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自编自控教材习题解答
第一章
1-2 图1-17 是液位自动控制系统原理示意图。图中SM为执行电动机。试分析系统的工作原理，指出该系统参考输入、干扰量、被控对象、被控量、控制器，并画出系统的方框图。

图1-17 习题1-2 液位自动控制系统
【解】
系统参考输入：预期液位；被控对象：水箱；被控量： 水箱液位；控制器：电动机减速器和控制阀门；干扰量：用水流量Q2。系统的方块图如下
水箱
实际液位
电位器
浮子和连杆
预期液位
控制阀门
用水开关
电动机和
减速器

注意：控制系统的工作过程是在原物理系统中提炼出的控制流程，与原系统的物理组成不是完全对应的。
1-3 在过去，控制系统常常以人作为闭环控制系统的一部分，图1-18是人在回路中的水位控制示意图，试画出该控制系统的方框图。

图1-18 习题1-3 阀门控制系统
【解】
略
1-4图1-19是仓库大门自动控制系统原理图。试说明系统自动控制大门开闭的工作原理，并画出系统的方块图。

图1-19 习题1-4 仓库大门自动系统
【解】
门
实际
门状态
电位器组
给定
门状态
绞盘
放大器
伺服电机

1-5 图1-20为水温控制系统示意图。冷水在热交换器中由通入的蒸汽加热，从而得到一定温度的热水。冷水流量变化用流量计测量。试绘制系统方块图，并说明为了保持热水温度为期望值，系统是如何工作的？指出该系统的参考输入、干扰量、被控对象和控制装置各是什么？

图1-20 习题1-5 水温控制系统示意图
【解】
该系统的参考输入：给定温度；干扰量：冷水流量的变化；被控对象：热交换器；被控量：交换器的水温；控制装置：温度控制器，此时控制器的输出不仅与实际水温有关而且和冷水的流量有关，所以该系统不仅是反馈控制而是反馈+前馈的复合控制方式。它的主要目的是一旦冷水流量增大或减少时，及时调整蒸汽流量，不用等到水温降低会升高后再调节，所以可提高系统对扰动的能力。

热交换器
热水温度
温度控制器
温度传感器
给定温度
蒸汽阀门
冷水
流量测量
蒸汽

第二章
2-2 若某系统在阶跃输入r(t)=1(t)时，零初始条件下的输出响应c(t)=1-e-2t+e-t，试求系统的传递函数和脉冲响应。
【解】根据传递函数的定义，其传递函数为零初始条件下，输出信号的拉氏变换与输入信号拉氏变换之比，即

2-3 设系统传递函数为

初始条件。求单位阶跃输入r(t)=1(t)时，系统的输出响应c(t)。
【解】系统传递函数与微分方程是一一对应的，故通过传递函数先求出微分方程，然后通过拉氏变换的方法求解微分方程。
系统对应的微分方程为
在给定的非零初始条件下，进行拉氏变换

整理后

部分分式展开后，拉氏反变换

2-4 在图2-48中，已知G(s) 和H(s)两方框对应的微分方程分别为
5

图2-48 习题2-4系统结构框图
且初始条件为零，试求传递函数C(s)/R(s)。
【解】求出每个方框的传递函数，利用反馈等效的方法求C(s)/R(s)。
根据定义可得
，

2-5 图2-49是由电阻、电容和运算法放大器组成的无源网络和有源网络，试列写以Vin(t)为输入量，Vout(t)为输出量的传递函数。

Vin
Vou

(a) （b）

(c) (d)
图2-49 习题2-5电路图
【解】(a)

（b）

(c)

(d) 本题和(b)、(c)做法图通，因为反馈通路有接地的部分。根据理想运放的假定，负端输入为虚地和虚开。设R2和R3中间节点的电压为V，则有
由此，得
在两式中消去V，可得到Vin与Vout的关系式

