2011年高考数学-静悟材料-文.doc

2011年高考数学静悟材料（文）
--------三轮复习静悟材料
教师赠言：同学们，高考临近，我们应该认真的去做好哪些准备工作呢？首先要掌握高中数学中的概念、公式及基本解题方法，其次要熟悉一些基本题型，明确解题中的易误点，还应了解一些常用结论，最后还要通过多次仿真高考模拟训练，掌握一些的应试技巧。因此我们在教学中注意积累所涉及到的概念、公式、常见题型、常用方法和解题规律进行了总结，并按章节进行了系统的整理，现在印发给你们，希望同学们作为复习中的重要材料，认真阅读和使用。它能助你在高考中乘风破浪，实现自已的理想报负。
集合函数导数
一考试内容及要求
1.集合、简易逻辑
（1）集合的含义与表示
① 了解集合的含义，元素与集合的“属于”关系．
② 能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题．
（2）集合间的基本关系
① 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
② 在具体情境中，了解全集与空集的含义．
（3）集合的基本运算
① 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
② 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
③ 能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系及运算．
（4）命题及其关系
①理解命题的概念.
②了解“若，则”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．
③理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．
（5）简单的逻辑联结词
了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．
（6）全称量词与存在量词
① 理解全称量词与存在量词的意义．
② 能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
2.函数
（1）函数
① 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．
② 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数．
③ 了解简单的分段函数，并能简单应用．
④ 理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
⑤ 会运用函数图象理解和研究函数的性质．
（2）指数函数
① 了解指数函数模型的实际背景．
② 理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
③ 理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．
④ 知道指数函数是一类重要的函数模型．
（3）对数函数
① 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．
② 理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点．
③ 知道对数函数是一类重要的函数模型．
④ 了解指数函数与对数函数互为反函数．
（4）幂函数
① 了解幂函数的概念．
② 结合函数 的图象，了解它们的变化情况．
（5）函数与方程
① 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
② 根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．
（6）函数模型及其应用
① 了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征；知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．
② 了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.
二、重要知识、技能技巧
1.函数是一种特殊的映射：f：A→B (A、B为非空数集)，
定义域：
解决函数问题必须树立“定义域优先”的观点.
2.函数值域、最值的常用解法
⑴观察法；⑵配方法；⑶反解法；如y=
⑷△法；适用于经过去分母、平方、换元等变换后得到关于y的一元二次方程的一类函数；⑸基本不等式法；⑹单调函数法；⑺数形结合法；⑻换元法；⑼导数法.
3.函数奇偶性
⑴判断
①解析式
②图象（关于y轴或坐标原点对称）
⑵性质：如果f(x)是奇函数且在x=0有定义，则f(0)=0；常数函数f(x)=0定义域(－l,l)既是奇函数也是偶函数；在公共定义域上，两个奇、偶函数的运算性质.（略）
4.函数单调性
⑴定义的等价形式如：>0(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
⑵判断：①定义法；②导数法；③结论法（慎用）.
奇偶函数在对称区间上的单调性；互为反函数的两函数单调性；复合函数的单调性（同增异减）；常见函数的单调性（如y=x+,a∈R）.
5.函数周期性
⑴f(x)=f(x+a)对定义域中任意x总成立,则T=a.如果一个函数是周期函数,则其周期有无数个.
⑵f(x+a)=f(x－a)，则T=2a. ⑶f(x+a)=－，则T=2a.
⑷f(x)图象关于x=a及x=b对称，a≠b，则T=2(b－a).
⑸f(x)图象关于x=a及点(b,c) (b≠a)对称，则T=4(b－a).
6.函数图象的对称性
⑴若f(a+x)=f(a－x)或[f(x)=f(2a－x)]，则f(x)图象关于x=a对称，特别地f(x)=f(－x)则关于x=0对称；
⑵若f(a+x)+f(b－x)=2c，则f(x)图象关于(,c)中心对称，特别地f(x)+f(－x)=0，则关于(0,0)对称；
⑶若f(a+x)=f(b－x)，则y=f(x)关于x=对称；
⑷y=f(x)与y=f(2a－x)关于x=a对称；y=f(x)与y=－f(x)+2b关于y=b对称；y=f(x)与y=－f(2a－x)+2b，关于(a,b)对称.
⑸y=f(a+x)与y=f(b－x)，关于x=对称.
7.⑴要熟练掌握和二次函数有关的方程不等式等问题，并能结合二次函数的图象进行分类讨论；结合图象探索综合题的解题切入点。
⑵抽象函数未给出函数解析式，但给出函数的一些性质来探讨它的其他性质，这样的题目常以具体的函数为背景，处理时要用广义的定义、性质、定理去处理，不能用具体函数去论证.
8.指数对数函数
⑴对数恒等式 a=x (a>0且a≠1,x>0).
⑵对数运算性质（M>0，N>0，p∈Q）
①loga(MN)=logaM+logaN；②loga=logaM－logaN；③logaNp=plogaN.
⑶y=logax与y=logx； y=ax与y=()x；y=ax与y=bx (a>b)
y=logax与y=logbx图象间关系：(略)
9.关于幂函数：
1）__________________________________________________
2）__________________________________________________
3）__________________________________________________
10.逻辑联结词，四种命题
⑴且、或、否可理解为与交、并、补对应.
⑵非p即p是对p的否定，而p的否命题，则是否定条件，否定结论.
例：p：如果x=1，那么x2－1=0； 则p：如果x=1，那么x2－1≠0.
而命题p的否命题是：如果x≠1，那么x2－1≠0.
⑶原命题和它的逆否命题、逆命题与否命题都互为逆否命题，互为逆否的两个命题真假性一致，因此一个命题的真假性难以判断或一个命题难以证明时，可以判断或证明它的逆否命题.
11.充要条件
⑴充分条件，必要条件，充要条件的等价叙述，如，p是q的充分条件若p，则qpqq的一个充分条件是p.
⑵关于充要条件的几个结论：
①“定义域关于原点对称”是“函数为奇或偶函数”的必要不充分条件.
②在△ABC中，A>Ba>b.
③“||=||”是“”的必要不充分条件
④“{an}既是等差，又是等比数列”是“ {an}是常数数列”的充分不必要条件.
⑤“方程x2+y2+Dx+Ey+F=0”是“该方程表示圆方程”的必要不充分条件.
⑥f′(x)=0是x为极值点的必要不充分条件.
⑶证明充要条件的命题要证明两个方面，首先必须找准一个命题的条件和结论..
12.反证法
反证法就是假设命题的结论不成立，从这个假定出发，经过推理证出其矛盾，然后推翻假设肯定原来命题正确。推出矛盾常见以下几种：
⑴与公理、定理、定义矛盾；
⑵与熟知的事实矛盾；
⑶与已知矛盾；
⑷与不同方向推出的其他结论矛盾。
以下情形适宜用反证法证明：
⑴难以甚至无法由已知条件直接证明结论的；
⑵“至多”、“至少”型问题；
⑶唯一性的证明；
⑷问题的结论本身以否定形式给出的；
⑸要证命题的逆命题是正确的。
注意若命题结论的反面情况有多种，则必须将每一种反面情况都驳倒。
13.解答函数应用题的基本步骤为：
⑴审题：审题是解题的基础，它包括阅读、理解、翻译、挖掘等，通过阅读，理解问题的类型、内涵、实质，以及应建立的数学模型；
⑵建模：在细心阅读，深入理解题意的基础上，引进数学符号，将题目中的非数学语言转化成数学语言，然后，根据题意，列出数量关系——建立函数模型，注意字母为取值范围应符合实际事实。
⑶解模：通过函数的有关性质的运用，进行推理、运算，使问题得到解决；
⑷还原评价：应用问题不是单纯的数学问题，对于理论的推导结果，要代入原问题中进行检验、评价，判断是否符合实际情况。
分析、解决应用问题的思维过程：
实际问题
数学问题
实际问题结论
数学问题结果
建 模
（审题、转化、抽象）

