西风带阻塞高压形成及崩溃动力机制的Euler-Lagrange理论解释.pdf

第43卷第3期2023年6 月刘春，张春辉，刘自牧，等.西风带阻塞高压形成及崩溃动力机制的Euler-Lagrange理论解释.气象科学，2 0 2 3,43(3)：38 4-392.LIU Chun,ZHANG Chunhui,LIU Zimu,et al.Euler-lagrange theoretical explanation of dynamic mechanism about formation andbreakdown of atmosphere blocking in westerly zone.Journal of the Meteorological Sciences,2023,43(3):384-392.西风带阻塞高压形成及崩溃动力机制的Euler-Lagrange 理论解释气象科学Journal of the Meteorological SciencesVol.43,No.3Jun.,2023刘春1.2张春辉刘自牧叶袜麟3（1高原与盆地暴雨旱涝灾害四川省重点实验室，成都6 10 0 7 2；2 辽阳市气象局，辽宁辽阳1110 10；3四川省内江市气象局，四川内江6 410 0 0;4四川省气象服务中心，成都6 10 0 7 2）摘要本文主要采用Euler-Lagrange 理论，讨论正压剪切流的切变参数对阻塞高压形成的影响。研究表明：存在一个临界参数，当切变参数的绝对值超过这个临界参数，正压剪切流将分歧出阻塞流型,这意味着阻塞高压的形成；反之，当切变参数的绝对值小于这个临界参数，阻塞流型将恢复到剪切流，这意味着阻塞高压的崩溃。该研究一定程度回答了阻塞流型“怎么形成”和“怎么崩溃”这一基本而关键的问题。关键词Euler-Lagrange理论；阻塞形势；无穷维分歧理论;Banach空间；基本气流弱切变；二维正压原始方程；动力学机制分类号：P461Euler-lagrange theoretical explanation of dynamic mechanism aboutformation and breakdown of atmosphere blockingLIU Chun,2(1 Heavy Rain and Drought-Flood Disasters in Plateau and Basin Key Laboratory of Sichuan Province,Chengdu 610072,China;2 Liaoyang Meteorological Bureau,Liaoning Liaoyang 111010,China;3 Neijiang Meteorological Bureau,Sichuan Nejiang 641000,China;4 Sichuan Meteorological Service Center,Chengdu 610072,China)Abstract This study discussed the influence of shear parameters of the barotropic shear flow on theformation of blocking,from the perspective of the local characteristics of the blocking.Studies have shownthat there is a critical parameter,and when the absolute value of the shear parameter exceeds this criticalparameter,the barotropic shear flow will bifurcate the blocking,which means the formation of blocking;onthe contrary,when the absolute value of the shear parameter is less than this critical parameter,theblocking will return to shear flow,which means