2-6设弹簧特性由下式描述

其中，F是弹簧力，y是变性位移。若弹簧在变性位移0.25附近做微小变化，试推导△F的线性化方程。
【解】
2-7 试简化图2-50中的系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s)和C(s)/N(s)。

图2-50 习题2-7结构图
【解】 （1）求C(s)/R(s)， 由于N(s)=0，所以很简单

(2) 求C(s)/N(s)，等效反馈内回路和相关串联通路，有下列图化简

移动相加点后，

2-8 已知系统结构图如图2- 51所示，试通过结构图等效变换求系统的传递函数C(s)/R(s)。

10

(c) (d)

(e)

(f)

(g)
图2-51 习题2-8 结构图
【解】
(a) , (b)
10

10

© ,

(d)

(e)
2-9 图2-52介绍了一种非常灵活的电路结构，它的传递函数可以化为两个二阶或一个四阶系统。通过选择Ra, Rb, Rc, Rd的不同值，电路可以实现低通、高通或带阻滤波器功能。
（a） 证明如果Ra=R，Rb=Rc=Rd=∞,则从Vin, 到Vout的传递函数可以写成以下的低通滤波器的形式

其中，
(b) 若Ra=R，Rd=R1，Rb=Rc=∞，求出电路描述的传递函数。

图2-52 习题2-9电路图

2-10 画出图2-53中各系统结构图对应的信号流图，并用梅逊增益公式求各系统的传递函数C(s)/R(s)和C(s)/N(s)。
【解】(a) 信号流图如下

(b) 信号流图如下

(c) 信号流图如下

`
求C(s)/R(s)
,

求C(s)/N(s)

2-11 试用梅逊增益公式求图2-54中各系统信号流图的的传递函数C(s)/R(s)。

【解】 (a) 四条回路，3,4不接触，两条前向通路，第二余项1+G3

(b) 三条回路，两条回路不接触，两条前向通路，两个余项匀不为1

©
第三章
3-2 某温度计插入温度恒定的热水后，其显示温度随时间的变化规律可用一阶系统的响应来描述，实验测得当t=60s时，温度计度数达到实际水温的95%，试确定该温度计的传递函数。
【解】用一阶系统的模型，，
3-3在用温度计测量容器内的水温时，发现需要1min的时间才能指示其实际温度的98%，如果容器内的水温以100C/min的速度线性增加，试求 温度计的稳态误差。
【解】用一阶系统的模型，,
容器内的水温以100C/min的速度线性增加时，可认为是斜率是的斜坡输入，此时的稳态误差为

3-4 已知系统单位阶跃响应为

试求系统的超调量σ%、峰值时间tp和调节时间ts。
【解】，由已知表达式可知，该系统为欠阻尼的二阶系统，有

，

3-5 设单位反馈系统的开环传递函数为
（1）， （2）
试求系统(1)、（2)在单位阶跃输入下的动态性能指标。并通过计算说明比例-微分控制的作用。
【解】 系统的闭环传递函数为

比例-微分控制的确可以加快系统的响应速度，两个峰值时间基本相同，但超调量和调节时间则大大减小。响应见下图

3-6 图3-78 是简化的飞行控制系统结构图，试选择参数K1、Kt，使系统的自然频率为6 rad/s，阻尼比1。
K1（三）
R
C
Kts（三）

图3-78 习题3-6 飞行控制结构图
【解】系统闭环传递函数为

，由已知条件，得
，
3-7 已知系统的特征方程为
试用劳斯稳定判据判别系统的稳定性。
【解】
s4
3
5
2
s3
10
1
0
s2
4.7
2

s1
-15.3
0

s0
2

由于劳斯表的第一列元素符号变化了两次，故系统有两个正实部根，系统不稳定。
3-8 已知系统的特征方程如下，试求系统在s右半平的根的个数及虚根值：
（1）
【解】 （1）

