【创新设计】(浙江专用)2014届高考数学总复习-第12篇-第1讲-离散型随机变量及其分布列限时训练-理.doc

随机变量及其分布列
第1讲　离散型随机变量及其分布列

分层A级　基础达标演练
(时间：30分钟　满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．如果X是一个离散型随机变量，那么下列命题中假命题是 (　　)．
A．X取每个可能值的概率是非负实数
B．X取所有可能值的概率之和为1
C．X取某2个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和
D．X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和
解析　由离散型随机变量的性质，得pi≥0，i＝1,2，…n，且i＝1.
答案　D
2．已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，则P(X＝2)等于(　　)．
A. B.
C. D.
解析　∵＋＋＝1，∴a＝3，P(X＝2)＝＝.
答案　C
3．若随机变量X的概率分布列为
X
x1
x2
P
p1
p2
且p1＝p2，则p1等于(　　)．
A. B.
C. D.
解析　由p1＋p2＝1且p2＝2p1可解得p1＝.
答案　B
4．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝，k＝1,2，…，则P(2<X≤4)等于
(　　)．
A. B.
C. D.
解析　P(2<X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝.
答案　A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2012·上海虹口3月模拟)已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且E(ξ)＝6.3，则a＝________.
ξ
4
a
9
P
0.5
0.1
b
解析　由分布列性质知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4.∴E(ξ)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3.∴a＝7.
答案　7
6．(2013·泉州模拟)在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为________．
解析　η的所有可能值为0,1,2.P(η＝0)＝＝，P(η＝1)＝＝，P(η＝2)＝＝.

η
0
1
2
P

答案　
η
0
1
2
P

三、解答题(共25分)
7．(12分)在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：
(1)该顾客中奖的概率；
(2)该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布列．
解　(1)该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率
P＝＝＝.

(2)依题意可知，X的所有可能取值为0,10,20,50,60(元)，且
P(X＝0)＝＝，P(X＝10)＝＝，
P(X＝20)＝＝，P(X＝50)＝＝，
P(X＝60)＝＝.
所以X的分布列为：
X
0
10
20
50
60
P

8.(13分)(2012·江苏)设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0 ；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.
(1)求概率P(ξ＝0)；
(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．
解　(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C对相交棱，因此P(ξ＝0)＝＝＝.
(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，故P(ξ＝)＝＝，
于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝，
所以随机变量ξ的分布列是
ξ
0
1

P

因此E(ξ)＝1×＋×＝.
分层B级　创新能力提升
1．(2013·长沙二模)若离散型随机变量X的分布列为：
X
0
1
P
9c2－c
3－8c
则常数c的值为 (　　)．
A.或 B.
C. D．1
解析　∴c＝.
答案　C
2．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X＝12)等于 (　　)．
A．C102 B．C92
C．C92 D．C102
解析　“X＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此P(X＝12)＝C92＝
C102.
答案　D
3．(2013·郑州调研)设随机变量X的概率分布列为
X
1
2
3
4
P

m

则P(|X－3|＝1)＝________.
解析　由＋m＋＋＝1，解得m＝，P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝.
答案　
4．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________．
解析　X＝－1，甲抢到一题但答错了，或抢到三题只答对一题；X＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错；X＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且一错两对；X＝2时，甲抢到2题均答对；X＝3时，甲抢到3题均答对．
答案　－1,0,1,2,3
5.某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为，，.
(1)求该高中获得冠军个数X的分布列；
(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分η的分布列．
解　(1)∵X的可能取值为0,1,2,3，取相应值的概率分别为
P(X＝0)＝××＝，
P(X＝1)＝××＋××＋××＝，
P(X＝2)＝××＋××＋××＝，
P(X＝3)＝××＝.
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P

(2)∵得分η＝5X＋2(3－X)＝6＋3X，
∵X的可能取值为0,1,2,3.
∴η的可能取值为6,9,12,15，取相应值的概率分别为
P(η＝6)＝P(X＝0)＝，P(η＝9)＝P(X＝1)＝，
P(η＝12)＝P(X＝2)＝，P(η＝15)＝P(X＝3)＝.
∴得分η的分布列为
η
6
9
12
15
P

6.某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9.求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列，并求李明在一年内领到驾照的概率．
解　X的取值分别为1,2,3,4.
X＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，
故P(X＝1)＝0.6.
X＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，
故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.
X＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，
故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.
X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，
故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.
∴李明实际参加考试次数X的分布列为
X
1
2
3
4
P
0.6
0.28
0.096
0.024
李明在一年内领到驾照的概率为
1－(1－0.6)(1－0.7)(1－0.8)(1－0.9)＝0.997 6.

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