the collapse of the blocking.The research answers to acertain extent the basic and critical questions of“how to form and“how to collapse the blocking flowpattern.Key words Euler-Lagrange theory;blocking;infinite dimensional bifurcation theory;banachspace;weak shear of zonal flow;two-dimensional barotropic equation;dynamic mechanismdoi:10.12306/2021jms.0058ZHANG Chunhui3LIU Zimu*YE Molin3文献标识码：Ain westerly zone收稿日期（Received）：2 0 2 1-0 6-2 3；修改稿日期（Revised）：2 0 2 1-0 7-13基金项目：国家自然科学基金资助项目（416 7 50 95；417 30 959）通信作者（Corresponding author）：张春辉（ZHANG Chunhui）.136 37 0 413 q q.c o m地质制版Dz09E气象科学 2 0 2 3 预排稿 排版：李韵馨5校2 0 2 3/7/2 13期引言气候异常的原因之一是大气环流的持续异常，而阻塞形势是造成冬季大气环流持续异常的重要原因之一1-7 ,是气象界关注的难点之一。关于阻塞形势形成的动力机制研究，主要包含两个方面：一是通过分析阻塞流型（低指数）和纬向环流（高指数）之间的转换来研究阻塞形势的全域特征，这方面的研究方法主要有多平衡态、共振理论和非连续性振荡等18-2 。比如,Charney，e t a l 8 把准地转正压模式的双稳态与大气中高低西风带指数联系起来,并且指出地形和热力强迫波引起的一类低指数达到稳定平衡态是大气阻塞现象的原因;而朱抱真等9 和金飞飞等10-1 在多平衡态的基础上，结合不连续振荡理论，讨论了西风带纬向环流（高指数）与阻塞高压（低指数）之间的不连续循环。二是通过分析阻塞高压和相应切断低压的拓扑结构来研究阻塞形势的局地特征，这方面的研究方法包括孤立波、偶极子和孤立涡等12 2 1。比如，罗德海等2 2 通过多尺度变换方法，获得了关于行星波振幅的非线性Shrodinger方程，较好的反映偶极子阻塞的孤立子特征和衰减机制。阻塞形势研究的两个方面，分别代表了两种物理学观点，即Lagrange 观点和Euler观点。对应的,表征拓扑结构的平衡态属于Lagrange动力学范畴（有限维动力系统领域）；表征时空分布的孤立子属于Euler动力学范畴（无限维动力系统领域）。根据HUANG，e t a l 2 3 的研究,基本西风是随着时间和剪切类型的变化而变化的，对阻塞的形成、发展强度和生命周期均有影响。众所周知,在北半球西风带上，高指数环流以近似平直的纬向环流为特征,而低指数环流以具有涡旋结构的阻塞形势为特征，从平直气流到涡旋结构，既存在结构的变化，又存在时空分布变化。这意味着，无论是研究流体速度场拓扑结构的Lagrange 动力学,还是研究速度场时空分布的Euler动力学，都不足以完整的描述这类分歧。这表明,要回答阻塞形势“怎么形成”和“怎么崩溃”这一基本而关键的问题，就需要采用Euler-Lagrange动力学耦合方案，即无限维泛函空间来讨论这一问题。对于这一方案，最关键的是要应用算子方程的分歧理论。MA，e t a l 2 4-2 8 利用分歧理论讨论了Raylegh-Benard对流问题,认为热对流的稳定性是由流体的黏性及热扩散与非线性相互作用引起的,其发生的相变是连续性的，深化了对刘春，等：西风带阻塞高压形成及崩溃动力机制的Euler-Lagrange理论解释程，则可避免近似方法中存在的问题。为此,本研究首先从二维正压原始方程出发，构建了一个具有经向梯度的西风环流模型；其次，在该模型的基础上，根据大气不可压缩的特征，建立了具有切变的大气环流的Euler-Lagrange动力学方程,即泛函方程；然后,应用泛函方程的特征值理论，分析了在经向扰动边界值为零的条件下，切变率具有二重特征结构；最后，在泛函方程分歧理论基础上,结合大气运动实际和临界切变率，分析阻塞高压与切断低压形成和崩溃的动力机制。