问题解决 解模推算

还 原
（检验、评价）
三.易错点提示
⑴多变量问题注意主元与辅助元的转换
如 p∈(,4)时，不等式px+1>2x－p恒成立，可看成关于p的函数g(p)=(x+1)p+1－2x>0，在(,4)上恒成立（等号不同时取）
⑵单调函数要与区间对应.
⑶关于范围的结论的书写注意端点的“开闭”
⑷y=的中心(a,b)，渐近线x=a,y=b，单调区间(－∞,a),(a,+∞) (ab+c≠0)
⑸图象信息题注意观察:对称性、特殊点、升降情况、图象位置、变化率、最高、最低点等.
如：y=图象 则a>c>b.
y=ax3+bx2+cx+d 则a>0,b>0,c<0.
⑹复合函数要注意定义域的作用
如求y=log2(x2－3x+2)的单调区间，已知f(x+)=x2+，求f(x)均须考虑定义域.
⑺解决映射的有关问题，注意分类讨论.
如M={x,y,z}，N={1,0,－1}，f：M→N满足f(x)－f(y)=f(z)的映射个数(7).
⑻注意代表元素的不同对集合意义的影响。如{y|y=x2}、{x|y=x2}、{(x,y)|y=x2}就表示完全不同的三个集合，它们分别表示[0,+∞,R两个数集及抛物线y=x2上的点集。避免如下错误：{y|y=x2}∩{y|y=2x}={(2,2)、(4,4)}。
⑼用列举法表示集合时,元素既不能遗漏,又不能违反互异性原则,如方程(x－1)2 (x+2)=0的解集表示为{1,1,－2}是错误的，作为集合只能表示为{1,－2}.另外注意(1,2),{1,2},{(1,2)}的区别.
⑽一般来说图象直观不能代替代数论证.
典型错误分析与纠错：
例题1、已知A={x|}，B={x|}，若AB，求实数m的取值范围．
【错解】AB，解得：
【分析】忽略A=的情况.
【正解】（1）A≠时，AB，解得：；
（2）A= 时，，得.
综上所述，m的取值范围是（,
四、典题训练:
一、选择题：每小题给出的四个选项中，仅有一项是正确的。
1.设集合，则
A．{1} B．{1，2} C．{2} D．{0，1，2}
2.已知命题p：函数的值域为R，命题q：函数是减函数。若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．a1 B．1<a<2 C．a<2 D．a1或a2
3.若函数的定义域为，则的定义域为__________；

4.已知点在圆上，求及的取值范围 ；
5.若定义在R上的偶函数在上是减函数，且=2，则不等式的解集为____ __.
6.用表示a，b两数中的最小值。若函数的图像关于直线x=对称，则t的值为( )
A．-2 B．2 C．-1 D．1

A.

B.

C.

D.

7．函数的大致图象为

8.设是定义域为R的函数，且，又，则= ;
9.方程 （ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
10. （2010江苏）已知函数,则满足不等式的x的范围是____
11.设函数则
的值等于
A．10 B．100 C．1000 D．2007
12.已知函数y=f(x)是R上的偶函数，对于x∈R都
有f(x+6)=f(x)+f(3)成立，当，且时，都有给出下列命题：
（1）f(3)=0；
（2）直线x=一6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴；
（3）函数y=f(x)在[一9，一6]上为增函数
（4）函数y=f(x)在[一9，9]上有四个零点．
其中所有正确命题的序号为_____________(把所有正确命题的序号都填上)
13、已知定义域为的函数是奇函数。
①求的值；
②若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；

14、设函数的定义域为,
不等式对一切正实数均成立，如果命题为真命题，命题为假命题，求实数的取值范围。
15、已知函数的定义域是，当时，，且．
（Ⅰ）证明在定义域上是减函数；
（Ⅱ）如果，求满足不等式的的取值范围．

导 数
一、考试要求：
（1）导数概念及其几何意义
① 了解导数概念的实际背景．
② 理解导数的几何意义．
（2）导数的运算
①能根据导数定义,求函数的导数．(理)
② 能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．
常见基本初等函数的导数公式和常用的导数运算公式：
（为常数）;

