高二历届“希望杯”全国数学邀请赛第一试试题2.doc

第一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试
1990年3月18日 上午8：30—10：00
一、选择题
1、等差数列的第p项是1990，第1990项是p，那么第p + q（q ≥ 1991）项（ ）
（A）是正数 （B）是负数 （C）是零 （D）符号不能确定
2、设S k =++ … +，则（ ）
（A）S k + 1 = S k + （B）S k + 1 = S k ++
（C）S k + 1 = S k +– （D）S k + 1 = S k –+
3、函数y =（ ）
（A）有最小值没有最大值 （B）有最大值没有最小值
（C）有最小值也有最大值 （D）没有最小值也没有最大值
4、a，b∈R，那么| a + b | = | a | – | b |是a b ≤ 0的（ ）
（A）充要条件 （B）充分不必要条件 （C）必要不充分条件 （D）不充分也不必要条件
5、α ≠( k∈ Z )，那么sec α与sin 2 α tan的符号（指正负号）（ ）
（A）总是相同 （B）总是相异
（C）在第一、三象限时，它们同号，在第二、四象限时，它们异号
（D）在第一、三象限时，它们异号，在第二、四象限时，它们同号
6、正四面体内切球的体积是V，则它的外接球的体积是（ ）
（A）8V （B）27V （C）64V （D）4V
7、一个平面最多把空间分为两部分，两个平面最多把空间分为四部分，三个平面最多把空间分为八部分，那么，四个平面最多把空间分成（ ）
（A）16部分 （B）14部分 （C）15部分 （D）20部分
8、设a = arcsin ( sin)，b = arccos ( –)，c = arcsin ( –)，则（ ）
（A）a > b > c （B）b > a > c （C）c > a > b （D）b > c > a
9、方程arccot x + arcsin x = π的实数根的个数是（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
10、在四个数arctan，arccos，arcsin，2 arctan (+)中，与arcsin数值相等的个数是（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
二、填空题
11、方程arcsin ( sin x ) + arccos ( cos x ) =的解集是 。
12、与直线x + 2 y – 3 = 0关于直线x = a（a为常数）对称的直线的方程是 。
13、若平面内的动点P到定点F( 1，0 )的距离比点P到y轴的距离多1，则动点P的轨迹方程是 。
14、函数y = 2 – 3 ( x∈[ 1，2 ] )的反函数为 y = f ( x )，则f [ f ( – 1 ) ] = 。
15、A，B，C是三角形的三个内角，那么cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C + 4 cos A cos B cos C = 。
16、坐标平面内有两个圆x 2 + y 2 = 16和x 2 + y 2 – 6 x + 8 y + 24 = 0，这两个圆的内公切线的方程是 。
17、棱长为1的正方体ABCD – A1B1C1D1中，P在线段AC内，CP = 1，则直线AD和C1P所成的角的弧度值是 。
18、不等式≥ x + t的解集是空集，则实数t的取值范围（用区间形式）是 。
19、数列{ a n }中，若a 1 = – 1，a 2 = 2，a n + 1 – a n – a n + 2 = 0，则数列的前1990项的和等于 。
20、若x，y > 0，且x + 2 y = 1，则( x +) ( y +)的最小值是 。

答案：一、B、C、C、B、A、B、C、B、A、D；
二、11、{ x | x =+ k π且k∈Z }；12、x – 2 y – 2 a + 3 = 0；13、y 2 = 2 x – 1；14、1；15、– 1；16、3 x – 4 y – 20 = 0；17、；18、( – ∞，1 –)∪(+ 1，+ ∞ )；19、5；20、。