s5
1
12
32
s4
3
24
48
s3
4
16
0
s2
12
48

s1
0

s0

由于s3、s2 行的系数线性相关，故s1项中出现全零行，用第二种特殊情况的处理方法，用s2项的系数构造辅助方程
F(s)=-12s2+48=0
求F(s)关于复变量s一阶导数得
dF(s)/ds=-24=0
用导数方程的各项系数代替全零行的元素，继续劳斯表的列写
s5
1
12
32
s4
3
24
48
s3
4
16
0
s2
12
48

s1
24

s0
48

由于劳斯表的第一列元素符号无变化，故系统没有正实部根。但由于出现了与坐标原点对称的根，可由辅助方程F(s)=-12s2+48=0，求得s1=j2, s2=-j2。故系统临界稳定，即不是渐进稳定。
（2）
s6
1
-4
-7
10
s5
4
4
8
0
s4
-5
-5
10

s3
0
0
0

s2

s1

s0

由于s5、s4 行的系数线性相关，故s3项中出现全零行，用第二种特殊情况的处理方法，用s4项的系数构造辅助方程
F(s)=--5s4-5s2+10=0
求F(s)关于复变量s一阶导数得
dF(s)/ds=--20s2-10=0
用导数方程的各项系数代替全零行的元素，继续劳斯表的列写
s6
1
-4
-7
10
s5
4
4
8
0
s4
-5
-5
10

s3
-20
-10
0

s2
2.5
10

s1
70

s0
10

由于劳斯表的第一列元素符号变化了两次，故系统有两个正实部根，系统不稳定。
同样由于出现了与坐标原点对称的根，可由辅助方程F(s)=- --5s4-5s2+10=0求得s1=j2, s2=-j2。

3-9 设单位负反馈系统的开环传递函数为

试确定系统稳定时K的取值范围。
【解】系统的特征方程为

s3
1
12
s2
8
2K
s1
(8x12-2K)/8
0
s0
2K

欲使系统稳定，劳斯表第一列系数应保持同号，即满足
，求得 0<K<48
3-10已知下列单位反馈系统的开环传递函数分别为

试求当输入r(t)=1+2t,，t>0时的稳态误差。
【解】
（1）该系统为零型系统，斜坡输入下的稳态误差无穷大，，
或用静态误差系数法，Kp=5/14，Kv=0，
（2）该系统为一型系统，斜坡输入下的稳态误差为有限值，用静态误差系数法，，
（3）该系统为二型系统，斜坡输入下的稳态误差本应为零。但该系统是三阶以上系统，系统有可能不稳定。
系统的特征方程为
劳斯表
s4
1
5
2
s3
3
1
0
s2
4.66
2

s1
-1.34
0

s0
2

由于劳斯表的第一列元素符号变化了一次，系统不稳定，稳定误差无穷大。
3-11 温度控制系统利用加热器来克服户外的低温，以减小电路温度的变化幅度。 温度控制系统的框图如图3-79所示，环境温度的降低可以看作一个负的阶跃干扰信号N(s), 电路的实际温度为C(s)。求干扰N(s)对输出的稳态影响（即干扰N(s)作用下的稳态输出css）。
， ，
G1(s)（三）
G2(s)（三）
R
N
C

图 3- 79 习题3-11温度控制系统
【解】由图可写出扰动作用下的系统输出为

系统为三阶的，需要判断稳定性。特征方程为
，适当选择0<K<6.5系统是稳定的。
稳态输出为
3-12设控制系统结构如图3-80所示，是否可以选择一个合适的K1值，使系统在单位阶跃扰动作用下的稳态误差小于0.009？
N(s)
R(s)
C(s)
K1

图3-80 习题3-12 系统结构框图
【解】由图可写出扰动作用下系统误差为

，
系统为三阶的，需要判断稳定性。特征方程为
，当选择0<K<1.26系统是稳定的，故当选择K1>111.1系统不稳定。所以，无法选择一个合适的K1值，使系统在单位阶跃扰动作用下的稳态误差小于0.009。

