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第28章 圆
一、选择题:(每小题3分,共30分)
1.若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a,最小距离为b(a＞b),则此圆的半径为( )C
A. B. C. 或 D.a+b或a-b
2.三角形的外心是 ( )B
A.三条中线的交点 B.三条边的垂直平分线的交点
C.三个内角平分线的交点 D.三条高的交点
3.如图(1),已知PA、PB切⊙O于A、B,OP交AB于C,则图中能用字母表示的直角共有 ( )D
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
解:如答图所示,∵PA、PB切⊙O于A、B,∴∠OAP=∠OBP=90°,PA=PB,∠OPA=∠OPB,∴OP⊥AB,垂足为C,∴∠OCA=∠OCB=∠PCA=∠PCB=90°,∴图中能用字母表示的直角共有6个.∠OCB、∠OCA、∠PCA、∠PCB、∠PAO、∠PBO、
4.已知⊙O的半径为10cm,弦AB∥CD,AB=12cm,CD=16cm,则AB和CD的距离为 ( )C
A.2cm B.14cm C.2cm或14cm D.10cm或20cm
解:过O作直线EF⊥AB,垂足为E,交CD于F,连结OA、OC.
∵AB∥CD,∴EF⊥CD,∴AE= AB,CF= CD.
∵AB=12,CD=16,∴AE=6,CF=8.
∵在Rt△OAE中,OA=10,AE=6,
∴OE==8cm ,
∵在Rt△OCF中,OC=10,CF=8,
∴OF=
当弦AB、CD位于圆心O的两侧时,EF=OE+OF=8+6=14(cm);
当弦AB、CD位于圆心O的同侧时,EF=OE-OF=8-6=2(cm),
故应选C.
5.在半径为6cm的圆中,长为2cm的弧所对的圆周角的度数为 ( )A
A.30° B.100 C.120° D.130°
解:如答图所示,设⊙O的半径R=6cm,
∵,∴,
∴n=60(度),即∠AOB=60°, ∴∠APB=30°.
6.如图(2),已知圆心角∠AOB的度数为100°,则圆周角∠ACB的度数是 ( ) D
A.80° B.100° C.120° D.130°
⌒
解:如答图所示,∵∠AOB=100°,∴AB的度数=100°,
⌒
∴AmB的度数=260°∴∠ACB=130°.
7.AB为半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,若CD=3,AB=4,则tan∠BPD等于 ( ) A
A. B. C. D.
解:如答图所示,连结BD,∵∠C=∠A,∠CPD=∠APB,
∴△CPD∽△APB,∴,
∵CD=3,AB=4,∴,∴PD=3k,AB=4k,
∵AB是⊙O的直径,∴∠BDP=90°,
∴BD=,
⌒
⌒
∴ .
8.如图(3),半径OA等于弦AB,过B作⊙O的切线BC,取BC=AB,OC交⊙O于E,AC交⊙O于点D,则BD和DE的度数分别为 ( ) B
A.15°,15° B.30°,15° C.15°,30° D.30°,30°
解:如答图所示,∵OA=AB,OA=OB,∴OA=OB=AB,
∴∠OBA=60°.∵BC 是⊙O的切线,
∴∠OBC=90°,∴∠ABC=∠OBA+OBC=60°+90°=150°.
⌒
⌒
∵BC=AB, ∴∠BAD=∠BCA==15°,
∴BD的度数=30°.
∵∠OBC=90°,BC=OA=OB,∴△OBC 为等腰直角三角形,
∴∠BOE=45°,∴BE的度数=45°,
⌒
⌒
⌒
∴DE的度数=(BE-BD)的度数=45°-30°=15°.
9.如图7，圆内切于四边形ABCD，且AB=16，DC=10，则四边形ABCD的周长为 ( ) B
A 50 B.52 C.54 D.56
解:∵AB+DC=AD+BC,∴四边形ABCD的周长为：2×(AB+DC)=2×(16+10)=52
10.圆锥的母线长5cm,底面半径长3cm,那么它的侧面展开图的圆心角是 ( ) D
A.180° B.200° C.225° D.216°
解:∵圆锥的母线长5cm,底面半径长3cm,圆锥的侧面展开图是扇形,
∴扇形的半径R=5cm,扇形的弧长L=(cm),
∵,∴, ∴n=216°.