简解：1、d = – 1；5、sin 2 α tan= 4 sin 2cos α；6、AF =a，AO =a，OF = OG =a；8、b >> a > 0 > c；
17、CC1 = CP = 1，C1P =，PQ = CQ =，C1Q =；
18、≥ x + t Þ ，若t > 0，则有无解，则< – 1，∴ t 2 – 2 t – 1 > 0，∴ t < 1 –（舍去）或t > 1 +；若t < 0，则有无解，则> 1，∴ t 2 – 2 t – 1 > 0，∴ t < 1 –或t > 1 +（舍去）；
19、– 1，2，3，1，– 2，– 3，– 1，2，3，…
20、2 x y ≤ () 2 =，x y ≤，
( x +) ( y +) ===≥=。

第二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试
1991年3月17日 上午8：30—10：00
一、选择题
1、条件“AB ≠ 0或C = 0”是直线A x + B y + C = 0与两条坐标轴都有交点的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）以上都不对
2、如果sin θ + cos θ =，且0 < θ < π，则tan θ的值是（ ）
（A）– （B）– （C） （D）
3、设集合P = { x，1 }，Q = { y，1，2 }，其中x，y∈{ 1，2，…，9 }，且P Í Q。将满足这些条件的每一个有序整数对（x，y）看作一个点，这样的点的数目是（ ）
（A）9 （B）14 （C）15 （D）21
4、圆台上底面积为1，下底面积为16，用一个平行于底面的平面截这个圆台，该平面到上底面的距离是它到下底面距离的2倍，则这个截面的面积是（ ）
（A）4 （B）9 （C） （D）
5、函数y = arctan的值域是（ ）
（A）( –，) （B）( 0，) （C）( –，–)∪( 0，) （D）( –，–)]∪( 0，)
6、函数f ( x ) = a sin x + b的最大值是1，最小值是– 7，则b sin 2 x – a cos 2 x的最大值是（ ）
（A）5或4 （B）4或– 5 （C）4或– 3 （D）5或– 3
7、若a是大于1的常数，则x lg x = a的全部实根之积是（ ）
（A）1 （B）± 1 （C）lg 2 a （D）± lg a
8、函数y = f ( x )有反函数，把它的图像绕原点在两坐标轴所在平面内按逆时针方向旋转90°，新的图像所表示的函数是（ ）
（A）y = – f – 1 ( – x ) （B）y = – f – 1 ( x ) （C）y = f – 1 ( x ) （D）y = f – 1 ( – x )
9、在半径为1的球体外面均匀的包上一层球壳行“外衣”，若“外衣”的体积与球的体积相等，则球壳“外衣”的厚度是（ ）
（A）– 1 （B） （C） （D）– 1
10、用一个与圆台上、下底面都相交的平面截圆台，所得的截面图形是（ ）
（A）等腰梯形 （B）矩形 （C）等腰梯形或等腰三角形 （D）可能是曲边图形
11、曲线C 1：x 2 – y 2 + 4 y – 3 = 0与曲线C 2：y = a x 2（a是大于0的常数）的交点个数是（ ）
（A）2 （B）4 （C）6 （D）不确定
12、当n ≥ 1000时，f ( n ) = n – 3，当n < 1000时，f ( n ) = f [ f ( n + 7 ) ]，则f ( 90 )的值是（ ）
（A）997 （B）998 （C）999 （D）1000
13、底面半径为1的直圆柱被一个平面所截，截面形状为椭圆，该椭圆的离心率为，这个截面与圆柱底面所成的锐角是（ ）
（A） （B） （C）arccos （D）arccos
14、log x y + log y x的取值范围是（ ）
（A）( – ∞，+ ∞ ) （B）( – ∞，– 2 )]∪[ 2，+ ∞ ])
（C）( – ∞，– 2 )∪[ 2，+ ∞ ]) （D）( – ∞，– 2 )]∪( 2，+ ∞ )
15、0 < α，β，γ < 1，f ( α，β，γ ) =( α + β + γ )，设ω = sin f ( α，β，γ )，t = f ( sin α，sin β，sin γ )，x = f ( α，β，γ )，y = f ( arcsin α，arcsin β，arcsin γ )，z = arcsin f ( α，β，γ )，则（ ）