3-13已知两闭环系统的传递函数如下
，
1.分别给出两系统的所有极点和零点，判断哪些是主导极点；
2.求出两个系统的单位阶跃响应的稳态值，比较两系统超调量和调节时间,并判断哪个系统的动态性能好？
【解】 系统（1） 系统（2）
零点 -6.8 -6.5
极点 -0.5+j0.86; -0.5-j0.86;-7 -1+j; -1-j; -6
主导极点 -0.5+j0.86; -0.5-j0.86 -1+j; -1-j
稳态值 6.8/7 6.5/12
超调量 大 小
调节时间 长 短
动态性能 差 好

综合题目
3-14 电动机位置补偿控制系统如图3-81 所示。假设传感器的动态特性为H(s)=1。
（1）系统能够跟随阶跃参考输入r并使稳态误差为零吗？如果可以，给出静态速度误差系数的值。
（2）系统能够抑制阶跃干扰信号N并使稳态误差为零吗？
（3）在一些情况下，传感器是有动态的，取H(s)=20/(s+20)，重新计算（1）、（2），并对结果进行比较。
H(s)
R
C
补偿器
传感器
受控对象
N
E

图3-81 习题3-14 系统结构图
【解】 (1) 该系统为一型系统，斜坡输入下的稳态误差为有限值（不可能为零），用静态误差系数法求解，
（2），，同样不会为零，
（3）当H(s)=20/(s+20)，传感器的动态并不影响（1）、（2）的稳态结果。
3-15设单位反馈控制系统的开环传递函数为 G(s)=10/(5s+1)。试计算当输入信号分别为r(t)=1(t)和r(t)=3sin2t时，系统的稳态误差。
【解】 当输入为1(t)时，稳态误差为1/11.
当 r(t)=3sin2t时，不满足终值定理的条件，故用拉氏反变换的方法，求出e(t)，再求稳态值。这时为正弦函数。

3-16设控制系统的结构如图3-82所示，系统的给定信号是斜率为R的斜坡函数；扰动作用是幅值为N的阶跃函数。
（1）试计算系统的稳态误差。
（2）系统参数K1、K2均为可调参数，但是其约束条件为K1K2<K0，K0为某一设定值。为了减小系统的总体误差，K1、K2应如何调整？
（3）若采用按给定输入补偿的复合控制，使系统的型数提高为Ⅱ，试确定补偿通道的传递函数。
（4）若采用按扰动补偿的复合控制，使系统无稳态误差地响应任意形式的扰动信号，试确定补偿通道的传递函数。
C(s)
R(s)
E(s)
M(s)
N(s)
Gc

图3-82 习题3-16 系统结构图
【解】
（1） 输入作用和扰动作用下的稳态误差的代数和

（2） 为了减小误稳态误差的绝对值，应增大K1.
（3）采用按给定输入补偿的复合控制，其结构如图虚线所示，使系统的型数提高为Ⅱ型，就是在斜坡输入下的稳态误差为零。

如果要对应的稳态误差为零，则需选择。
这道题目不是误差的全补偿。
（4） ，若要无误差地跟踪任意形式的扰动信号，则对应的传递函数分子为零。即 ，，，实际可选择

3-17 给定系统如图3-83 所示，其中反馈增益b经常受到扰动。试给系统设计一个控制器，使系统输出c(t)精确地跟踪参考输入r(t).
(a) 令b=1，给定以下三种控制器Gc(s)
（1）, (2) , (3)
选择控制器（以及控制器参数）使系统为Ⅰ型系统，单位斜坡参考输入的稳态误差小于0.1.
(b) 假设在系统的反馈回路出现了衰减，用图中的模型表示得到b=0.9，对你在(a)选择的Gc(s)求出系统对斜坡输入的稳态误差。
b
R
C

图3- 83 习题3-17 控制系统