二轮复习数学专题四第1讲-不等式.doc

2012年高考第二轮复习数学专题四第1讲　不等式

1．(2011课标全国卷，理13)若变量x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最小值为__________．
2．(2010课标全国卷，理8)设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝(　　)．
A．{x|x<－2或x>4}
B．{x|x<0或x>4}
C．{x|x<0或x>6}
D．{x|x<－2或x>2}
3．(2009课标全国卷，理6)设x，y满足则z＝x＋y(　　)．
A．有最小值2，最大值3
B．有最小值2，无最大值
C．有最大值3，无最小值
D．既无最小值，也无最大值

通过近三年的课标全国高考试题可分析出，在不等式中，主要热点是线性规划知识、均值不等式及解不等式，单纯对不等式的性质考查并不多，解不等式主要涉及一元二次不等式、分式不等式、对数和指数不等式、绝对值不等式、无理不等式等，并且以一元二次不等式为主进行考查，且重在考查等价转化能力和基本的解不等式的方法；均值不等式的考查重在对代数式的转化过程及适用条件、等号成立的条件的检验，常用来求函数的最值或求恒成立问题参数的取值范围问题；线性规划问题是高考的一个新热点，有时为直接考查，也经常与其他知识交汇考查，主要还是强调用数形结合的方法来寻求最优解的过程，体现了本块数学知识的实际综合应用；对于含绝对值不等式也不容忽视，重在考查分类讨论、化归等思想方法，更要熟记简单的含绝对值不等式的解集形式．总之，对不等式知识的考查强调基础，重在等价转化能力．题目难度为中低档难度．

热点一　不等式的解法
解不等式的基本思路是等价转化为易解形式，分式不等式的整式化或通分法，高次不等式的低次化，绝对值不等式的脱去绝对值号法，总之体现出复杂到简单，由未知到已知的转化思想方法．
【例1】 不等式≤3的解集为______．

解分式不等式时，要注意先移项变成≥0或≤0的形式，然后再变为整式不等式，特别要注意含“＝”的不等式在转化时要使分母不为0，否则易出现增解现象．
拓展延伸 将例1中的“≤3”改为“<3”结果又如何？

热点二　利用均值不等式求最值
利用均值不等式求最值常见的有：
1．已知某些变量(正数)的积为定值，求和的最小值．
2．已知某些变量(正数)的和为定值，求积的最大值．
在运用基本不等式解决上述问题时要注意“一正、二定、三相等”．创设一个使用基本不等式的情境，常用的技巧有：变常数、变系数、拆项等．
另外，对于函数f(x)＝ax＋(a>0，b>0)定义域内不含实数±的类型的最值问题，要会用函数单调性求解．
【例2】 (2011江苏镇江高三模拟，17)某房地产开发商经竞标，最后以2 160万元购得一块地皮，计划在该地皮上开发一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．
经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．
(1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；
(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？

在应用均值不等式解决实际问题上，要特别注意以下要点：
①设变量时一般把求最大值或最小值的变量定义为函数；
②建立相应的函数关系式，确定函数的定义域；
③在定义域内只需再利用均值不等式，求出函数的最值；
④回到实际问题中去，写出实际问题的答案．
拓展延伸 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．
(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．

热点三　利用线性规划求最值
线性规划问题的核心是数形结合与化归思想方法的体现，其解题步骤是“画”“移”“求”“答”，本题型对作图要求很高．
【例3】 已知x，y满足条件求：
(1)4x－3y的取值范围；
(2)x2＋y2的最大值与最小值．

(1)对于关于x，y的线性代数式都可做一换元，令z＝ax＋by，产生一目标函数，然后将其方程变为斜截式，这样最后归结为截距的范围问题．
(2)对于形如的表达式，可做一换元．令k＝，并把理解为斜率来解决．
(3)对于形如的表达式，可理解为动点(x，y)到定点(a，b)的距离来解决．
在本题中还要注意下面几个细节：
①直线4x－3y＝t的斜率为，而直线AB的斜率为.因此直线l与公共区域只有一个公共点时应过点B而不是点A.这一点需要考虑．
②直线4x－3y＝t，其纵截距为－，因此当直线l过点C时纵截距最大，而t值最小；而直线l过点B时纵截距最小，而t值最大．
(2)利用距离公式可以解决一类特殊的二元二次函数的最值问题，如二次系数相等时，可以视为距离的平方．如x2＋y2＋8x－2y的最值等．
拓展延伸 (2011广东高考，理5)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z＝·的最大值为(　　)．
A．4 B．3 C．4 D．3
热点四　含绝对值不等式的解法
含绝对值不等式在高考中越来越受到重视，其基本形式有：
(1)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c型不等式的解法
①c>0，则|ax＋b|≤c的解集为－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c的解集为ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a、b的值解出即可．
②c<0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R.
(2)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法．
解这类含绝对值的不等式的主要方法是分类讨论或利用绝对值的几何意义进行等价转化．
【例4】 求不等式|x－1|＋|2x＋1|<2的解集．

