新定义与新运算A答案.doc

数 学 奥 林 匹 克 模 拟 试 卷(答案）

第[1]道题答案：
.
5☉3=,
2☉(5☉3)=2☉.
第[2]道题答案：
8.
依题意,6※,因此,所以x=8.

第[3]道题答案：
280.

原式.
第[4]道题答案：
5.
因为有个约数,所以[18]=6,
同样可知[22]=4,[7]=2.
原式.

第[5]道题答案：
9.
因为4※1=,所以x※(4※1)= x※10=3x-20.故3x-20=7,解得x=9.

第[6]道题答案：
0.
,26☆9=8,又,故(26☆9)☆4=8☆4=0.

第[7]道题答案：
6.
因为,所以,故.

第[8]道题答案：
86415.
7※5=7+77+777+7777+77777=86415.

第[9]道题答案：
25.
原式=[3△5]×[5☉7]=5×5=25.

第[10]道题答案：
14.
第1次计算后,;第2次计算后,;第3次计算后,;第4次计算后,.此时.

第[11]道题答案：
(1,2)※(3,6)=(1+3,2+6)=(4,8),(5,4)※(1,3)=(5+1,4+3)=(6,7).
原式=(4,8)△(6,7)=(4×6+8×7,4×7+8×6)=(80,76).

第[12]道题答案：
原式=羊△羊☆羊△狼=羊☆羊△狼=羊△狼=狼.

第[13]道题答案：
(1);
(2);
(3)因为,所以;
(4)令则.
.

第[14]道题答案：
(1)1991☉2000=9;
由5☉19=4,得(5☉19)☉19=4☉19=3;
由19☉5=4,得(19☉5)☉5=4☉5=1.
(2)我们不知道11和x哪个大(注意,x≠11),即哪个作除数,哪个作被除数,这样就要分两种情况讨论.
1) x<11,这时x除11余2, x整除11-2=9.又x≥3(因为x应大于余数2),所以x=3或9.
2) x>11,这时11除x余2,这说明x是11的倍数加2,但x<20,所以x=11+2=13.
因此(2)的解为x=3,9,13.
(3)这个方程比(2)又要复杂一些,但我们可以用同样的方法来解.
用y表示19☉x,不管19作除数还是被除数,19☉x都比19小,所以y应小于19.
方程y☉19=5,说明y除19余5,所以y整除19-5=14,由于y≥6,所以y=7,14.
当y=7时,分两种情况解19☉x=7.
1)x<19,此时x除19余7,x整除19-7=12.由于x≥8,所以x=12.
2) x>19,此时19除x余7, x是19的倍数加7,由于x<50,所以x=19+7=26或=45.
当y=14时,分两种情况解19☉x=14.
1) x<19,这时x除19余14, x整除19-14=5,但x大于14,这是不可能的.
2)x>19,此时19除x余14,这就表明x是19的倍数加14,因为x<50,所以x=19+14=33.
总之,方程(19☉x)☉19=5有四个解,x=12,26,33,45.