1具有经向梯度的西风环流模型大气环流的演变，一般情况下是斜压的，正压或者相当正压只是大气的一种特殊形态，而阻塞形势正是大气环流演变中的一种特殊形态,具有相当正压结构特征。同时，由于阻塞形势主要分布在西风带对流层中高层，为此，本研究主要讨论的大气环流为西风环流。另外，西风环流无刚性边界，故认为自由大气是不可压缩的。为此,考虑如下的正压原始方程：ou+u+V-fu=uutay+u+V+fu=Au-tdyau+dy其中:定义域为(x,y)Q=(0,L)(0,2S)。L为北半球西风带周长;y=0为西风带南缘位置，y=2S为西风带北缘位置。同时，假设初始时刻西风为平直气流，则方程（1)描述了西风带上的平均纬向环流。此时,在西风带区域中，平均纬向环流可以表示为V=(uo,0)。罗德海等2 和 HUANG,et al23的研究表明，大气中弱切变的平均纬向环流是大气形成阻塞的重要因素。为此，假设在初始时刻,西风带平均纬向环流V。具有如下分布（图1）：西风带北部和南部纬向环流强盛，而处于中部的纬向环流相对较弱,其西风风速的经向梯度dy地质制版Dz09E气象科学 2 0 2 3 预排稿 排版：李韵馨5校2 0 2 3/7/2 1385于Raylegh-Benard对流不稳定性的认识。马天等2 9 则用分歧理论分析了Walker环流的形成的动力机制。另外，由于大气方程均是偏微分方程，在用方程解释大气现象时，多采用近似的方法，如Glerkin 截断8,11 和 WKB9101617,2,这类近似方法,存在一定的局限性，而采用泛函方法讨论大气方au(1)dy=0，auo度一分布为：apax386气象科学43卷f(u+uo)=uu3duayu忽略“”号，令=y-yo,表征扰动经向偏移量，lalS,则方程(6)为auau+u+Vtay01图1具有经向梯度的西风环流Fig.1Westerly circulation with meridional gradientauoo,yyo;ayauo：0，y=yoay；auoo,y0。y.2根据上面的分析,可将带形区域Q中的一个具有切变的平均纬向环流表示为：uo=入y?+by+c,对公式（3)求导数，带入公式（2），得到：auo=2入y。+b =0 ;dyy=Yo=入y+byo+c=,Woy=yo解方程组(4),可得b=-2入yo,c=入yo,为此，平均纬向环流可以写为：uo=Ay?-2yoay+入yo,下面,不妨设纬向环流是对称的,即yo=S。为了进一步分析阻塞形成与崩溃的动力机制，考虑平均纬向环流V。=（u o,0)上的扰动V=（u ,）,此时,西风环流V=（u,)由平均纬向环流和扰动流构成：V=V。+V ,因此,方程(1)变为dudu（u+uo)atfou=(u+uo)du+uotxaydpdy0au+2入u+fu=u-p+uo23au+2入(y-yo)u-ay(6)4+o+uatau+xay(7)式为扰动流的控制方程,该方程为拟抛物(2)型方程。由于地球的环形特征,故西风带上的纬向风速关于L是周期的,不妨设L为最小周期。因此,方程（7)具有如下边界条件：V=(0,0)y=0,su(x+L,y)=u(x,y),v(x+L,y)=(x,y)此时,分 0 和0为在y=S以北区域的分歧情况,即阻塞高压;0 的情况进行讨论。上面的分析,将基本纬向环流的切变以参数的形式嵌入到扰动流方程中,形成了关于切变率入的参数方程（7)及边界条件（8），下面将以此为基础，分析阻塞高压形成及崩溃的动力机制。(5)2阻塞问题的Banach空间及泛函方程由于公式（7)是带参数的偏微分方程，如果仅仅从偏微分方程的角度，不可能得到任何关于西风环流结构变化的结果,因而也不能解释纬向环流如何形成阻塞形势的动力机制。对此，气象学者采用Glerkin截断和WKB近似等方法将大气方程（偏微分方程组)简化为有限维动力系统的方式，来分析大气环流中的分歧现象，获得了许多卓有成效的结果18 1.314.2。然而,这种近似方法具有一定的局限性:Glerkin截断中不同的基函数下的有限维系统的拓扑结构具有较大的差异；WKB近似中不同的参数选择对应不同的有限维系统。