解|mx－a|＋|nx－b|≥c(或≤c)型不等式，其一般步骤：
(1)令每个绝对值符号里的一次式为零，并求出相应的根．
(2)把这些根由小到大排序，它们把实数轴分为若干个区间．
(3)在所分区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集．
(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集．
拓展延伸已知不等式|x－1|＋|x＋3|<a(a为参数)的解集为∅，求a的范围．

一、不等式的性质
不等式的性质与等式的性质有很大区别，最主要是发生在与数相乘(或相除)时，一定要留心所乘数的符号，因为正负不同，结论相反．特别地，有如下常用结论：若a，b同号且a<b，则>；反之若a，b同号，且>，则a<b.
如果没有a，b同号的条件上述结论不一定成立．
二、含参不等式的求解误区
解含参数的不等式时，必须注意参数的取值范围，并在此范围内对参数进行讨论．分类的标准是通过理解题意(例如能根据题意挖掘出题目的隐含条件)、根据方法(例如利用单调性解题时，抓住使单调性发生变化的参数值)、按照解答的需要(例如进行不等式变形时，必须具备的变形条件)等方面来决定，一般都应做到不重复、不遗漏．
举例说明：解不等式(x－1)(x－a)<0要注意对a分a<1，a＝1，a>1三种情况讨论，千万不要忘记a＝1时的特殊情况．
三、均值不等式与重要不等式的区别
均值不等式≤，适用条件为a，b均为正数；
重要不等式a2＋b2≥2ab，适用条件为a，b均为任意实数．
两个不等式都是当且仅当a＝b时取“＝”，其含义是“a＝b”是能取到“＝”的充要条件，这一点尤其重要，忽视验证等号成立的条件，可能会导致错误．
举例说明：
示例1：求x＋的范围，就要对x进行讨论，不能直接应用均值不等式，当x>0时，x＋≥2，
当x<0时，x＋≤－2，因此x＋∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，
当x＝±1时取“＝”．
示例2：已知θ∈，则求sin θ＋的最小值，若使用均值不等式sin θ＋≥2＝2，得出最小值2是错误的，错因在于等号不能取到；正确解法为sin θ＋在θ∈上为减函数，故θ＝时sin θ＋取最小值为1＋＝3.
四、二元一次不等式表示平面区域问题
二元一次不等式表示平面区域，使用了点集的观点来分析直线，并研究了点的集合表示区域的问题．要注意用集合的观点和语言来分析描述图形的问题，能使问题更清楚、准确、便于理解．
不等式Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0的某一侧的平面区域，一定要注意不包括边界；
不等式Ax＋By＋C≥0表示的是直线Ax＋By＋C＝0及该直线某一侧的平面区域，一定要注意包括边界．
忽视了边界的虚实会导致最优解出错．
举例说明：已知x，y满足
则求2x＋y的范围时，如若不注意可行域边界是虚线，将会使得2x＋y的范围为闭区间了．导致出错．
正确结果为2x＋y∈(2,4)．
五、线性规划问题
利用线性规划求最值，关键是理解好线性目标函数的几何意义，若没有其他条件限制，线性目标函数的最优解必定在顶点或边界取得．当线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时，最优解可能有无数个．
求解实际问题时，除严格遵循线性规划求目标函数最值的方法外，还应考虑实际意义的约束，要认真解读题意，仔细推敲并挖掘相关条件．同时注意不要忽略x≥0，y≥0这一限制条件．若x，y∈N*，则要寻找整点最优解．
应用线性规划求最优解时，切不可随便将所求结果四舍五入，否则所得结果可能会超出可行域．
举例说明：已知x，y满足且x，y∈Z，令z＝x＋y，试求z的最小值．
如果不注意是整点问题，很容易犯错误得出x＝1.5，y＝0时，zmin＝1.5＋0＝1.5.
而实际上，由于x，y∈Z的限制，当x＝2，y＝0时zmin＝2＋0＝2才是正确的．
六、含绝对值不等式的解法
解绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号，化归为不含绝对值符号的不等式去解．常用方法有：公式法，分段讨论法、定义法、平方法、几何法等．一般地，只含一个绝对值时，应用公式法；含有多个绝对值，可采用分段讨论法；应用平方法时，要注意只有在不等式两边均非负时才能应用．
举例说明：解不等式|x－1|≥x－2，如果将两边直接平方将得出x≥.
其实当x－2≤0即x≤2时也满足条件．
造成失误的原因是两边平方是不等价变形．
正确结果为不等式的解集为R；如果将不等式|x－1|≥x－2改为|x－1|≥|x－2|的话就可以直接平方了，得出结果为.

