圆锥曲线.pptx

,第三讲,圆锥曲线的综合问题,【,必备知识,】,1.,定点、定值、存在性问题的解读,(1),定点问题,:,在解析几何中,有些含有参数的直线或曲线的方程,不论参数如何变化,其都过某定点,这类问题称为定点问题,.,(2),定值问题,:,在解析几何中,有些几何量,如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关,这类问题统称为定值问题,.,(3),存在性问题的解题步骤,:,先假设存在,引入参变量,根据题目条件列出关于参变量的方程,(,组,),或不等式,(,组,).,解此方程,(,组,),或不等式,(,组,),若有解则存在,若无解则不存在,.,2.,几个重要结论,(1),直线与圆锥曲线相交的问题,牢记,“,联立方程,根与,系数的关系,定范围,运算推理,”,.,(2),有关弦长问题,牢记弦长公式,|AB|=,|x,1,-x,2,|=,|y,1,-y,2,|,及根与系数的关系,;,有关焦点弦长问题,注,意运用焦点三角形,以简化运算,.,(3),涉及弦中点的问题,牢记,“,点差法,”,是联系中点坐标和弦所在直线的斜率的好方法,.,(4),求参数范围的问题,牢记,“,先找不等式,有时需要找出两个量之间的关系,然后消去另一个量,保留要求的量,”,.,不等式的来源可以是,0,或圆锥曲线的有界性或题目条件中的某个量的范围等,.,【,真题体验,】,1.(2017,全国卷,),设,O,为坐标原点,动点,M,在椭圆,C:,+y,2,=1,上,过点,M,作,x,轴的垂线,垂足为,N,点,P,满足,.,(1),求点,P,的轨迹方程,.,(2),设点,Q,在直线,x=-3,上,且,=1.,证明,:,过点,P,且垂直于,OQ,的直线,l,过,C,的左焦点,F.,【,解析,】,(1),设,P(x,y),M(x,y),N(x,0),已知,即,(x-x,y)=(0,y),所以,所以 因为,M,在椭圆上,所以代入椭圆方程得,x,2,+y,2,=2,所以点,P,的轨迹方程为,x,2,+y,2,=2.,(2),设,P(x,1,y,1,),Q(-3,y,2,),椭圆的左焦点为,F(-1,0),=(x,1,y,1,),=(-3-x,1,y,2,-y,1,),=x,1,(-3-x,1,)+y,1,(y,2,-y,1,)=1,即,=1,即,-3x,1,+y,1,y,2,=3,故,l,OQ,:y=-,x.,所以过,P,与直线,OQ,垂直的直线,l,为,:y-y,1,=,(x-x,1,),当,x=-1,时,y=y,1,+(-1-x,1,)=,y,1,+,将代入得,y=0,所以过,P,且垂直于,OQ,的直线,l,过,C,的左焦点,F.,2.(2016,全国卷,),设圆,x,2,+y,2,+2x-15=0,的圆心为,A,直线,l,过点,B(1,0),且与,x,轴不重合,l,交圆,A,于,C,D,两点,过,B,作,AC,的平行线交,AD,于点,E.,(1),证明,|EA|+|EB|,为定值,并写出点,E,的轨迹方程,.,(2),设点,E,的轨迹为曲线,C,1,直线,l,交,C,1,于,M,N,两点,过,B,且与,l,垂直的直线与圆,A,交于,P,Q,两点,求四边形,MPNQ,面积的取值范围,.,【,解析,】,(1),圆,A,整理为,(x+1),2,+y,2,=16,点,A,坐标为,(-1,0),如图,因为,BEAC,则,ACB=EBD,由,|AC|=|AD|,则,ADC=ACD,所以,EBD=EDB,则,|EB|=|ED|,所以,|AE|+|EB|=|AE|+|ED|=|AD|=4.,所以,E,的轨迹为一个椭圆,方程为,=1(y0),(2)C,1,:=1;,设,l,:x=my+1,因为,PQ,l,设,PQ:y=-m(x-1),联立,l,与椭圆,C,1,得,(3m,2,+4)y,2,+6my-9=0;,则,|MN|=|y,M,-y,N,|,=;,圆心,A,到,PQ,距离,d=,所以,|PQ|=,所以,S,四边形,MPNQ,=|MN|,|PQ|=,12,8 ).,3.