地质制版Dz09E气象科学 2 0 2 3 预排稿 排版：李韵馨5校2 0 2 3/7/2 1p+Vfu=uAudydy=0,(7)(8)3期为了解决近似方法的局限性，需要采用Euler-Lagrange动力学耦合方案，即整体考虑参数变化下大气方程的结构变化情况，为此，需要用泛函分析的方法对参数方程（7)及边界条件（8）进行重新描述。在此之前,先对一个被称作Leray投影的正交映射作必要的说明：由于环流无固定边界，大气可视为不可压缩的,即au/ax+au/ay=0,为此，定义域内的平方可积函数集L（,R）能够被分解为如下两个子空间的正交和：L(,R?)=H 田 G,G1H。其中：H=/V=L(2,R)I divV=O/,G=1Ve L(2,R)/。该正交分解称为Hodge分解，利用该分解,可以定义一个正交投影,称为Leray投影P:L(2,R)H。这样，根据不可压缩条件au/ax+au/ay=0,满足方程(7)和边界条件(8)的解都在空间H中。同时，通过Leray投影,梯度场的项可以视为零，起到简化方程的作用。由于方程（7)满足不可压缩条件au/a+au/ay=0,为此,对于西风带阻塞形成和崩溃动力机制的问题,可以建立Banach空间如下：H=(V=L(,R）I d i v V=0,V 满足边界条件(8)H,=V H(2,R)n HI V满足边界条件(8),(9)进一步,将方程(7)改写为如下形式：duQu+uWo+2入gu-fu=Au-tay+u+V+uolaydxatxauWo+fudy考虑到 divV=0,则存在一个流函数,使得以下公式成立。uay为此，（10)式中的向量场均为梯度场：o一,uoayay刘春，等：西风带阻塞高压形成及崩溃动力机制的Euler-Lagrange理论解释+2入ou=Au-atay+u+Vaxatayau=0，十xay根据定义域Q内的Banach空间（9）,可将方程（11)改写为如下的泛函方程形式：=Ls+Ct。dt这里，算子L,=-A+B、和G:HH。定义如下：-Ag=PiuAu,uAu,B.s=P2入ou-0,-2dxdy了Gf=Pl-(V.V)u,-(V.V)u)。其中:=Ve Hi,P:L(2,R)H为 Leray 投影。可以验证,算子A是线性同胚的;B是线性紧的;L是扇形算子;G为有界映射。由于所讨论的西风环流无刚性边界，为此，通过Leray投影,将方程(7)简化成（11)式，下面将以方程(11)和（12)为基础来分析纬向环流向阻塞流型转化的过程。3吸引子分歧理论在第3节中根据Euler-Lagrange动力学耦合方ay案，建立了具有切变的大气环流的泛函方程，切变+在方程中以参数的形式体现。为了分析切变参数dxayay=0V=uoay387同时，au_u=-山=VV。axay根据Hodge分解和Leray映射的定义,Banach空间（9)中H。的正交补空间为梯度场空间,可知方程（10)等价于如下的方程组：dudu+u+V变化下,纬向环流如何分歧出阻塞形势，需要给出关于拟抛物型方程的分歧理论2 4-2 5，也称演化方程的分歧理论。为此，令X和X,是两个Banach空间，(10)X,一X是一个稠密紧包含。考虑如下非线性演化方程：=LA+G(s,入),dt9(0)=50其中,：（O,X是未知函数;入R为系统参数。(-fu,fu)=如果L：XX是参数化的线性全连续场，连续依赖于入ER,并且满足地质制版Dz09E气象科学 2 0 2 3 预排稿 排版：李韵馨5校2 0 2 3/7/2 1duay(11)(12)(13)388对某个0 1,假设 G(,):XX是 C(r1)的有界映射,连续依赖于入ER,并且满足：G(g,)=o(Ilg ll a),V入ER。这里,X。为扇形算子L,决定的分数次空间。令L的特征值为I,(入)I j=1,2,.C C。其中：C表示复数域。假设它们满足：r0,若入-入。0,若入-入。0。(14)以及Re,(c)入c分歧出一个吸引子A,其维数为m-1Am,并且当m2时是连通的；(2)存在=O的一个邻域UCX,使得A吸引U/T,这里I为UCX的稳定流形,在X中有余维m;(3)A,是一个m-1维的同调球,特别地,若Ax为有限单复形,则A与球面 S-同伦型。下面,将以方程（7）和边界条件（8）为基础,应用定理1的结果,分析西风带阻塞形成和崩溃的动力机制。