（A）x > y > z > ω > t （B）y > z > x > ω > t （C）z > y > ω > t > x （D）t > ω > z > y > x
二、填空题
16、关于x的不等式log a x > 1（ a > 0，a ≠ 1）的解是 。
17、如果不等式x >的解集是正实数集，那么实数a的取值范围是 。
18、arcsin (cos x ) = π – x，则x = 。
19、在数列{ a n }中，若a 1 = 1，a 2 = 2，a n + 2 = a n + a n + 1（n∈N*），则数列中与1991最接近的那一项的数值是 。
20、数列{ a n }是首项为a，公差为d的等差数列，按下列加括号的方式分成群：（a 1），（a 2，a 3），（a 4，a 5，a 6，a 7），…，各群所含的项的数目顺次成公比为2的等比数列，试用a，d，n表示第n群各元素的和 。
21、与曲线x 2 – y 2 – 4 m x + 4 n y = 1 + 4 n 2 – 4 m 2关于点（m，n）对称的曲线的轨迹方程是 。
22、由( – 1，– 1 )向曲线x 2 + 4 y 2 – 2 x + 16 y + 13 = 0作切线，切线方程是 。
23、木球浮在第一种液体中时，球心与液面的距离为2，液面与球面相交形成一个圆，当这只木球浮在第二种液体中时，球心与液面的距离为3，液面与球面相交形成另一个圆。则这两个圆的面积差的绝对值是 。
24、函数f ( x )具有性质：f ( logx ) = 2 x，则数列{ f ( n – 1 )}，（n∈N*）的所有项之和是 。
25、f ( x )是奇函数，当x ≥ 2时，函数表达式为f ( x ) = x 2 – 5 x + 4，则x ≤ – 3时的函数的表达式是 。
26、函数y = 3 x – 4 cos ( arcsin x )，( – 1 < x < 1 )的最小值是 。
27、由函数y = 2 sin 3 x (≤ x ≤)与函数y = 2（x∈R）的图象围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是 。
28、log x< 2的解集（区间）是 。
29、方程arctan ( tan x ) = arctan ( cot x ) 的解集（区间）是 。
30、设全集I = { ( x，y ) | x，y∈R }，则集合A = { ( x，y ) | x cos θ + y sin θ – 1 = 0，x，y，θ∈R }的补集是 。

答案：一、C、A、B、B、D、C、A、D、D、D、B、C、C、B、B；
二、16、；17、a ≤ 0；18、；19、1597；20、2 n – 1 a + ( 3 2 n – 3 – 2 n – 2 ) d；21、x 2 – y 2 = 1；22、x = – 1或5 x – 6 y – 1 = 0；23、5 π；24、4；25、f ( x ) = – x 2 – 5 x – 4；26、– 5；27、；28、( 0，1 )∪(，+ ∞ )；29、x = k π ±；30、{ ( x，y ) | x 2 + y 2 < 1，x，y∈R }。
简解：3、（2，3），…，（2，9），（3，3），…，（9，9）；5、> 0或≤ – 1；
7、a = ± 4，b = – 3；8、y = f ( x ) y = f – 1 ( x ) – y = f – 1 ( x ) y = f – 1 ( – x )；12、f ( 1000 ) = 997，f 2 ( 1000 ) = f 2 ( 1004 ) = f ( 1001 ) = 998，
f 3 ( 1000 ) = f 2 ( 1005 ) = f ( 1002 ) = 999，
f 4 ( 1000 ) = f 2 ( 1006 ) = f ( 1003 ) = 1000，f 5 ( 1000 ) = f ( 1000 )，
f ( 90 ) = f 2 ( 90 + 7 ) = f 3 ( 90 + 7 × 2 ) = f 131 ( 90 + 7 × 130 ) = f 131 ( 1000 ) = f 3 ( 1000 ) = 999；13、b = 1，a =，cosθ =； 18、cos x = sin ( π – x ) = sin x，–< π – x <，< x <；19、1597 = a 16；