·法则1：
·法则2：
·法则3：
（3）导数在研究函数中的应用
① 了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．
② 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）．
（4）生活中的优化问题
会利用导数解决某些实际问题．
二、重要知识与技能技巧
1、导数的定义
设函数y=f(x)在点x0及其近旁有定义，当自变量x在x0处有增量（或称改为量）△x，那么函数y相应的有增量（或称改变量）△y，△y=f(x0+△x)－f(x0)比值就叫做函数y=f(x)在x0到x0+△x之间的平均变化率.=.
如果当△x→0时，有极限，我们就说函数y=f(x)在x0处可导，并把这个极限值叫做函数f(x)在x0处的导数（或称变化率），记作f′(x0)或y′|x=x0或f′(x)|x=x0.即：f′(x0)=.
这里须指出：f′(x0)是函数y=f(x)在x0点的导数值，瞬时速度就是位移函数s(t)在点t0处的导数，即：S′(t0)=
2、求函数y=f(x)在x0点处的导数的步骤
⑴求函数的增量△y=f(x0+△x)－f(x0)
⑵求平均变化率：=.
⑶取极限，求函数在x0点的变化率，即导数：f′(x0)=.
3、“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”及“导数”的概念间的区别与联系：
⑴函数在一点处的导数，就是在该点的函数增量△y=f(x0+△x)－f(x0)与自变量的增量△x之比的极限。它是一个常数，不是变量。
⑵如果函数y=f(x)在区间(a,b)内每一点处均可导，这时称y=f(x)在区间(a,b)内可导，对于区间(a,b)内一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f′(x0)，这样的对应就构成了以区间(a,b)为定义域的一个新函数，称为函数f(x)的导函数，简称导数，所以函数的导数是对某一区间内任意一点x而言的。
⑶y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x=x0处的函数值,
即f′(x)|=f′(x0)，值得注意的是：f′(x0)≠[f(x0)]′
4、导数的几何意义
⑴函数f(x)在点x0处有导数，则函数f(x)的曲线在该点处必有切线，且导数值是该切线的斜率；但函数f(x)的曲线在点x0处有切线，函数f(x)在该点处不一定可导。如f(x)=在x=0有切线，但不可导。
⑵函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义是指：曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率,即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是f′(x0),切线方程为y－f(x0)=f′(x0)(x－x0)
三、导数的应用及易错点提示
1、利用导数判断函数的单调性
设函数y=f(x)在某区间内可导，并且在该区间内，f′(x)>0，则f(x)在该区间内为增函数；若在该区间内，f′(x)<0，则f(x)在该区间内为减函数.
指出：若可导函数只有某区间的个别点处导数等于零，不影响函数在该区间内的单调性，如y=x3，在(－∞,+∞)内，y=3x2≥0(只在x=0处y′=0)不影响y=x3在(－∞,+∞)内为单调增加.
2、求可导函数f(x)单调区间的一般方法和步骤如下：
⑴确定函数f(x)的定义区间；
⑵求函数f(x)的导数f′(x)；
⑶令f′(x)>0，所得x的范围（区间）为函数f(x)的单调增区间；令f′(x)<0，得单调减区间.
3、利用导数求函数的极值
⑴极值的定义：设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0左右近旁的所有x值，都有f(x)<f(x0), 我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，
如果对x0左右近旁的所有x值，都有f(x)>f(x0), 我们就说f(x0)是f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)
极大值、极小值统称为f(x)的极值.
指出：一个函数在给定区间上的极小值不一定小于极大值.(即极小值可以大于或等于极大值)；极值是函数的局部性质，它仅与左右近旁的函数值进行比较；极值点一定是区间的内点。可导函数导数为零的点是该点为极值点的必要条件，不是充分条件。
⑵极值的判定方法。
