求以下序列的z变换.doc

习题五 Z变换

习题五 Z变换
1． 求以下序列的z变换，并画出零极点图和收敛域。

分析：
Z 变换定义，
n的取值是的有值范围。Z变换的收敛域
是满足

的z值范围。

解：(1) 由Z变换的定义可知：

解：(2) 由z变换的定义可知：

解:（3）

解： (4)
  ，

解：(5) 设
则有  
而
∴
因此，收敛域为 ：

解：(6)

2 . 假如的z变换代数表示式是下式，问可能有多少
不同的收敛域。

分析：

解 : 对X(Z)的分子和分母进行因式分解得

X(Z)的零点为 : 1/2 ， 极点为 : j/2 , -j/2 , -3/4
∴ X(Z)的收敛域为 :
(1) 1/2 < | Z | < 3/4 , 为双边序列， 请看 <图形一>
(2) | Z | < 1/2  ,  为左边序列，请看 <图形二>
     (3) | Z | > 3/4 ， 为右边序列， 请看 <图形三>

分析：
长除法：对右边序列（包括因果序列）H（z）的分子、分母都要按
z的降幂排列，对左边序列（包括反因果序列）H（z）的分子、分
母都要按z的升幂排列。
部分分式法：若X（z）用z的正幂表示，则按X(z)/z 写成部分分
式，然后求各极点的留数，最后利用已知变换关系求z反变换可得
x（n）。
留数定理法：

（1）（i）长除法：

所以：
（1）(ii)留数定理法：
, 设 c为
内的逆时针方向闭合曲线：
当时，
在c内有
一个单极点
则

（1）(iii)部分分式法：

因为
所以
（2）(i). 长除法：
,
因而 是左边序列,所以要按的
升幂排列：

所以

（2）(ii)留数定理法:
内的逆时针方向闭合曲线

在c外有一个单极点

在c内有一个单极点
∴

综上所述，有：

(2)(iii). 部分分式法：

则
因为 则是左边序列
所以

(3)(i). 长除法：
因为极点为，由可知,为
因果序列, 因而要按 的降幂排列:

则
所以

(3)(ii). 留数定理法:

内的逆时针方向闭合曲线。

(3)(iii). 部分分式法：

则
所以

4. 有一右边序列 ，其 变换为
(a) 将上式作部分分式展开(用 表示)，由展开式求 。
(b) 将上式表示成 的多项式之比，再作部分分式展开，由展开
式求 ,并说明所得到的序列与(a)所得的是一样的。
注意：不管哪种表示法最后求出x（n）应该是相同的。

解：(a)
因为
且x(n)是右边序列
所以
(b)

5．对因果序列,初值定理是,如果序列为 时
,问相应的定理是什么?
,其z变换为：

分析：
这道题讨论如何由双边序列Z变换来求序列
初值，把序列分成因果序列和反因果序列两部分，
[它们各自由求表达式是不同的]，将它们
各自的相加即得所求。

若序列的Z变换为：

由题意可知：X(Z)的收敛域包括单位圆
则其收敛域应该为：

6. 有一信号,它与另两个信号和的
关系是:
其中 ，
已知 ，

分析：

解：根据题目所给条件可得：

而

所以

7. 求以下序列的频谱。
(1) (2)
(3) (4)
分析：
可以先求序列的Z变换再求频率

即为单位圆上的Z变换，或者直接求序列的
傅里叶变换
解：
对题中所给的先进行z变换
再求频谱得：

∴

8. 若是因果稳定序列，求证：

分析：
利用时域卷积则频域是相乘的关系来求解

再利用的傅里叶反变换，代入n = 0即可得所需结果。
证明:

∴

9．求的傅里叶变换。
分析:
这道题利用傅里叶变换的定义即可求解，但最后结果应化为模和相角的关系。

解：根据傅里叶变换的概念可得：

10. 设是如下图所示的信号的傅里叶变换，
不必求出，试完成下列计算：
(a) (b)
(c) (d)
分析：
利用序列傅里叶变换的定义、它的导数以及帕塞瓦公式

解：

由帕塞瓦尔公式可得：

∵
∴
即
由帕塞瓦尔公式可得：

11．已知有傅里叶变换，用表示下列信号的
傅里叶变换。
(a)(b)
(c)