24、f ( x ) =，a n = f ( n – 1 ) =，S =S n == 4；26、y = 3 sin α – 4 cos α，α = arcsin–，–< α <； 29、tan x = cot x；30、θ变化，而原点到直线的距离是1。

第三届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试
1992年3月15日 上午8：30—10：00
一、选择题
1、平面直角坐标系内有点A (，– 1 )，B ( lg 0.1，cos ( –) )，则线段AB的中点在（ ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
2、在棱长为1的正方体ABCD–A1B1C1D1中，E为DD1上一点，F为B1C1上一点，则四面体AA1EF的体积是（ ）
（A） （B） （C） （D）
3、已知0 < x < 1，0 < y < 1，x ≠ y，设a =，b =，c = x y，d =，则在a，b，c，d中一定是（ ）
（A）a最大，d最小 （B）b最大，c最小 （C）b最大，d最小 （D）d最大，a最小
4、若sin α + sin β = 1，则cos α + cos β的最大值是（ ）
（A）1 （B） （C） （D）2
5、关于x，y的方程x 2 + y 2 + k x + 2 y + k 2 = 0在平面直角坐标系中的图形是个圆，当这个圆取最大面积时，圆心的坐标是（ ）
（A）( 0，– 1 ) （B）( – 1，0 ) （C）( 1，– 1 ) （D）( – 1，1 )
6、设α = arccos，β = arccos，γ = arcsin，则（ ）
（A）β < γ < α （B）γ < α < β （C）γ < β < α （D）α < β < γ
7、关于x的不等式( x 2 – 2 ) logx > 0的解集是（ ）
（A）( – ∞，–)∪(，+ ∞ ) （B）( 0，1 )∪(，+ ∞ ) （C）( 1，) （D）空集
8、三个不同的实数a，b，c成等差数列，a，c，b成等比数列，则等于（ ）
（A）– 2 （B）2 （C）– 4 （D）4
9、关于x的方程2 a sin x = 1 + a 2有实数解，那么实数a的取值范围是（ ）
（A）大于– 1的实数 （B）大于1的实数 （C）大于– 1且小于1的实数 （D）– 1或1
10、正方体ABCD–A1B1C1D1中，M为A1B1中点，N为BB1中点，则异面直线AM与CN所成的角的余弦值等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
二、填空题
11、若+++ … +=，则自然数n = 。
12、不等式> x + 1的解集是 。
13、方程3 cos x + 4 sin x = 6的解集是 。
14、sec与sin的等比中项是 。
15、点A ( 3，– 2 )关于直线2 x – y – 1 = 0的对称点B的坐标是 。
16、棱长为的正四面体内任意点到四面体四个面的距离的和等于 。
17、从点( 4，3 )向圆( x – 2 ) 2 + ( y – 1 ) 2 = 1作切线，则过两个切点的直线方程是 。
18、函数f ( x )，g ( x )的定义域为R，且f ( x ) ≥ 0的解集为{ x | 1 ≤ x < 2 }，g ( x ) ≥ 0的解集为空集，则不等式f ( x ) g ( x ) > 0的解集为 。
19、△ABC的三条边a，b，c成等差数列，则∠B的最大值是 。
20、定义在实数上的函数f ( x ) =+的最小值是 。

答案：一、D、B、B、C、A、C、C、D、D、C；
二、11、1991；12、{ x | – 2 ≤ x <}；13、Φ；14、± 1；15、( –，)；16、；
17、2x + 2 y – 7 = 0；18、{ x | x < 1或x ≥ 2 }；19、60°；20、2。
简解：3、b > a > c，b > d > c；