当可导函数f(x)在x0处有定义时，判别f(x0)是极大（小）值的方法是：
①如果在x0在左侧近旁f′(x0)>0，右侧近旁f′(x0)<0，那么f(x0)是极大值；
②如果在x0在左侧近旁f′(x0)<0，右侧近旁f′(x0)>0，那么f(x0)是极小值.
⑶求函数的极值的步骤：
①求函数的定义域
②求导数f′(x)
③求导数f′(x)=0的根.
④检查f′(x)在方程f′(x)=0的根的左右的符号，如果左正、右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.
4、函数的最大值与最小值
⑴闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值.(开区间上的连续函数不一定有最大值和最小值).
⑵求闭区间[a,b]上的连续函数f(x)的最大值和最小值的步骤：
①求f(x)在(a,b)内的极值；
②将f(x)的各极值与端点函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
⑶如果函数f(x)在开区间(a,b)或(－∞,+∞)内可导且有惟一的极值点x0，那么当f(x0)是极大值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值；当f(x0)是极小值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值.
⑷对于实际问题，如果连续函数f(x)在区间（a,b）内只有一个点使f′(x)=0，而且实际问题本身又可以知道f(x)在(a,b)内必定取得最大值或最小值，则f(x0)就是所求的最大值或最小值，这时也就无须判断是极大值还是极小值.
5、易错点提示：
（1）注意区分“求曲线上过点M的切线”与“求曲线上在点M处的切线”；
前者只要求切线过M点，M点未必是切点；而后者则很明确，切点就是M点。
[举例]求函数y=x3-3x2+x的图象上过原点的切线方程
解析：易见O（0，0）在函数y=x3-3x2+x的图象上，y’=3x2－6x+1,但O点未必是切点。
设切点A（x0,y0）∵y’=3x2－6x+1, ∴切线斜率为3x02－6x0+1,又切线过原点，∴=3x02－6x0+1即：y0=3x03－6x02+x0 ①
又∵切点A（x0,y0）y=x3-3x2+x的图象上∴y0=x03－3x02+x0 ②
由①②得：x0 =0或x0 =，∴切线方程为：y=x或5x+4y=0
点评：一般地,过三次曲线的对称中心（不难证明三次曲线一定是中心对称图形，且对称中心在曲线上）的切线有且仅有一条；而过三次曲线上除对称中心外的任一点的切线有二条。以下给出简单证明（不要求学生掌握）：由于三次曲线都是中心对称曲线，因此，将其对称中心移至坐标原点便可将三次函数的解析式简化为。若M（x1，y1）是三次曲线上的任一点，设过M的切线与曲线y=f（x）相切于（x0，y0），则切线方程为，因点M上此切线上，故，又，所以，整理得：，解得，或。 当点M是对称中心即=-=0时，过点M作曲线的切线切点是惟一的，且为M，故只有一条切线；当点M不是对称中心即时，过点M作曲线的切线可产生两个不同的切点，故必有两条切线，其中一条就是以M为切点（亦即曲线在点M处）的切线。
[巩固] 曲线上过点的切线方程是 ．
[巩固]，或
（2）“极值点”不是“点”，而是方程的根。是函数极值点则；但是，未必是极值点（还要求函数在左右两侧的单调性相反）；若 （或）恒成立，则函数无极值。
典型错误分析与纠错：
例题:已知函数在R上是减函数，求a的取值范围。
错解：求函数的导数，当时，是减函数，则故，解得
错因分析：是在上单调递减的充分不必要条件，在解题过程中易误作是充要条件，如在R上递减，但。
正解：求函数的导数
（1）当时，是减函数，则故，解得
（2）当时，，易知此时函数也在R上是减函数。
综上的取值范围是
四.典题训练:
1、设为可导函数，且满足，则过曲线上点处的切线斜率为（ ） A、 B、 C、 D、
2.过点P（－1，2）且与曲线y=3x2－4x+2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是______.
3、函数，已知在时取得极值，则等于（ ）
A、 B、 C、 D、
4、已知函数，则函数在区间上的最大值是（ ）
A、 B、 C、 D、
5、若为增函数，则一定有（ ）
A、 B、 C、 D、
6.已知a>0，函数f（x）=x3－ax在［1，+∞）上是单调增函数，则a的最大值是
A.0 B.1 C.2 D.3
7、设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
x
y

