《1.3.1函数的单调性与导数》同步练习2.doc

《1.3.1函数的单调性与导数》同步练习
一、选择题
1．函数y＝4x2＋的单调增区间是(　　)
A．(0，＋∞)　　　　　　　 B．(－∞，1)
C. D．(1，＋∞)
答案：C
2．若在区间(a，b)内有f′(x)＞0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有(　　)
A．f(x)＞0 B．f(x)＜0
C．f(x)＝0 D．f(x)≥0
答案：A
3．关于函数f(x)＝2x3－6x2＋7，下列说法不正确的是(　　)
A．在区间(－∞，0)内，f(x)为增函数
B．在区间(0，2)内，f(x)为减函数
C．在区间(2，＋∞)内，f(x)为增函数
D．在区间(－∞，0)∪(2，＋∞)内，f(x)为增函数
答案：D
4. 已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R)在(0，2)上是减函数，则a的取值范围是(　　)
A．(0，16) B．(－∞，16)
C．(16，＋∞) D．[16，＋∞)
解析：f′(x)＝2x－＝，由题意f′(x)≤0在(0，2)上恒成立．
所以2x3－a≤0在(0，2)上恒成立，即a≥2x3在(0，2)上恒成立，又因为0＜2x3＜16，所以a≥16.故选D.
答案：D
5．设f′(x)是函数f (x)的导函数， y＝f′(x) 的图象如下图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是(　　)

解析：由f′(x)的图象可知，x<0或x>2时，f′(x)>0；0<x<2时，f′(x)<0，所以，函数f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)内单调递增，在(0，2)内单调递减．
答案：C
二、填空题
6．函数f(x)＝sin x－2x的递减区间是________．
解析：因为f′(x)＝cos x－2＜0，所以f(x)在R上为减函数．
答案：(－∞，＋∞)
7．(2013·武汉调研)若函数y＝－x3＋ax有三个单调区间，则a的取值范围是________．
解析：因为y′＝－4x2＋a，且y有三个单调区间，
所以方程y′＝－4x2＋a＝0有两个不等的实根，
所以Δ＝02－4×(－4)×a＞0，得a＞0.
答案：(0，＋∞)
8．若f(x)＝ax3－x2＋x－5为R上的增函数，则实数a的取值范围是________．
答案：
三、解答题
9．已知函数f(x)＝kx3－3(k＋1)x2－k2＋1(k＞0)．若f(x)的单调递减区间为(0，4)，单调递增区间为(－∞，0)与(4，＋∞)，求k的值．
解析：f′(x)＝3kx2－6(k＋1)x，
由题知x＝0或x＝4为方程f′(x)＝0的两根，
∴0＋4＝4＝.∴k＝1.
10．设函数f(x)＝ln(x＋a)＋x2，若f′(－1)＝0，求a的值，并讨论f(x)的单调性．
解析：f′(x)＝＋2x，依题意，
有f′(－1)＝0，故a＝.
从而f′(x)＝＝.
则f(x)的定义域为.
当－＜x＜－1时，f′(x)＞0；
当－1＜x＜－时，f′(x)＜0；
当x＞－时，f′(x)＞0.
从而f(x)分别在区间，上递增，在区间上递减．