(2015,全国卷,),在直角坐标系,xOy,中,曲线,C:,y=,与直线,y=kx+a(a0),交于,M,N,两点,.,(1),当,k=0,时,分别求,C,在点,M,和,N,处的切线方程,.,(2)y,轴上是否存在点,P,使得当,k,变动时,总有,OPM=OPN?,说明理由,.,【,解析,】,(1),由题设可得,M(2 ,a),N(-2 ,a),或,M(-2 ,a),N(2 ,a).,又,y=,故,y=,在,x=2,处的导数值为,曲线,C,在点,(2 ,a),处的切线方程为,y-a=(x-,2 ),即,x-y-a=0.,y=,在,x=-2,处的导数值为,-,曲线,C,在点,(-2 ,a),处的切线方程为,y-a=-(x+2 ),即,x+y+a=0.,(2),存在符合题意的点,P,证明如下,:,设,P(0,b),为符合题意的点,M(x,1,y,1,),N(x,2,y,2,),直线,PM,PN,的斜率分别为,k,1,k,2,.,将,y=kx+a,代入,C,的方程得,x,2,-4kx-4a=0.,故,x,1,+x,2,=4k,x,1,x,2,=-4a.,从而,k,1,+k,2,=.,当,b=-a,时,有,k,1,+k,2,=0,则直线,PM,的倾斜角与直线,PN,的倾斜角互补,故,OPM=OPN,所以点,P(0,-a),符合题意,.,【,大数据易错点,】,排序,1:,对概念理解不准确致误,:,直线与双曲线、抛物线相交于一点时,不一定相切,反之,直线与双曲线、抛物线相切时,只有一个交点,;,排序,2:,忽略直线斜率不存在的情况致误,:,过定点的直线,若需设直线方程,应分直线的斜率存在与不存在两种情况求解,;,排序,3:,忽略截距与线段的长度致误,:,在表示某一直线与两坐标轴所围成直角三角形的面积时,注意截距与线段长度的区别,.,热点考向一圆锥曲线中的定点问题,命题解读,:,主要考查直线、曲线过定点或两条直线的交点在定曲线上,以解答题为主,.,【,典例,1】,(2017,全国卷,),已知椭圆,C:,=1,(ab0),四点,P,1,(1,1),P,2,(0,1),P,3,P,4,中恰有三点在椭圆,C,上,.,世纪金榜导学号,36574101,(1),求,C,的方程,.,(2),设直线,l,不经过,P,2,点且与,C,相交于,A,B,两点,.,若直线,P,2,A,与直线,P,2,B,的斜率的和为,-1,证明,:,l,过定点,.,【,解题导引,】,(1),求,C,的方程只需求出,a,2,b,2,即可,可先判断哪,3,个点在曲线,C,上,然后求解,.,(2),可先考虑直线,l,斜率不存在的情况,再设直线,l,的方程为,y=kx+n,依据题设条件,求出,n,与,k,的关系,进而得出直线,l,所过的定点,.,【,规范解答,】,(1),根据椭圆对称性,必过,P,3,P,4,又,P,4,横坐标为,1,椭圆必不过,P,1,所以过,P,2,P,3,P,4,三点,将,P,2,(0,1),P,3,代入椭圆方程得,解得,a,2,=4,b,2,=1.,所以椭圆,C,的方程为,:+y,2,=1.,(2),当斜率不存在时,设,l,:x=m,A(m,y,A,),B(m,-y,A,),=-1,得,m=2,此时,l,过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足,.,当斜率存在时,设,l,:y=kx+n(n1),A(x,1,y,1,),B(x,2,y,2,),联立 整理得,(1+4k,2,)x,2,+8knx+4n,2,-4=0,x,1,+x,2,=,x,1,x,2,=,则,=,=-1,又,n1,n=-2k-1,此时,=-64k,存在,k,使得,0,成立,所以直线,l,的方程为,y=kx-2k-1,当,x=2,时,y=-1,所以,l,过定点,(2,-1).,【,规律方法,】,直线过定点问题的两大类型及解法,(1),动直线,l,过定点问题,解法,:,设动直线方程,(,斜率存在,),为,y=kx+t,由题设条件将,t,用,k,表示为,t=mk,得,y=k(x+m),故动直线过定点,(-m,0).,(2),动曲线,C,过定点问题,解法,:,引入参变量建立曲线,C,的方程,再根据其对参变量恒成立,令其系数等于零,得出定点,.,【,变式,1+1】,1.