x
y

A B
x
y

x
y

C D
8..若函数y=－x3+bx有三个单调区间，则b的取值范围是________.
9、已知对任意实数，有，且时，，则时（ ）
A、 B、
C、 D、
10、已知与是定义在R上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是（ ）
A、0是的极大值，也是的极大值
B、0是的极小值，也是的极小值
C、0是的极大值，但不是的极值
D、0是的极小值，但不是的极值
11、函数的单调增区间是
12、已知直线，则曲线上到直线距离最近的点的坐标是
13.设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间。

14. 已知在处取得极值，
（1）求的值
（2）若对时，恒成立，求了取值范围

15.设函数，其中
（1）当时，求曲线在点处的切线方程
（2）当时，求函数的极大值和极小值
（3）当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立
数列
一、 考试内容与要求
（1）数列的概念和简单表示法
① 了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）．
② 了解数列是自变量为正整数的一类函数．
（2）等差数列、等比数列
① 理解等差数列、等比数列的概念．
② 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式．
③ 能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．
④ 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系．
二、重要知识，技能技巧
1、数列是一种特殊的函数，数列单调性是相邻项比较大小，
2.等差数列的有关概念：
（1）等差数列的判断方法：定义法或。
（2）等差数列的通项：。
（3）等差数列的前和：，。
（4）等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。
提醒：为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；
3.等差数列的性质：
（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.
（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。
（3）当时,则有，
(4) 若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、、 ，…也成等差数列，而成等比数列；若是等比数列，且，则是等差数列.
(5)“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。
4.等比数列的有关概念：
（1）等比数列的判断方法：定义法，其中或
。
（2）等比数列的通项：
（3）等比数列的前和：当时，；当时，。
特别提醒：等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解。
（4）等比中项：若成等比数列，那么A叫做与的等比中项。
提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个。
提醒：为减少运算量，要注意设元的技巧，如3数个数成等比，可设为（公比为）；
5.等比数列的性质：
（1）当时，则有，
6.数列的通项的求法：
⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
⑵已知（即）求，用作差法：。
(3)若求用累加法：
。
(4)已知求，用累乘法：。
(5)已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求。
（2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项。
注意：（1）用求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（，当时，）；
（2）一般地当已知条件中含有与的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解。
7.数列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，
特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：，.
（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.
（3）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）.
（4）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：
①； ②；
③，；
④.
（5）通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。
（6）倒序相加法：到首末等距离的和相等
8. “分期付款”、“森林木材”型应用问题
(1)这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.