4阻塞形成与崩溃的动力机制上面给出了大气环流模式的Banach空间和泛函方程,接下来将利用3节中定理1的结论,来分析阻塞形成与崩溃的动力机制。定理1成立的关键是：算子L，的第一特征值在临界切变率入处为零，并在入c的两侧异号。为此，下面的讨论将分两步，气象科学rL,=-A+B为一个扇形算子；第一步是寻找入c，第二步分析算子L的第一特征A:X,一X是一个线性同胚；值的分布情况。B:X,X 是一个线性紧算子。4.1临界切变率根据临界切变率入c的定义：Re;(入)=0 若入-c=0可知,求解入c的值,意味着求解算子L的特征值=0时的切变率入。因此,解方程Lx=()=0,根据算子L的定义，可知求方程（16），即求解如下关于入的特征值问题Ai=BAt将算子A和B用向量的方式写出2=0;-uu+ay(15)u=0，x+dy方程（17)是线性椭圆型方程组,要获得其解的形式,可以采用分离变量的方法。为此，对于特征值问题（17）,取变量分离如下：1 dh(x)ddd(y)u=dxv=h()(y)将(18）式带人到方程（17）中，有关于函数h(x)的方程dh-a?h，dx2考虑到西风带纬向风速u关于L是周期的,且L是最小周期，为此方程（19)具有如下形式的解：h(x)=cosax,k=1,2,.二h(x)=-sinax,而函数(y)则满足：d?a=2ag入;(dy(0)=(S)=0;(0)=(S)=0。由边界条件（8)可知，方程（19）和（2 0）具有如下形式的解：h(x)=cosax,TYd(y)=sinSO43卷(16)(17)dy，(18)(19)k=1,2,.(20)元2ak=1,2,L?，地质制版Dz09E气象科学 2 0 2 3 预排稿 排版：李韵馨5校2 0 2 3/7/2 13期和h(x)=-sinax,Tyd(y)=sinS从而，可得到关于入的特征值：A.(a)=(n+Sa):2uast对于=k/L而言,要得到关于入的第一特征值,则是要找到一个k。EN,使得入,（)为最小值。从而,可由极小值条件：入（)关于k的一阶导数为零；二阶导数大于零,来求得极小值处的ko。为此,求解方程d入1dhkIk=ko得到Lkoa进一步可验证,入()关于k的二阶导数d入dk2故入uo.S2。对于第一特征值入1,则入c=入1,即临界切变率。从上面的分析可知,对于边界条件（8），临界变化率入c是m=2重的。此时,方程(17)具有如下的两个特征函数u$=V=coS-xsinSTu=cosxcosSS二TosinVsin此时,方程(15)的速度场为TTei=(-sin-xcosSy,cos-xsinSSTTe2=(cosSxcosSy,-sinStsinS为此,第一特征函数e;H(i=1,2),并且满足J(er e2)ddy=0j。记E是（17）的第一特征向量空间刘春，等：西风带阻塞高压形成及崩溃动力机制的Euler-Lagrange理论解释ak=1,2,L2=0。TS0。2元2Tsin-xcosSSTTTTTTTTT389E=(jei+2e2 I 1,2 R。切变率入的特征值结构，尤其是第一特征值，在分歧理论中起到决定性作用，主要体现在：中心流形的结构,以及由此分歧出的解的结构。有了入的特征值结构,就可以对方程（15）的动态分歧进行分析,并在此基础上讨论阻塞形成予崩溃的动力机制。4.2阻塞问题的分歧定理及动力机制分析5.1小节获得了临界切变率入c，本小节将进一步分析算子L的第一特征值在入c两端的分布情况,从而得出关于阻塞问题的分歧定理。为此,考虑如下的特征值问题LAp=(),=Ve H。即考虑如下的等价方程-u-2 入gv+(入)u=0,-Au+(入)u=O,=0+xy由对称算子特征值理论2 6 可知，方程（2 1）的所有特征值为实数，并且满足i()2(入).().,lim;(入)=-0 。(22)式的第一特征值（入）与（17）的第一特征值入c之间的关系如下0,若入-入。0;i(入)/=0,若入-入。=0。由于方程（2 1）的第一特征值（入）具有最小性质T-(入)=(lVu|2+lVu12-2u)dxdymin2(VeHi)则入c对应的特征向量满足(lVul?+lVv|2-2aw)dxdy0。T因此，有S0,若入-入c0,若入-入 0。综上，结合定理1，可以得到定理（2）。