4、1 + ( cos α + cos β ) 2 = ( sin α + sin β ) 2 + ( cos α + cos β ) 2 =
2 + 2 cos (α – β )，∴ ( cos α + cos β ) 2 = 1 + 2 cos (α – β ) ≤ 3；
17、A ( 4，3 )，C ( 2，1 )，k AC = 1，AC⊥MN，k MN = – 1，
设MN：x + y + b = 0，AC = 2，CN = 1，CB =，
即C到MN的距离为，=，b = –或–（舍去）；
19、设公差为d，d ≥ 0，
则设y = cos B ==，
则=≥ 0，∴ y = cos B ≥，∴ B ≤ 60°；
20、f ( x ) =+，即可以看作是x轴上的点( – x，0 )到两点A (，–)，B ( –，)的距离和。

第四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试
1993年3月21日 上午8：30—10：00
一、选择题
1、若cos x，sin x，1这三个数成等比数列，则角x的终边在（ ）
（A）第1或第2象限 （B）第2或第3象限 （C）第3或第4象限 （D）第1或第4象限
2、以a，b，c分别表示2 300，3 200，6 100，那么（ ）
（A）c < b < a （B）b < c < a （C）c < a < b （D）a < b < c
3、设平面直角坐标系内的点P的坐标 ( x，y ) 使：0，log 2 ( 1 – y )，log 2 ( x + 3 )成等差数列，则点P的轨迹是（ ）

4、四棱锥的各侧面与底面所成的二面角的大小都相同，则这个棱锥的底面是（ ）
（A）圆内接四边形 （B）圆外切四边形 （C）菱形 （D）正方形
5、函数y = f ( x ) 的图象与直线 x = 1的交点的个数是（ ）
（A）1 （B）0或1 （C）0 （D）1或2
6、当n为任意自然数时，S n =++ … +的值（ ）
（A）恒小于 （B）不小于 （C）能够达到1 （D）可以超过1
7、若log a 2 < log b 2 < 0 < log x 2 < log y 2，则（ ）
（A）0 < a < b < 1 < x < y （B）0 < b < a < 1 < y < x
（C）1 < a < b < x < y （D）1 < b < a < y < x
8、适合x 1992 > 6 3220的最小的自然数是（ ）
（A）19 （B）20 （C）21 （D）22
9、已知a < 0，则不等式> x +a的解集是（ ）
（A）[ –a，a ] （B）[ –a，a ]) （C）[a，–a ] （D）[a，–a ])
10、设θ∈R且使3 sin θ – logx = 1，则arctan的值域是（ ）
（A）（，） （B）[ arctan，arccos] （C）[ arccos，arccos] （D）[，2 ]
11、设π < α <，则arcsin [ sin ( – α ) ]可以简化为（ ）
（A）– α （B）α （C）π – α （D）α – π
12、实数x，y适合方程x 2 + y 2 – 6 x = 0，则的值域是（ ）
（A）[，] （B）[ 5，53 ] （C）[ 4，+ ∞ ]) （D）[ 5，]
13、设集合M = { y | x – y 2 = 1，x，y∈R }，N = { y | x – y = 1，x，y∈R }，则M∩N是（ ）
（A）{ ( x，y ) | ( 1，0 ) }（B）{ ( x，y ) | ( 2，1 ) }（C）{ ( x，y ) | ( 1，0 )，( 2，1 ) }（D）R
14、某球的大圆方程为x 2 + y 2 + x + y – sin α cos α = 0，其中α ∈R，则此球的体积的取值范围是（ ）
（A）( 0，)] （B）( 0，)] （C）( 0，) （D）( 0，)]
15、在曲线y = x上有横坐标依次为1，x，4的三个点A，B，C，1< x < 4，当△ABC的面积最大时，x的值是（ ）
（A） （B） （C）2 （D）
二、填空题：
16、若函数y = a sin ( b x + c )，（a ≠ 0，b ≠ 0，a，b，c都是常数），则y的周期是 。
17、在已知圆内，弧度的圆心角所对的弦长是sin，则该角所对的弧长是 。