分析：
利用序列翻褶后移位关系以及频域的取导数关系式来求解。

解：

(c)
则

而
所以

12. 已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统

(a) 求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域；
(b) 求此系统的单位抽样响应；
(c) 此系统是一个不稳定系统，请找一个满足上述差分方程的稳
定的（非因果）系统的单位抽样响应。
分析：

则 ，
要求收敛域必须知道零点、极点 。收敛域为Z平面
某个圆以外，则为因果系统（不一定稳定），收敛域
若包括单位圆，则为稳定系统（不一定因果）。
(a) 对题中给出的差分方程的两边作Z变换，得：

所以
零点为z=0，极点为

因为是因果系统，所以|z|>1.62是其收敛区域。
零极点图如右图所示。

右边是本题的零极点图。

由于的收敛区域不包括单位圆，故这是个不
稳定系统。
(c) 若要使系统稳定，则收敛区域应包括单位圆,因此选的
收敛区域为 ，即 ，则

中第一项对应一个非因果序列，而第二项对应一个因果序列。

从结果可以看出此系统是稳定的，但不是因果的。
13. 研究一个输入为和输出为的时域线性离散移不变系
统，已知它满足
并已知系统是稳定的。试求其单位抽样响应。
分析：
在Z变换域中求出，
然后和题12（c）一样分解成部分分式分别
求Z反变换。
解：
对给定的差分方程两边作Z变换，得：

，
为了使它是稳定的，收敛区域必须包括

即可求得

14.研究一个满足下列差分方程的线性移不变系统，该系统
不限定为因果、稳定系统。利用方程的零极点图，试求
系统单位抽样响应的三种可能选择方案。

解 :
对题中给定的差分方程的两边
作Z变 换，得：

因此

其零点为
极点为 ,
因为该系统不限定为因果，稳定系统,所以其收敛域情况有三种，分别如左图所示。
收敛域情况有：
零极点图一：
零极点图二：
零极点图三：
注：如果想要参看具体题解，请先选择方案，然后单击 解答 按键即可。

(1) 按12题结果(此处z1=2, z2=1/2),

可知当收敛区域为,则系统

是非稳定的，但是因果的。其单

位抽样响应为：

(2) 同样按12题，当收敛区域为
，

则系统是稳定的但是非因果的。

其单位抽样响应为：

(其中 )

(3)
类似 , 当收敛区域为时，

则统是非稳定的，又是非因果的。

其单位抽样响应为：

(其中 )

15. 有一个用以下差分方程表示的线性移不变因果系统

当激励时,求系统的响应。请用z变换来求解。
分析：
两种解法：
①直接由Z变换Y（z）的关系可得到y（n），
②由Y（z）用留数法可求得y（n）。

解法一:
已知,

将上式进行Z变换，得：

因此

令，

解法二：
差分方程进行Z变换后得:

其中

其收敛区域为。因为
是因果系统，且当时等
于零，所以 当
时，采用围线积分法，其中围线C
包围三个极点，所以

16. 下图是一个因果稳定系统的结构，试列出系统差分方程，
求系统函数。当 时，求系统单
位冲激响应 , 画出系统零极点图和频率响应曲线。

分析：
解法一：利用此系统是一阶系统写出差分方程，令其二阶项系统为零，
可得一阶差分方程，取Z变换求得H（z）从而求得h（n）。

解法二：将系统用流图表示，改变流图中两个一阶节的级联次序
（线性系统服从交换定理），然后写出差分方程，再取Z变换
求得H（z）从而求得h（n）。

解法一:由图示可得

由方框图可看出：差分方程应该是一阶的

则有

因为此系统是一个因果稳定系统 ; 所以其收敛

解法二： 将图P2-11 画成流图结构，并化简如下：

由于线性流图的级联结构可以改变级联次序，因而
上图又可化成：
由这个流图即可很方便地写出其线性差分方程：

取z变换可得：

所以

(由于系统是因果稳定的)

17．设是一离散时间信号，其z变换为，对下列信
号利用求它们的z变换：
(a) ，这里△记作一次差分算子，定义为：

(b)

(c)
分析：
式序列的抽取序列，是
内插零值序列（不是内插序列），解题的
关键是要进行变量变换，以得到与
的Z变换相似的表达式。
解：
(a)
(b) ，

(c)由此可设

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