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《1.3.1函数的单调性与导数》同步练习
一、选择题
1.函数y=4x2+的单调增区间是( )
A.(0,+∞) B.(-∞,1)
C. D.(1,+∞)
答案:C
2.若在区间(a,b)内有f′(x)>0,且f(a)≥0,则在(a,b)内有( )
A.f(x)>0 B.f(x)<0
C.f(x)=0 D.f(x)≥0
答案:A
3.关于函数f(x)=2x3-6x2+7,下列说法不正确的是( )
A.在区间(-∞,0)内,f(x)为增函数
B.在区间(0,2)内,f(x)为减函数
C.在区间(2,+∞)内,f(x)为增函数
D.在区间(-∞,0)∪(2,+∞)内,f(x)为增函数
答案:D
4. 已知函数f(x)=x2+(x≠0,a∈R)在(0,2)上是减函数,则a的取值范围是( )
A.(0,16) B.(-∞,16)
C.(16,+∞) D.[16,+∞)
解析:f′(x)=2x-=,由题意f′(x)≤0在(0,2)上恒成立.
所以2x3-a≤0在(0,2)上恒成立,即a≥2x3在(0,2)上恒成立,又因为0<2x3<16,所以a≥16.故选D.
答案:D
5.设f′(x)是函数f (x)的导函数, y=f′(x) 的图象如下图所示,则y=f(x)的图象最有可能是( )
解析:由f′(x)的图象可知,x<0或x>2时,f′(x)>0;0<x<2时,f′(x)<0,所以,函数f(x)在(-∞,0)和(2,+∞)内单调递增,在(0,2)内单调递减.
答案:C
二、填空题
6.函数f(x)=sin x-2x的递减区间是________.
解析:因为f′(x)=cos x-2<0,所以f(x)在R上为减函数.
答案:(-∞,+∞)
7.(2013·武汉调研)若函数y=-x3+ax有三个单调区间,则a的取值范围是________.
解析:因为y′=-4x2+a,且y有三个单调区间,
所以方程y′=-4x2+a=0有两个不等的实根,
所以Δ=02-4×(-4)×a>0,得a>0.
答案:(0,+∞)
8.若f(x)=ax3-x2+x-5为R上的增函数,则实数a的取值范围是________.
答案:
三、解答题
9.已知函数f(x)=kx3-3(k+1)x2-k2+1(k>0).若f(x)的单调递减区间为(0,4),单调递增区间为(-∞,0)与(4,+∞),求k的值.
解析:f′(x)=3kx2-6(k+1)x,
由题知x=0或x=4为方程f′(x)=0的两根,
∴0+4=4=.∴k=1.
10.设函数f(x)=ln(x+a)+x2,若f′(-1)=0,求a的值,并讨论f(x)的单调性.
解析:f′(x)=+2x,依题意,
有f′(-1)=0,故a=.
从而f′(x)==.
则f(x)的定义域为.
当-<x<-1时,f′(x)>0;
当-1<x<-时,f′(x)<0;
当x>-时,f′(x)>0.
从而f(x)分别在区间,上递增,在区间上递减.
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