)2＝x2＋y2＋(z－5)2，整理得：2x－4y＋4z－11＝0.
答案：2x－4y＋4z－11＝0
6．已知向量a＝(－1,2,3)，b＝(1,1,1)，则向量a在向量b方向上的投影为________．
解析：b·a＝(1,1,1)·(－1,2,3)＝，则a在向量b上的投影为.
答案：
7．已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为________．
解析：|a|＝＝3，|b|＝＝3，a·b＝2×2＋(－1)×2＋2×1＝4，
∴cos〈a，b〉＝＝，sin〈a，b〉＝，S平行四边形＝|a||b|sin〈a，b〉＝.
答案：
三、解答题
8．如右图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD， AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．
(1)求直线AC与PB所成角的余弦值；
(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离．
解答：(1)如右图，建立直角坐标系A－xyz，则P(0,0,2)，B(，0,0)，C(，1,0)
∴＝(，1,0)，＝(，0，－2)，cos〈〉＝＝，
则直线AC与PB所成角的余弦值为.
(2)设N(x,0，z)又E(0，，1)，∴＝(x，－，z－1)．
由＝0，得2(z－1)＝0，由＝0，得 x－＝0，解得：x＝，z＝1，
因此N点到AB和AP的距离分别为1，.
9． 如右图，点P，E，F在矩形ABCD所在平面外，PC⊥平面ABCD于C，EB⊥平面ABCD于B，FD⊥平面ABCD于D，AB＝4，BC＝2，PC＝6，BE＝DF且四边形AEPF是平行四边形．
(1)建立适当坐标系，求点E、F的坐标；
(2)求平面AEPF与平面PEBC所成的二面角(锐角)的大小．
解答：如右图，建立空间直角坐标系．
(1)P(0,0,6)，A(4,2,0)，设BE＝DF＝m，则E(0,2，m)，F(4，0，m)，
∴＝(0,0,6)－(0,2，m)＝(0，－2,6－m)，
＝(4,0，m)－(4,2,0)＝(0，－2，m)，∵四边形AEPF是平行四边形，
∴，∴6－m＝m，即m＝3，∴E(0,2,3)，F(4,0,3)．
(2)∵＝(0，－2,3)，＝(0,2,3)－(4,2,0)＝(－4,0,3)，设平面AEPF的法向量 n1＝(x，y，z)，
∵n1⊥，∴(x，y，z)·(0，－2,3)＝0即－2y＋3z＝0，
∵n1⊥，∴(x，y，z)·(－4,0,3)＝0即－4x＋3z＝0.
令z＝4得y＝6，x＝3，∴n1＝(3,6,4)，显然平面PEBC的法向量n2＝(1,0,0)．
∵n1·n2＝(3,6,4)·(1,0,0)＝3，|n1|＝＝，|n2|＝1，
∴cos〈n1，n2〉＝＝＝，
∴平面AEPF与平面PEBC所成的二面角(锐角)的大小是arccos .
10．如右图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，AB＝2，AA1＝1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，AE垂直BD于E，F为A1B1的中点．
(1)求异面直线AE与BF所成的角；
(2)求平面BDF与平面AA1B所成二面角(锐角)的大小；
(3)求点A到平面BDF的距离．
解答：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系如右图．
由已知AB＝2，AA1＝1，可得A(0,0,0)、B(2,0,0)、F(1,0,1)．
又AD⊥平面AA1B1B，从而BD与平面AA1B1B所成的角即为∠DBA＝30°，
又AB＝2，AE⊥BD，AE＝1，AD＝，
从而易得E(，，0)，D(0，，0)．
(1)∵＝(，，0)，＝(－1,0,1)．＝＝－.
即异面直线AE、BF所成的角为arccos.
(2)易知平面AA1B的一个法向量m＝(0,1,0)，设n＝(x，y，z)是平面BDF的一个法向量．
＝(－2，，0)．由⇒⇒
取n＝(1，，1)，∴cos〈m，n〉＝＝＝.
即平面BDF与平面AA1B所成二面角(锐角)大小为arccos.
(3)点A到平面BDF的距离，即AB在平面BDF的法向量n上的投影的绝对值．
所以距离d＝|||·cos〈，n〉|＝|||·＝＝.
所以点A到平面BDF的距离为.
1． 已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．若|a|＝，且a分别与AB，AC垂直，则向量a为( )
A．(1,1,1) B．(－1，－1，－1)
C．(1,1,1)或(－1，－1，－1) D．(1，－1,1)或(－1,1，－1)
解析：由已条件＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，可观察出a＝±(1,1,1)．
答案：C
2．已知，在右图所示的几何体ABCED中，EC⊥面ABC，DB⊥面ABC，CE＝CA＝CB＝2DB，∠ACB＝90°，M为AD的中点．
(1)证明：EM⊥AB；
(2)求直线BM和平面ADE所成角的大小．
解答：解法一：(1)如右图，以C为原点，CA、CB、CE所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
不妨设BD＝1，则E(0,0,2)，A(2,0,0)，D(0,2,1)，B(0,2,0)，由M是AD的中点，得 M(1,1，)，
＝(1,1，－)，＝(－2,2,0)．
＝0，得⊥.
(2) ＝(－2,2,1)，＝(－2,0,2)，设面ADE的法向量n＝(x，y，z)，
由AD·n＝0，·n＝0，易求平面ADE的一个法向量为n＝(1，，1)，
又BM＝(1，－1，)⇒cos〈n，〉＝，∴直线BM和平面ADE所成角为－arccos.
解法二：(1)如上图，过M作MN⊥AB，由DB⊥面ABC，⇒面ABD⊥面ABC，得MN⊥面ABC，⇒MN∥BD∥CE，∵M是AD中点，N是AB中点，CA＝CB，∴CN⊥AB，由三垂线定理，得EM⊥AB.
(2)设CB和ED延长线交于F，不妨设BD＝1，易求BF＝2，AB＝2，AD＝3， BM＝，DF＝，AF＝2，cos∠DFA＝，sin∠DFA＝，得S△ADF＝3.
设B到面AEF的距离为h，由VD—ABF＝VB—ADF，得h＝，设直线BM和平面ADE所成角为θ，
sin θ＝＝，θ＝arcsin.
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