(2017,台州二模,),已知动圆过定点,A(4,0),且在,y,轴上截得弦,MN,的长为,8.,世纪金榜导学号,36574102,(1),求动圆圆心的轨迹,C,的方程,.,(2),已知点,B(-1,0),设不垂直于,x,轴的直线,l,与轨迹,C,交于不同的两点,P,Q,若,x,轴是,PBQ,的平分线,证明直线,l,过定点,.,【,解析,】,(1),如图,设动圆圆心,O,1,(x,y),由题意,|O,1,A|=|O,1,M|,当,O,1,不在,y,轴上时,过,O,1,作,O,1,HMN,交,MN,于,H,则,H,是,MN,的中点,所以,|O,1,M|=.,又,|O,1,A|=,所以,=,化简得,y,2,=8x(x0).,又当,O,1,在,y,轴上时,O,1,与,O,重合,点,O,1,的坐标,(0,0),也满足,方程,y,2,=8x,所以动圆圆心的轨迹,C,的方程为,y,2,=8x.,(2),由题意,设直线,l,的方程为,y=kx+b(k0),P(x,1,y,1,),Q(x,2,y,2,),将,y=kx+b,代入,y,2,=8x,中,得,k,2,x,2,+(2bk-8)x+b,2,=0.,其中,=-32kb+640.,由根与系数的关系得,x,1,+x,2,=,x,1,x,2,=,因为,x,轴是,PBQ,的平分线,所以,即,y,1,(x,2,+1)+y,2,(x,1,+1)=0,(kx,1,+b)(x,2,+1)+(kx,2,+b)(x,1,+1)=0,2kx,1,x,2,+(b+k)(x,1,+x,2,)+2b=0,将代入得,2kb,2,+(k+b)(8-2bk)+2k,2,b=0,所以,k=-b,此时,0,所以直线,l,的方程为,y=k(x-1),即直线,l,过定点,(1,0).,2.(,新题预测,),已知抛物线,:x,2,=2py(p0),焦点为,F,点,P,在抛物线,上,且,P,到,F,的距离比,P,到直线,y=-2,的距离小,1.,(1),求抛物线,的方程,.,(2),若点,N,为直线,l,:y=-5,上的任意一点,过点,N,作抛物线,的切线,NA,与,NB,切点分别为,A,B,求证,:,直线,AB,恒过某一定点,.,【,解析,】,(1),抛物线的准线方程为,y=-,设,P(x,y),则,|PF|=y+,P,到直线,y=-2,的距离为,y+2,所以,y+1=y+2,所以,p=2.,所以抛物线,的方程是,x,2,=4y.,(2),抛物线方程化为,y=f(x)=,f(x)=.,设,N(a,-5),A ,则,f(x,0,)=,即,=,解得,x,0,=a .,不妨设,A ,B .,所以直线,AB,的方程是,.,整理得,y=x+5.,所以直线,AB,恒过点,(0,5).,【,加练备选,】,已知椭圆,E:,=1(ab0),经过点,(2,2),且离心率为,F,1,F,2,是椭圆,E,的左,右焦,点,.,(1),求椭圆,E,的方程,.,(2),若点,A,B,是椭圆,E,上关于,y,轴对称的两点,(A,B,不是长轴的端点,),点,P,是椭圆,E,上异于,A,B,的一点,且直线,PA,PB,分别交,y,轴于点,M,N,求证,:,直线,MF,1,与直线,NF,2,的交点,G,在定圆上,.,【,解析,】,(1),由条件得,a=4,b=c=2 ,所以椭圆,E,的方程,为,=1.,(2),设,B(x,0,y,0,),P(x,1,y,1,),则,A(-x,0,y,0,),直线,PA,的方程为,y-y,1,=(x-x,1,),令,x=0,得,y=,故,M ,同理可得,N ,所以,=,=-8+,=-8+=-8+8=0.,所以,F,1,MF,2,N,所以直线,F,1,M,与直线,F,2,N,的交点,G,在以,F,1,F,2,为直径的圆上,.,热点考向二圆锥曲线中的定值问题,命题解读,:,以直线与圆锥曲线的位置关系为背景,考查转化与化归思想,以及对定值问题的处理能力,常涉及代数式、面积等定值问题,以解答题为主,.,【,典例,2】,(2015,全国卷,),已知椭圆,C:,9x,2,+y,2,=m,2,(m0),直线,l,不过原点,O,且不平行于坐标轴,l,与,C,有两个交点,A,B,线段,AB,的中点为,M.,世纪金榜导学号,36574103,(1),证明,:,直线,OM,的斜率与,l,的斜率的乘积为定值,.,(2),若,l,过点,延长线段,OM,与,C,交于点,P,四边形,OAPB,能否为平行四边形,?,若能,求此时,l,的斜率,若不能,说明,理由,.,【,解题导引,】,(1),设直线,y=kx+b(k0,b0),与椭圆,C:9x,2,+y,2,=m,2,(m0),联立,结合根与系数的关系及中点坐标公式证明,.(2),由四边形,OAPB,为平行四边形当且仅当线段,AB,与线段,OP,互相平分求解证明,.,【,规范解答,】,(1),设直线,l,:,y=kx+b(k0,b0),A(x,1,y,1,),B(x,2,y,2,),M(x,M,y,M,).,将,y=kx+b,代入,9x,2,+y,2,=m,2,得,(k,2,+9)x,2,+2kbx+b,2,-m,2,=0,故,x,M,=,y,M,=kx,M,+b=.,于是直线,OM,的斜率,k,OM,=,即,k,OM,k=-9,所以,直线,OM,的斜率与,l,的斜率的积是定值,.,(2),四边形,OAPB,能为平行四边形,.,因为直线,l,过点,所以,l,不过原点且与,C,有两个交点,的充要条件是,k0,k3.,由,(1),得,OM,的方程为,y=-x.,设点,P,的横坐标为,x,P,.,由 得,即,x,P,=.,将点 的坐标代入,l,的方程得,b=,因此,x,M,=,四边形,OAPB,为平行四边形,当且仅当线段,AB,与线段,OP,互,相平分,即,x,P,=2x,M,.,于是,=2 ,解得,k,1,=4-,k,2,=4+.,因为,k,i,0,k,i,3,i=1,2,所以当,l,的斜率为,4-,或,4+,时,四边形,OAPB,为平行四边形,.,【,规律方法,】,求解定值问题的两大途径,(1),首先由特例得出一个值,(,此值一般就是定值,),然后证明定值,即将问题转化为证明待证式与参数,(,某些变量,),无关,.,(2),先将式子用动点坐标或动线中的参数表示,再利用其满足的条件得出参数之间满足的关系式,使正负项抵消或分子、分母约分得定值,.,【,变式,1+1】,1.(2015,全国卷,),已知椭圆,C:,=1(ab0),的,离心率为,点,(2,),在,C,上,.,(1),求,C,的方程,.,(2),直线,l,不过原点,O,且不平行于坐标轴,l,与,C,有两个交点,A,B,线段,AB,的中点为,M.,证明,:,直线,OM,的斜率与直线,l,的斜率的乘积为定值,.,【,解析,】,(1),由题意得,=1,解得,a,2,=8,b,2,=4.,所以,C,的方程为,=1.,(2),设直线,l,:,y=kx+b(k0,b0),A(x,1,y,1,),B(x,2,y,2,),M(x,M,y,M,).,将,y=kx+b,代入,=1,得,(2k,2,+1)x,2,+4kbx+2b,2,-8=0.,故,x,M,=,y,M,=k,x,M,+b=.,于是直线,OM,的斜率,k,OM,=,即,k,OM,k=-.,所以直线,OM,的斜率与直线,l,的斜率的乘积为定值,.,2.