2014届上海市十二校高三12月联考理科数学试卷及答案.doc

2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷
一、填空题 （本大题满分56分，每题4分）
1．已知全集U，A，B，那么 __．
2．函数的定义域为 ．
3．若数列满足：，则前6项的和 .（用数字作答）
4. 计算：________．
5．集合，，若，则实数的取值范围是 ．
6. 设…，则…＝ ．
7. 已知函数有反函数，且则 ．
8. 已知袋中有大小相同的红球和白球若干个，其中红、白球个数的比为．假设从袋中任取个球，取到的都是红球的概率为．那么袋中的红球有 __个．
9. 已知函数，，则满足不等式的实数的取值范围是 ．
10. 已知是这7个数据的中位数，且这四个数据的平均数为1，则的最小值为 ．
11．设>0，若函数 = sin cos 在区间[－，]上单调递增，则的范围是_____________．
12. 设正项数列的前n项和是,若和都是等差数列,且公差相等,则=_______________.
13．函数的图像与直线及轴所围成图形的面积称为函数在上的面积，已知函数在上的面积为，则函数在上的面积为 ．
14．（理）函数的定义域为，若且时总有，则称为单函数，例如，函数是单函数．下列命题：
①函数是单函数；
②指数函数是单函数；
③若为单函数，且，则；
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数；
⑤若为单函数，则函数在定义域上具有单调性。
其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)
二、选择题（本大题满分20分，每题5分）
15. 命题;命题关于的方程有实数解,则是的 ( ).
(A) 必要不充分条件 (B) 充分不必要条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
16．下列函数中，最小正周期为的偶函数为（ ）
(A) (B)
(C) (D)
17. 定义函数（定义域），若存在常数C，对于任意,存在唯一的，使得,则称函数在D上的“均值”为C。已知函数，则函数在上的均值为 （ ）
(A) (B) (C) 10 (D)
18．某同学为了研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为的正方形和，点是边上的一个动点，设，则．那么可推知方程解的个数是………………………………………………………（ ）
（A）. （B）. （C）. （D）.

三、简答题 (本大题满分74分)
19．(本题满分12分) 本题共有2个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分8分.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°, AB=BC=1.
(1)求异面直线B1C1与AC所成角的大小；
(2)若该直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为，求点A到 平面A1BC的距离．

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第一小题满分7分，第二小题满分7分）．
已知以角为钝角的的三角形内角的对边分别为、、，，且与垂直。
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第一小题满分7分，第二小题满分7分）．
某企业生产某种商品吨，此时所需生产费用为（）万元，当出售这种商品时，每吨价格为万元，这里（为常数，）
（1）为了使这种商品的生产费用平均每吨最低，那么这种商品的产量应为多少吨？
（2）如果生产出来的商品能全部卖完，当产量是120吨时企业利润最大，此时出售价格是每吨160万元，求的值．

22. (本题满分16分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分，第,3小题满分8分.
已知函数.
（1）当时，判断的奇偶性，并说明理由；
（2）当时，若，求的值；
（3）若，且对任何不等式恒成立，求实数的取值范围。

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．
已知数列具有性质：①为整数；②对于任意的正整数，当为偶数时，
；当为奇数时，.
（1）若为偶数，且成等差数列，求的值；
（2）设(且N)，数列的前项和为，求证：；
（3）若为正整数，求证：当(N)时，都有.

2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试答案
命题人：赵荣 学校：上海市朱家角中学
审题人：蒲红军 周建国 学校：三林中学 南汇一中 2013年12月
一、填空题 （本大题满分56分，每题4分）
1、 2、 3、63 4、0 5、 6、 7、1 8、8
9、（0，） 10、 11、(0，] 12、 13、 14、②③④

二、选择题（本大题满分20分，每题5分）
15、B 16、A 17、D 18、 C

三、简答题 (本大题满分74分)
19．(本题满分12分) 本题共有2个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分8分.
解：（1）∵BC∥B1C1，
∴∠ACB为异面直线B1C1与AC所成角（或它的补角），（2分）
∵∠ABC=90°，AB=BC=1，
∴∠ACB=45°，
∴异面直线B1C1与AC所成角为45°。（4分）
（2）∵S△ABC=，三棱柱ABC- A1B1C1的体积V=S△ABC×AA1=
∴AA1=，A1B=（2分）
∵CB⊥平面ABB1A1，∴∠A1BC=90°，S△A1BC=
设点A到平面A1BC的距离为h，（4分）
三棱锥A1-ABC的体积V=×S△ABC×AA1=三棱锥A-A1BC的体积V=×S△A1BC×h（6分）
∴h=（8分）

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第一小题满分7分，第二小题满分7分）．
解：（1）∵垂直，∴（2分）
由正弦定理得（4分）
∵，∴，（6分） 又∵∠B是钝角，∴∠B （7分）
（2） （3分）
由（1）知A∈（0，），, （4分）
，（6分） ∴的取值范围是 （7分）

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第一小题满分7分，第二小题满分7分）．
解：（1）设生产平均费用为y元，（1分）
由题意可知y=;（5分）
当且仅当时等号成立，（6分）
所以这种商品的产量应为100吨。（7分）
（2）设企业的利润为S元，有题意可知（7分）

= （3分）
又由题意可知120 （5分）
（6分）
（7分）
22. (本题满分16分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分，第,3小题满分6分.
解：（1）当时，既不是奇函数也不是偶函数（2分）

所以既不是奇函数，也不是偶函数 （4分）
（2）当时，，
由得 （1分）
即 （3分）
解得 （5分）
所以或 （6分）
（3）当时，取任意实数，不等式恒成立，
故只需考虑，此时原不等式变为 （1分）
即
故
又函数在上单调递增，所以；（2分）
对于函数
①当时，在上单调递减，，又，
所以，此时的取值范围是（3分）
②当，在上，，
当时，，此时要使存在，
必须有，此时的取值范围是（4分）
综上，当时，的取值范围是
当时，的取值范围是；
当时，的取值范围是 （6分）
23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
解：（1）∵为偶数，∴可设，故，
若为偶数，则，由成等差数列，可知，
即，解得，故； （2分）
若为奇数，则，由成等差数列，可知，
即，解得，故；
∴的值为0或2． （4分）
（2）∵是奇数，∴，
，，依此类推，
可知成等比数列，且有，
又，，，…
∴当时，；当时，都有． （3分）
故对于给定的，的最大值为

，所以． （6分）
（3）当为正整数时，必为非负整数．证明如下：
当时，由已知为正整数， 可知为非负整数，故结论成立；
假设当时，为非负整数，若，则；若为正偶数，
则必为正整数；若为正奇数，则必为非负整数．
故总有为非负整数．　　　　　　（3分）
当为奇数时， ；当为偶数时，．
故总有，所以，
当时，，即．（ 6分）
又必为非负整数，故必有．　　　　（8分）
【另法提示：先证“若为整数，且，则也为整数，且”，然后由是正整数，可知存在正整数，使得，由此推得，，及其以后的项均为０，可得当时，都有】
·8·