18、若角x在区间(，π )上，并且满足方程= 2，则角x的值是 。
19、等差数列的S 10 = 20，S 20 = 60，则S 30的值是 。
20、点P在有向线段AB的反向延长线上，设= λ，则λ的取值范围是 。
21、对于任意的a∈R，曲线系a x 2 – 2 x y – a x – y – 2 a + 1 = 0的所有曲线都经过两个定点，这两个定点的坐标是 。
22、设α = arctan x，β = arctan y，tan ( α – β ) = 1，则满足上述条件的有序整数对( x，y )的数目是 。
23、将正方体的中心同八个顶点相连，得到八条连线，以每条连线为棱，得到若干个二面角，每个二面角的大小是 。
24、M是椭圆+= 1（0 < b < a）上短轴端点以外的一点，M与短轴两端的连线交x轴于P，Q，O是坐标原点，则| OP · OQ |的值是 。
25、设θ∈R，则函数f ( θ ) = sin θ – cos θ + sin θ · cos θ的值域是 。
26、设数列{ a n }满足：a 1 =，a n + 1 =a n 2 +（n∈N*），则从单调性来看，这个数列是 数列。
27、将sin 4 θ +++化简，得到 。
28、点P的坐标 ( x，y ) 满足条件：arctan x – arctan y =，则点P的运动轨迹是 。
29、函数f ( x ) =+的最小值是 。
30、F1，F2是椭圆的焦点，P是椭圆上的一点，且Ð F1PF2 = 90°，则△F1PF2的面积是 。

答案：一、D、C、D、B、B、A、B、B、D、B、D、A、D、D、B；
二、16、；17、cos；18、π +( arcsin– arctan 4 )；19、120；20、– 1 < λ < 0；
21、( – 1，– 1 )，( 2，)；22、4；23、或；24、a 2；25、[ ––，1 ]；26、增；
27、sin 2 θ – () 2；28、x y = – 1（x > 0）；29、3；30、b 2。
简解：6、[ ( 1 –) + (–) + … + (–) ] =( 1 –) =；
7、<< 0 <<；8、x 3 > 6 5 = 7776；10、– 4 < logx < 2，< x < 16，<< 2；
12、y 2 = 6 x – x 2 ≥ 0，0 ≤ x ≤ 6，则=为增函数；

14、r =≤ 1；15、S △ABC = S △ABE + S BCDE – S △ACD
=( x – 1 ) (– 1 ) +( 4 – x ) –= –[ () 2 – 3+ 2 ] = –(–) 2 +；
22、= 1，( x + 1 ) ( y – 1 ) = – 2，( 0，– 1 )，( 1，0 )，( – 2，3 )，( – 3，2 )；
24、设M ( m，n )，则P (，0 )，Q (，0 )，
| OP · OQ | == a 2， m 2 b 2 + n 2 a 2 = a 2 b 2；
25、令t = sin θ – cos θ，则–≤ t ≤，
且f ( θ ) = –t 2 + t += –( t – 1 ) 2 + 1；
30、设P ( x，y )，则k PF1 · k PF2 =·= – 1，
x 2 + y 2 = c 2，b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2，y 2 =，
S =× 2 c ×= b 2；

第五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试
1994年3月20日 上午8：30—10：00
一、选择题
1、互不相等的三个正数a，b，c依次成等比数列，则lg a，lg b，lg c（ ）
（A）成等比数列而不成等差数列 （B）成等差数列而不成等比数列
（C）既成等比数列也成等差数列 （D）既不成等比数列也不成等差数列
2、已知< x <，设a = 2 1 – sin x，b = 2 cos x，c = 2 tan x，则（ ）
（A）a < b < c （B）b < a < c （C）c < a < b （D）b < c < a
3、不等式arccos x < arccos ( 2 x – 1 ) 的一个解是（ ）
（A）– （B） （C）1 （D）– 1