参考答案
考场传真
1．－6　解析：令z＝x＋2y＝λ(2x＋y)＋μ(x－y)＝(2λ＋μ)x＋(λ－μ)y，
∴∴
∴z＝(2x＋y)－(x－y)．
又∵3≤2x＋y≤9，－9≤－(x－y)≤－6，
∴－6≤(2x＋y)－(x－y)≤3，
∴zmin＝－6.
2．B　解析：f(x－2)>0等价于f(|x－2|)>0＝f(2)，
又∵f(x)＝x3－8(x≥0)为增函数，
∴|x－2|>2.
解得x>4或x<0.
3．B　解析：由图象可知z＝x＋y在点A处取最小值zmin＝2，无最大值．

核心攻略
【例1】 　
解析：≤3⇔－3≤0⇔≥0⇒x(2x－1)≥0且x≠0，解得x<0或x≥.
拓展延伸　
解析：<3⇔－3<0⇔>0⇔x(2x－1)>0⇔x<0或x>.
【例2】 　解：(1)依题意得y＝(560＋48x)＋＝560＋48x＋(x≥10，x∈N*)．
(2)∵x>0，
∴48x＋≥2＝1 440，
当且仅当48x＝，即x＝15时取到“＝”，
此时，平均综合费用的最小值为560＋1 440＝2 000元．
答：当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2 000元．
拓展延伸　解：(1)设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为3[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1)，
设平均每天所支付的总费用为y1元，
则y1＝＋1 800×6
＝＋9x＋10 809≥2＋10 809＝10 989，
当且仅当9x＝，即x＝10时取等号．
即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．
(2)因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每隔35天购买一次面粉．设该厂利用此优惠条件后，每隔x(x≥35)天购买一次面粉．平均每天支付的总费用为y2元，则
y2＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800×0.90＝＋9x＋9 729(x≥35)．
令f(x)＝x＋(x≥35)，x2>x1≥35，
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵x2>x1≥35，
∴x2－x1>0，x1x2>0,100－x1x2<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，
即f(x)＝x＋，当x≥35时为增函数，
∴当x＝35时，f(x)有最小值，此时y2<10 989.∴该厂应接受此优惠条件．
【例3】 　解：(1)不等式组表示的公共区域如图中阴影所示：

其中A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)，设z＝4x－3y.直线4x－3y＝0经过原点(0,0)．作一组与4x－3y＝0平行的直线l：4x－3y＝t.
则当l过C点时，t值最小；当l过B点时，t值最大；
∴z最大值＝4×(－1)－3×(－6)＝14，
z最小值＝4×(－3)－3×2＝－18.
即4x－3y的取值范围为[－18,14]．
(2)设u＝x2＋y2，则为点(x，y)到原点(0,0)的距离．结合不等式组所表示的区域，不难知道：点B到原点距离最大；而当(x，y)在原点时，距离为0.
∴u最大值＝(－1)2＋(－6)2＝37，u最小值＝0.
故4x－3y的最大值为14，最小值为－18；
x2＋y2的最大值为37，最小值为0.
拓展延伸　C　解析：z＝·＝(x，y)·(，1)＝x＋y.由
画出可行域，如图阴影部分所示．

作直线l0：y＝－x，平移直线l0至l1位置时，z取得最大值，此时l1过点(，2)，故zmax＝×＋2＝4.
【例4】 　解：①当x<－时，
原不等式等价于
得－<x<－；
②当－≤x≤1时，
原不等式等价于得－≤x<0；
③当x>1时，原不等式等价于无解．
由①②③得原不等式的解集为∪∪＝.
拓展延伸　解：|x－1|＋|x＋3|<a解集为，等价于对x∈R，a≤|x－1|＋|x＋3|恒成立问题，要满足上述条件，则需a≤(|x－1|＋|x＋3|)min，
又∵(|x－1|＋|x＋3|)min＝4，∴a≤4.