二、填空题:(每小题2分,共20分)
11.点A是半径为3的圆外一点,它到圆的最近点的距离为5,则过点A 的切线长为__________.
11.
解:如答图所示,设AP切⊙O于P,连结OP,则OP⊥PA.在Rt△OPA中,
OP=3,OA=OB+AB=3+5=8,∴PA=.
12.如果⊙O的直径为10cm,弦AB=6cm,那么圆心O到弦AB的距离为 cm.
12.4
解:如答图所示,连结OA,过O作OM⊥AB,垂足为M,则AM=AB,
∵AB=6cm,∴AM=3cm.∵⊙O直径为10cm,∴OA=×10=5(cm),
在Rt△OAM中,OM=(cm).
13.过圆上一点引两条互相垂直的弦,如果圆心到两条弦的距离分别是2和3,那么这两条弦长分别是 .
13.6和4
解:如答图所示,∵AB⊥AC,OM⊥AB,ON⊥AC,四边形OMAN是距形,
且AM=AB,AN=AC,∴OM=AN=2,ON=AM=3, 即AB=3, AC=2,
∴AB=6,AC=4.
14.如图(4),⊙O是△ABC的外接圆,AD是BC边上的高,已知BD=8,CD=3,AD=6,则直径AM的长为________.
14.
解:连结BM, ∵AM是直径,∴∠MBA=90°,∵AD⊥BC, ∴∠ADC=90°,∴∠MBA=∠ADC=90°,
又∵∠C=∠M,∴Rt△AMB∽Rt△ACD, ∴∵AD=6,CD= 3,BD=8,∴AB=,AC= ∴,∴AM=
(6)
A
B
O
C
D
15.PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点,若∠AOB=136°,则∠P= .
15.44°
解:如答图所示,∵PA、PB切⊙O于A、B,
∴∠OAP=∠OBP=90°,
∵∠AOB=136°四边形OAPB内角和为360°,
∴∠P=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB
=360°- 90°-90°-136°=44°.
16.⊙O的半径为6,⊙O的一条弦AB长6,以3为半径的同心圆与直线AB的位置关系是__________.
16.相切
解:如答图所示,连结OA,作OM⊥AB,垂足为M,则AM=AB,
∵AB= , ∴AM=3 ,∵OA=6,
∴d=OM= ,
即d=OM=r=3,故以3为半径的同心圆与直径AB相切.
17.两圆相切,圆心距为10cm,已知其中一圆半径为6cm,则另一圆半径为 .
17.4cm或16cm
解:设另一圆的半径为R2cm,∵d=10cm,R1=6cm. ①当两圆相内切时,得=d,∴=10,R 2=16(cm); ②当两圆相外切时,R1+R2=d, ∴6+R2=10,R2=4(cm) .综上所述另一圆的半径为4cm或16cm.
18.两圆半径长分别为R和r(R>r),圆心距为d,若关于x的方程x2-2rx+(R-d)2=0有相等的实数根,则两圆的位置关系是_________.
18.外切或内切
解:∵x2-2rx+(R-d)2=0有相等的实数根,∴△=0,即(-2r) 2-4×1×(R-d)2=0,4r2-4(R-d)2=0,∴r2-(R-d)2=0(r+R-d)(r-R+d)=0,∴r+R-d= 0或r-R+d=0,∴d=R+r或d=R-r,∴两圆相外切或相内切.
19.如图(5),A是半径为2的⊙O外一点,OA=4,AB是⊙O的切线,点B是切点,弦BC ∥OA,连结AC,则图中阴影部分的面积为_________.
19.
解:连结OB、OC. ∵AB切⊙O于B,∴∠OBA=90°.在Rt △OAB中,OA=4,OB=2,
∴OB=OA,∴∠OAB=30°,∵OA∥BC,∴∠OAB+∠ABC=180°, ∴∠ABC=150°,
又∠OBA=90°,∴∠OBC=60°.∵OB=OC,∴△OBC为等边三角形,
又∵OA∥BC,∴△BCO与△BCA面积相等,
即,∴
⌒
20.如图(6),已知扇形AOB的圆心角为60°,半径为6,C、D分别是AB的三等分点, 则阴影部分的面积等于 .