(,新题预测,),已知椭圆,C:,=1(ab0),的焦距为,2,点,在,C,上,.,(1),求,C,的方程,.,(2),过原点且不与坐标轴重合的直线,l,与,C,有两个交点,A,B,点,A,在,x,轴上的射影为,M,线段,AM,的中点为,N,直线,BN,交,C,于点,P,证明,:,直线,AB,的斜率与直线,AP,的斜率乘积为定值,.,【,解析,】,(1),由题意知,C,的焦点坐标为,(1,0),2a=4,b=.,所以,椭圆,C,的方程为,=1.,(2),设,A(x,1,y,1,),P(x,2,y,2,)(x,1,x,2,),则,B(-x,1,-y,1,),N ,由点,A,P,在椭圆,C,上得,两式相减得,.k,BN,=,k,BP,=.,因为,B,N,P,三点共线,所以,k,BN,=k,BP,即,.,所以,k,AB,k,AP,=,=-1.,【,加练备选,】,1.,已知抛物线,E:y,2,=2px(p0),直线,x=my+3,与,E,交于,A,B,两点,且,=6,其中,O,为坐标原点,.,(1),求抛物线,E,的方程,.,(2),已知点,C,的坐标为,(-3,0),记直线,CA,CB,的斜率分别,为,k,1,k,2,证明,:,-2m,2,为定值,.,【,解析,】,(1),设,A(x,1,y,1,),B(x,2,y,2,),整理得,:y,2,-2pmy-6p=0,由根与系数的关系可知,:y,1,+y,2,=2pm,y,1,y,2,=-6p,则,x,1,x,2,=,由,=x,1,x,2,+y,1,y,2,=+y,1,y,2,=9-6p=6,解,得,p=,所以,y,2,=x.,(2),由题意得,k,1,=,k,2,=,所以,所以,-2m,2,=,-2m,2,=2m,2,+12m +36 -2m,2,=2m,2,+12m +36 -2m,2,由,(1),可知,:y,1,+y,2,=2pm=m,y,1,y,2,=-6p=-3,所以,-2m,2,=2m,2,+12m +36 -2m,2,=24,所以,-2m,2,为定值,.,2.,已知椭圆,C:,=1(ab0),的左、右焦点分别为,F,1,F,2,点,B(0,),为短轴的一个端点,OF,2,B=60.,(1),求椭圆,C,的方程,.,(2),如图,过右焦点,F,2,且斜率为,k(k0),的直线,l,与椭圆,C,相交于,D,E,两点,A,为椭圆的右顶点,直线,AE,AD,分别交直线,x=3,于点,M,N,线段,MN,的中点为,P,记直线,PF,2,的斜率为,k.,试问,k,k,是否为定值,?,若为定值,求出该定值,;,若不为定值,请说明理由,.,【,解析,】,(1),由条件可知,a=2,b=,故所求椭圆方程为,=1.,(2),过点,F,2,(1,0),的直线,l,方程为,y=k(x-1).,由 可得,:(4k,2,+3)x,2,-8k,2,x+4k,2,-12=0,因为点,F,2,(1,0),在椭圆内,所以直线,l,和椭圆都相交,即,0,恒成立,.,设点,E(x,1,y,1,),D(x,2,y,2,),则,x,1,+x,2,=,x,1,x,2,=.,因为直线,AE,的方程为,:y=(x-2),直线,AD,的方程,为,:y=(x-2),令,x=3,可得,M ,N ,所以点,P,的坐标,.,直线,PF,2,的斜率为,k=,=,=,=,=-,所以,k,k,为定值,-.,热点考向三圆锥曲线中的存在性问题,【,典例,3】,(2017,丽水二模,),已知圆,C:(x-1),2,+y,2,=,一动圆与直线,x=-,相切且与圆,C,外切,.,世纪金榜导,学号,36574104,(1),求动圆圆心,P,的轨迹,T,的方程,.,(2),若经过定点,Q(6,0),的直线,l,与曲线,T,交于,A,B,两点,M,是线段,AB,的中点,过,M,作,x,轴的平行线与曲线,T,相交于点,N,试问是否存在直线,l,使得,NANB,若存在,求出直线,l,的方程,;,若不存在,请说明理由,.,【,题目拆解,】,高考大题综合性较强,求解时,把这类复杂问题拆解成若干个小问题来解决,可化难为易,得步骤分,.,学会了快速拆解题目,就能在解大题时得高分、得满分,.,解答本题,(2),可拆分成以下几个小题,:,当直线,l,的斜率不存在时,是否符合题意,;,当直线,l,的斜率存在时,求,A,B,两点的横坐标之积,;,设,N(x,0,y,0,),若,=0,试求直线,l,的方程,.,【,规范解答,】,(1),设,P(x,y),分析可知,:,动圆的圆心不能,在,y,轴的左侧,故,x0,因为动圆与直线,x=-,相切,且与圆,C,外切,所以,|PC|-,所以,|PC|=x+1,所以,=x+1,化简可得,y,2,=4x.,(2),设,A(x,1,y,1,)B(x,2,y,2,),由题意可知,当直线,l,与,y,轴垂直时,显然不符合题意,故可设直线,l,的方程为,x=my+6,联立,x=my+6,和,y,2,=4x,并消去,x,可得,y,2,-4my-24=0,显然,=16m,2,+960,由根与系数的关系可知 ,又因为,x,1,+x,2,=(my,1,+6)+(my,2,+6),所以,x,1,+x,2,=4m,2,+12,因为,x,1,x,2,=,所以,x,1,x,2,=36,假设存在,N(x,0,y,0,),使得,=0,由题意可知,y,0,=,所以,y,0,=2m,由,N,点在抛物线上可知,x,0,=,即,x,0,=m,2,又,=(x,1,-x,0,y,1,-y,0,),=(x,2,-x,0,y,2,-y,0,),若,=0,则,x,1,x,2,-x,0,(x,1,+x,2,)+y,1,y,2,-,y,0,(y,1,+y,2,)+=0,由代入上式化简可得,:3m,4,+16m,2,-12=0,即,(m,2,+6)(3m,2,-2)=0,所以,m,2,=,故,m=,所以存在直线,3x+y-18=0,或,3x-y-18=0,使得,NANB.,【,易错警示,】,解答本题易出现以下两种错误,:,一是不能发现动圆的圆心不能在,y,轴的左侧,造成思路受阻,;,二是没有考虑直线与,y,轴垂直这种情况造成失分,.,【,规律方法,】,存在性问题求解的思路及策略,(1),思路,:,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确,则存在,;,若结论不正确,则不存在,.,(2),策略,:,当条件和结论不唯一时要分类讨论,;,当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件,.,【,变式,1+1】,1.(2017,衢州一模,),已知动圆,C,与圆,x,2,+y,2,+2x=0,外切,与圆,x,2,+y,2,-2x-24=0,内切,.,(1),试求动圆圆心,C,的轨迹方程,.,(2),过定点,P(0,2),且斜率为,k(k0),的直线,l,与,(1),中轨迹交于不同的两点,M,N,试判断在,x,轴上是否存在点,A(m,0),使得以,AM,AN,为邻边的平行四边形为菱形,?,若存在,求出实数,m,的范围,;,若不存在,请说明理由,.,【,解析,】,(1),由,x,2,+y,2,+2x=0,得,(x+1),2,+y,2,=1,由,x,2,+y,2,-2x-,24=0,得,(x-1),2,+y,2,=25,设动圆,C,的半径为,R,两圆的圆心分,别为,F,1,(-1,0),F,2,(1,0),则,|CF,1,|=R+1,|CF,2,|=5-R,所以,|CF,1,|+|CF,2,|=6,根据椭圆的定义可知,点,C,的轨迹为,以,F,1,F,2,为焦点的椭圆,所以,c=1,a=3,所以,b,2,=a,2,-c,2,=9,-1=8,所以动圆圆心,C,的轨迹方程为,=1.,(2),存在,.,直线,l,的方程为,y=kx+2,设,M(x,1,y,1,),N(x,2,y,2,),MN,的中点为,E(x,0,y,0,).,假设存在点,A(m,0),使得以,AM,AN,为邻边的平行四边形为菱形,则,AEMN,由 得,(8+9k,2,)x,2,+36kx-36=0,x,1,+x,2,=-,所以,x,0,=,y,0,=kx,0,+2=,因为,AEMN,所以,k,AE,=-,即,所以,m=,当,k0,时,9k+2 =12 ,所以,-m0;,当,k0,时,9k+-12 ,所以,0m .,因此,存在点,A(m,0),使得以,AM,AN,为邻边的平行四边形,为菱形,且实数,m,的取值范围为 ,.,【,规律方法,】,存在性问题求解的思路及策略,(1),思路,:,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确,则存在,;,若结论不正确,则不存在,.,(2),策略,:,当条件和结论不唯一时要分类讨论,;,当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件,.,2.