定理2 对于切变生成阻塞问题，有如下结论：(1)当入入c（入c=2/oS,下同）时,方程地质制版Dz09E气象科学 2 0 2 3 预排稿 排版：李韵馨5校2 0 2 3/7/2 1(21)(22).(I u12+1 12)dxdy390气象科学4.04.04()3.53.52.3.033.043卷H2.50Fig.2 Schematic diagram of the transition from the zonal circulation to the anticyclonic vortex:2.0(a)1.5-2.1.00.502.52.0112图2 纬向环流向反气旋型涡旋的转换示意：（a)纬向环流；（b)反气旋型涡旋流场(a)zonal circulation;(b)anticyclonic vortex12图3丝纬向环流向气旋型涡旋的转换示意：（a)纬向环流；（b）气旋型涡旋流场Fig.3Schematic diagram of the transition from zonal circulation to cyclonic vortex:33(a)zonal circulation;（b)c y c lo n e v o r t e x4402.0-(6)1.5-21.00.5011223344（1)的稳态解是全局渐近稳定，此时纬向环流没有分歧出现；(2)当入 入c时,从扰动流（u,U,入）=（0,0,-c)和(u,)=（0,0,c)分别分歧出一个吸引子，Z，是连通的,并且是一个1维的同调球。根据定理2,当入入c时，没有分歧产生，流型仍是纬向流；当入 入c时,将形成一个反气旋型涡旋，位于y=y北部。意味着，当入从（O,入c）跨入（入c，）时，y=y。的北部出现高压场（图2）；相反，当入从（入c，）跨人（O,入c）时，=北部的高压场消失，恢复为纬向流场。取大气黏性系数为10 10-Pas,对于西风带而言,取 0.510 m,S110m,可知入c=4x10-12/(sm）（下同)。对于-入c时,将形成一个反气旋型涡旋,位于y=y。南部。意味着,当入从(O,-)跨人（-c，）时,y=南部出现低压场（图3)；相反，当入从（入c，）跨人（0,入c)时,y=y南部的低压场消失，恢复为纬向流场。如果切变在y。的北部和南部同时存在，那么，当入 I入cI时,将形成一对涡旋,其中反气旋型涡旋位于y=yo北部，气旋型涡旋位于y=y南部，即偶极子型阻塞形势。意味着,当入从(0,I入cI)跨人（I入cI，）时,y=y。的北部出现阻塞高压、南部出现切断低压(图4);相反,当入从（I入cl,）跨人(0,1入cl)时，y=yo北部的阻塞高压和南部的切断低压崩溃。从切变参数的分歧也可以看出,形成和崩溃这一过程,即入跨越临界切变率入c的过程是瞬变过程,这在一定程度说明了高指数环流和低指数环流转换过程的“跳跃性”。6结论大气中的阻塞形势是中高纬度地区中的一种特殊的天气形势,本研究主要采用Euler-Lagrange理论，从具有纬向切变的正压剪切流模型出发，讨论切变参数对阻塞高压形成的影响。研究表明：存在一个临界参数，当切变参数的绝对值超过这个临界参数，正压剪切流将分歧出阻塞流型，这意味着阻塞高压的形成；反之，当切变参数的绝对值小于这个临界参数,阻塞流型将恢复到剪切流，这意味着阻塞高压的崩溃。该研究一定程度回答了阻塞流型“怎么形成”和“怎么崩溃”这一基本而关键的问题。本研究虽然从基础的角度分析了阻塞形势形成和崩溃的动力学机制，也一定程度说明了高、低指数环流转换过程的“跳跃性”，但仍存在如下的问题：（1)本文的动力学模型经过较大的简化,并且边界条件和临界条件的设置也较为理想，与实际西风地质制版Dz09E气象科学 2 0 2 3 预排稿 排版：李韵馨5校2 0 2 3/7/2 13期带环流有一定差别，因此，结论只是实际天气的一种近似。（2)本研究只给出了阻塞高压和切断低压的雏形,而要形成阻塞高压和切断低压，需要进一步考虑上下层的加热、垂直涡动输送等过程的作用。参考文献【1叶笃正，朱抱真.大气环流的若干基本问题.北京：科学出版社,19 58.YE Duzheng,ZHU Baozhen.Basic problems of atmosphericcirculation.Beijing:Science Press(in 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