⌒
⌒
20.
解:∵∠AOB=60°,∴AB的度数=60°,
∵C、D分别是AB的三等分点,∴,
∵n=∠AOB=60°,R=OA=6,
∴
三、解答题(每小题10分,共50分)
21.如图所示,已知两同心圆中,大圆的弦AB、AC切小圆于D、E,△ABC 的周长为12cm,求△ADE的周长.
21.6cm
解:连结OD、OE.∵AB、AC切小圆于D、E,
∴OD ⊥AB,OE⊥AC,∴AD=AB,AE=AC,
∴DE是△ABC的中位线,∴DE=BC.
∵△ABC的周长= AB+AC+BC=12cm,
∴△ADE的周长=AD+AE+DE=AB+AC+BC=(AB+AC+BC)=×12=6(cm),
故△ADE的周长为6cm.
22.如图所示,AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点E,过点E作⊙O的切线交AC于点D,试判断△AED的形状,并说明理由.
22.解:连结OE,∵ED切⊙O于E,∴∠OED=90°,
∴∠OEA+∠AED= 90°.∵OA=OE,∴∠OEA=∠OAE.
∵AE平分∠BAC,∴∠OAE=∠EAD,∴∠OEA=∠EAD,
∴∠EAD+∠AED=90°,即∠ADE=90°.故△ADE是直角三角形.
23.如图所示,AB是⊙O的直径.
(1)操作:在⊙O上任取一点C(不与A、B重合),过点C作⊙O的切线;过点A 作过点C的切线的垂线AD,垂足为D,交BC的延长线于点E.
(2)根据上述操作及已知条件,在图中找出一些相等的线段, 并说明你所得到的结论.
23.(1)设C是⊙O上任一点(不与A、B重合),连结OC,过C点作直线CF⊥OC垂足为C,则直线CF即为过C点的圆的切线.
(2)圆中相等的线段有OA=OB,BC=CE,AE=AB.理由:∵同圆的半径相等,∴OA= OB,∵CF是⊙O的切线,∴OC⊥CE,∵AE⊥CD,∴OC∥AE,∵OA=OB,∴CB=CE,∴OC 是△ABC的中位线,∴OC=AE.∵OA=OB=OC,∴OC=AB,∴ AE=AB,∴AE=AB.
24.如图所示,有一座拱桥是圆弧形,它的跨度为60米,拱高18米, 当洪水泛滥到跨度只有30米时,要采取紧急措施,若拱顶离水面只有4米,即PN=4米时是否要采取紧急措施?
A
B
A/
B/
P
N
24.解:设O为所在圆的圆心,其半径为x米作半径OP⊥AB,垂足为M, 交A′B′于N,∵AB==60米,MP=18米,OP⊥AB,
∴AM=AB= 30(米),OM=OP-MP=(x-18)米,
在Rt△OAM中,由勾股定理得OA2=AM2+OM2,
∴x2=302+(x-18)2,∴x=34(米).
连结OA′,当PN=4时,∵PN=4,OP=x,∴ON=34-4=30(米).
设A′N=y米,在Rt△OA′N中,∵OA′=34,A′N=y,ON=30,
∴342=y2+302,∴y=16或y=-16(舍去),
∴A′N=16,∴A′B ′= 16×2=32(米)>30米,
∴不需要采取紧急措施.
25.如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,以AB为直径的圆交BC于D, 求图形阴影部分的面积.
n
A
B
C
D
.B
25.解:连结OD、AD.∵∠BAC=90°,AB=AC=2,∴∠B=∠C=45°,∵∠ADB=90°,∴∠BAD=90°-∠B=90°-45°=45°,∴DB=DA.∵OA=OD=OB, ∴∠ODB=∠B=45°,∴∠BOD=90°,∴∠AOD=90°,∴OD⊥AB,∴,
∵ , ∴
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