(,新题预测,),已知椭圆,C:,=1(0bb0),的焦点分别为,F,1,(-,0),F,2,(,0),点,P,在椭圆,C,上,满足,|PF,1,|=7|PF,2,|,tanF,1,PF,2,=4,.,(1),求椭圆,C,的方程,.,(2),已知点,A(1,0),试探究是否存在直线,l,:y=kx+m,与椭圆,C,交于,D,E,两点,且使得,|AD|=|AE|?,若存在,求出,k,的取值范围,;,若不存在,请说明理由,.,【,解析,】,(1),由,|PF,1,|=7|PF,2,|,|PF,1,|+|PF,2,|=2a,得,|PF,1,|=,|PF,2,|=,由余弦定理得,cosF,1,PF,2,=,所以,a=2,所以所求,C,的方程为,+y,2,=1.(2),假设存在直线,l,满足题设,设,D(x,1,y,1,),E(x,2,y,2,),将,y=kx+m,代入,+y,2,=1,并整理得,(1+4k,2,)x,2,+8kmx+4m,2,-,4=0,由,=64k,2,m,2,-4(1+4k,2,)(4m,2,-4)=-16(m,2,-4k,2,-1)0,得,4k,2,+1m,2,又,x,1,+x,2,=-,设,D,E,中点为,M(x,0,y,0,),则,M ,k,AM,k=-1,得,m=-,将代入得,4k,2,+1 ,化简得,20k,4,+k,2,-10,(4k,2,+1)(5k,2,-1)0,解得,k,或,kb0),的左、,右焦点分别为,F,1,F,2,上顶点为,P,右顶点为,Q,以,F,1,F,2,为,直径的圆,O,过点,P,直线,PQ,与圆,O,相交得到的弦长为,.,(1),求椭圆,C,的方程,.,(2),若直线,l,与椭圆,C,相交于,M,N,两点,l,与,x,轴,y,轴分别相交于,A,B,两点,满足,:,记,MN,的中点为,E,且,A,B,两点到直线,OE,的距离相等,;,记,OMN,OAB,的面积分别为,S,1,S,2,若,S,1,=S,2,.,当,S,1,取得最大值时,求,的值,.,【,解题导引,】,(1),由以,F,1,F,2,为直径的圆,O,过点,P,知,b=c,结合弦长,从而求出,b=1,a=,由此能求出椭圆,C,的方程,.,(2),设直线的方程为,y=kx+m(km0),与,(1),中椭圆方程联立,利用根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式、弦长公式,结合已知条件求出,的值,.,【,解析,】,(1),因为以,F,1,F,2,为直径的圆,O,过点,P,所以,b=c,则,圆,O,的方程为,x,2,+y,2,=b,2,直线,PQ,的方程为,y=-x+b=-x+b,则,解得,b=1,所以,a=,所以椭圆,C,的方程为,+y,2,=1.,(2),由题意,设直线,l,的方程为,y=kx+m(km0),M(x,1,y,1,),N(x,2,y,2,),则,A ,B(0,m).,由方程组,得,(1+2k,2,)x,2,+4kmx+2m,2,-2=0,(*),=16k,2,-8m,2,+80,所以,m,2,2k,2,+1,由根与系数的关系得,x,1,+x,2,=,x,1,x,2,=,因为,A,B,两点到直线,OE,的距离相等,所以线段,MN,的中点与线段,AB,的中点重合,所以,x,1,+x,2,=,解得,k=.,于是,S,1,=|MN|d=,=|x,1,-x,2,|=|x,1,-x,2,|,|m|,=,=.,由,m,2,2k,2,+1,及,k=,解得,m,2,2.,所以,当,m,2,=1,时,S,1,有,最大值,此时,S,2,=|m|,2,=,故,=1.,