三.易错点提示
(1) 忽视通项
如：已知Sk表示{an}的前K项和，Sn—Sn+1=an（n∈N+），则{an}一定是_______。
A、等差数列 B、等比数列 C、常数列 D、以上都不正确
正确答案：D
(2) 忽视性质
如：已知数列-1，a1，a2，-4成等差数列,-1，b1,b2,b3,-4成等比数列，则的值为___________。
A、 B、— C、或— D、
正确答案：A
(3) 忽视公式
如：数列的前n项和为s=n2+2n-1，则 ( )
A 350 B 351 C 337 D 338 （正确答案：A）
四.典题练习
1．已知等差数列{an}的公差为正数，且a3·a7=－12，a4+a6=－4，则S20为（　　）
A．180 B．－180 C．90 D．－90
2．设函数f（x）满足f（n+1）=（n∈N*）且f（1）=2，则f（20）为（　　）
A．95 B．97 C．105 D．192
3．已知数列{an}的通项公式an＝log2，设其前n项和为Sn，则使Sn<－5成立的正整数n
A．有最小值63 B．有最大值63
C．有最小值31 D．有最大值31
4．设数列{an}是公比为a(a≠1)，首项为b的等比数列，Sn是前n项和，对任意的n∈N＋ ，点(Sn ，Sn+1)在
A．直线y＝ax－b上 B．直线y＝bx＋a上
C．直线y＝bx－a上 D．直线y＝ax＋b上

5．已知1是a2与b2的等比中项，又是与的等差中项，则的值是（　　）
A．1或 B．1或－ C．1或
6．在等比数列{an}中，已知n∈N*，且a1+a2+…+an=2n－1，那么a12+a22+…+an2等于（　　）
A．4n－1 B．（4n－1） C．（2n－1）2 D．（2n－1）2
7. 已知，（），则在数列｛｝的前50项中最小项和最大项分别是( )
A. B. C. D.
8. 已知：，若称使乘积为整数的数n为劣数，则在区间（1，2002）内所有的劣数的和为 （ ）
A．2026 B．2046 C．1024 D．1022

9．若{an}是递增数列，对于任意自然数n，an=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是_______．
10．设是公比为的等比数列，其前项积为，并满足条件，给出下列结论：
（1）；（2）；（3）；（4）使成立的最小自然数

等于，其中正确的编号为

11．（江苏10）将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
。 。 。 。 。
按照以上排列的规律，第n行（）从左向右的第3个数为
12．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若=，则=_________．

13（本小题满分12分）甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第一分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m．
（1）甲、乙开始运动后，几分钟相遇．
（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？

14．（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn－1=0（n≥2），a1=．
（1）求证：{}是等差数列；
（2）求an表达式；
（3）若bn=2（1－n）an（n≥2），求证：b22+b32+…+bn2<1．

15. 数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足：an+2－2an+1＋an＝0（n∈N*），
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设，是否存在最大的整数m，使得任意的n均有总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由

不等式
二、 考试内容与要求
（1）不等关系
了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式的实际背景
（2）一元二次不等式
①会从实际情境抽象出一元二次不等式模型
②通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系
③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图。
（3）二元一次不等式组与简单线性规划问题
①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组
②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组
③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。
（4）基本不等式
①了解基本不等式的证明过程
②会用基本不等式解决简单的最大小问题
二、重要知识及技能技巧
1、不等式的性质：
（1）同向不等式可以相加；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，
（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：
2. 不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；(8)图象法。其中比较法（作差、作商）是