4、如果函数f ( x )是奇函数，那么f ( x ) – f ( – x )，f [ f ( x ) ]，f 2 ( x )，中一定是奇函数的个数是（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
5、记S i = 1 i + 2 i + 3 i + … + n i，（i = 1，2，3）那么使S 1，S 2，S 3成等差数列的自然数n的值（ ）
（A）不存在 （B）有且仅有1个 （C）有且仅有2个 （D）有无数多个
6、直线y = k x – 1与曲线y = –有交点，则k的取值范围是（ ）
（A）[ 0，1 ] （B）[ 0，] （C）[，1 ] （D）[ 0，]
7、D，E分别是正四面体V – ABC中棱AB，AC的三等分点，AD : DB = AE : EC = 2 : 1，则通过D，E且平行于VA的截面是（ ）
（A）正方形 （B）矩形但不是菱形 （C）菱形但不是矩形
（D）平行四边形但不是矩形也不是菱形
8、直线x = 6与半抛物线y =交于A点，l是过此抛物线焦点F的直线，以x轴为棱，将坐标平面折成60°的二面角，此时点A在另一个半平面内的射影B恰在直线l上，则直线l的倾斜角是（ ）
（A）arctan （B）arctan ( –) （C）π – arctan （D）π – arccos
9、设α∈R，且α ≠（k∈Z），则关于x，y的方程x 2 + ( sin 2 α – 1 ) y 2 – 2 x + 1 = 0表示的曲线是（ ）
（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线 （D）两条直线
10、已知曲线C：x 2 += 1，曲线C'与C关于直线y = x对称，那么C与C'上的动点P与Q间的最短距离是（ ）
（A）2 （B）2 （C）– 2 （D）0
二、A组填空题
11、一个平面与直圆柱面的交线是离心率为的椭圆，则该平面与圆柱底面所成的二面角的锐角等于 。
12、已知曲线C：( y – 2 ) 2 = 1 – x，曲线C'与C关于点M ( – 1，1 )成中心对称，则C与C'的交点个数是 。
13、当≤ x ≤时，函数y = tan x + cot x的最大值是 。
14、在3，，三个数中，最小的是 。
15、不等式> x – 1的解集是 。
16、将圆x 2 + y 2 – x +3 y –= 0绕直线x =旋转弧度，所得旋转体的表面积是 。
17、使关于x的方程sin x = log( 2 a 3 – 3 ) 有解的实数a的取值范围是 。
18、使++ … +>成立的最小的自然数是 。
19、与四面体ABCD的四个顶点等距离的平面的个数是 。
20、△ABC的三个内角A，B，C依次成等差数列，2 A，2 B，2 C的正割也成等差数列，则
cos ( 2 B – 2 A )的值等于 。
三、B组填空题
21、函数y = –的图像是（用语言描述） 。
22、设f ( x ) =，则适合f ( n ) >的最小的自然数是 。
23、方程x lg 3 x – 5 lg x = 0.0001的解集是 。
24、在平面直角坐标系内，曲线log x y = log y x与直线x – 2 y + 1 = 0的交点的个数是 。
25、设函数f ( x ) = A sin ( ω x + φ )（A > 0，φ > 0），则f ( 0 ) = 0是f ( x )为奇函数的 条件。
26、设三角形的三条边的长度分别是x，y，，则最大边与最小边的夹角θ = 。
27、已知a，b为不相等的正数，且b =，将，a，b，四个数按从小到大的顺序排列，应是 。
28、在数列{ a n }中，a 1 = 13，a 2 = 56，对所有自然数n，都有a n + 1 = a n + a n + 2，则a 1994 = 。
29、三棱锥O – ABC的锥顶在半径为6的球O的球心，其余各顶点在球O的表面上，三棱锥的高为3，则此三棱锥体积V的最大值是 。
30、球冠与它所在的球的面积之比为1 : 8，则球冠轴截面的弧所对的中心角等于 。

答案：一、B、A、B、B、B、A、B、C、D、D；
二、11、arccos；12、0；13、；14、；15、– 1 ≤ x < 2 +；16、14 π；
17、≤ a ≤；18、249；19、4；20、1或–；