(精华讲义)数学人教版高二-选修2-1导数及其应用.doc

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导数及其应用复习讲义

一、 知识复习：
1. 导数的定义：
设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数。
在点处的导数记作
2 导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）
函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为
3．基本常见函数的导数:
①（C为常数） ②
③; ④;
⑤ ⑥;
⑦; ⑧.
二、导数的运算
1.导数的四则运算：
法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，
即：
法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个
函数乘以第二个函数的导数，即：
常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： (为常数)
法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：。
2.复合函数的导数
形如的函数称为复合函数。法则： .

三、导数的应用
1.函数的单调性与导数
（1）设函数在某个区间可导，
如果，则在此区间上为增函数；
如果，则在此区间上为减函数。
（2）如果在某区间内恒有，则为常函数。
2．函数的极点与极值：当函数在点处连续时，
①如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值；
②如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值.
3．函数的最值：
一般地，在区间上连续的函数在上必有最大值与最小值。函数
求函数的一般步骤：①求函数的导数，令导数解出方程的跟②在区间列出的表格，求出极值及的值;③比较端点及极值点处的函数值的大小，从而得出函数的最值
4．相关结论总结：
①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.
②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.
5.定积分
（1）概念
设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…xn＝b把区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上取任一点ξi（i＝1，2，…n）作和式In＝(ξi)△x（其中△x为小区间长度），把n→∞即△x→0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作：，即＝(ξi)△x。
这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式
基本的积分公式：＝C；＝＋C（m∈Q， m≠－1）；dx＝ln＋C；＝＋C；＝＋C；＝sinx＋C；＝－cosx＋C（表中C均为常数）
（2）定积分的性质
①（k为常数）；
②；
③（其中a＜c＜b。
（3）定积分求曲边梯形面积
由三条直线x＝a，x＝b（a<b），x轴及一条曲线y＝f（x）(f(x)≥0)围成的曲边梯的面积。
如果图形由曲线y1＝f1(x)，y2＝f2(x)（不妨设f1(x)≥f2(x)≥0），及直线x＝a，x＝b（a<b）围成，那么所求图形的面积S＝S曲边梯形AMNB－S曲边梯形DMNC＝。
四．【典例解析】
题型1：导数的概念
例1．已知s=，（1）计算t从3秒到3.1秒 、3.001秒 、 3.0001秒….各段内平均速度；（2）求t=3秒是瞬时速度
解析：（1）指时间改变量；
　　　　指时间改变量
　　　　。
其余各段时间内的平均速度，事先刻在光盘上，待学生回答完第一时间内的平均速度后，即用多媒体出示，让学生思考在各段时间内的平均速度的变化情况。
（2）从（1）可见某段时间内的平均速度随变化而变化，越小，越接近于一个定值，由极限定义可知，这个值就是时，的极限，
V==
=（6+=3g=29.4(米/秒)。
例2．求函数y=的导数。
解析：，
，= 。
点评：掌握切的斜率、 瞬时速度，它门都是一种特殊的极限，为学习导数的定义奠定基础。
题型2：导数的基本运算
例3．（1）求的导数；
（2）求的导数；
（3）求的导数；
（4）求y=的导数；
（5）求y＝的导数
解析：（1）,
（2）先化简,

（3）先使用三角公式进行化简.

（4）y’==；
（5）y＝－x＋５－
y’＝３*（x）＇－x＇＋５＇－９）＇＝３*－１＋０－９*（－）＝。
点评：（1）求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；（2）有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导．有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量
例4．写出由下列函数复合而成的函数：
（1）y=cosu,u=1+ （2）y=lnu, u=lnx
解析：（1）y=cos(1+)；
（2）y=ln(lnx)。
点评：通过对y=（3x 2展开求导及按复合关系求导，直观的得到=..给出复合函数的求导法则，题型3：导数的几何意义
例5．（1）函数的单调递增区间是 ( )
A. B.(0,3) C.(1,4) D.
答案 D
解析 ,令,解得,故选D
．

（2）已知函数在R上满足，则曲线
在点处的切线方程是 ( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由得几何，
即，∴∴，∴切线方程，即选A

点评：导数值对应函数在该点处的切线斜率。
例6．若函数的导函数在区间上是增函数，
则函数在区间上的图象可能是 ( )
y
a
b
a
b
a
o
x
o
x
y
b
a
o
x
y
o
x
y
b

A ． B． C． D．
解析 因为函数的导函数在区间上是增函数，即在区间上各点处的斜率是递增的，由图易知选A. 注意C中为常数噢.
（2）曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是 。
解析：（2）曲线和在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=－x+2和y=2x－1，它们与轴所围成的三角形的面积是。
点评：导数的运算可以和几何图形的切线、面积联系在一起，对于较复杂问题有很好的效果。
题型4：借助导数处理单调性、极值和最值
例7．（1）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）³0，则必有（ ）
A．f（0）＋f（2）<2f（1） B. f（0）＋f（2）£2f（1）
C．f（0）＋f（2）³2f（1） D. f（0）＋f（2）>2f（1）
（2）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（　 ）
A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个
（3）已知函数,其中
（1）当满足什么条件时,取得极值?
（2）已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.
解: (1)由已知得,令,得,
要取得极值,方程必须有解,
所以△,即, 此时方程的根为
,,
所以
当时,
x
( ∞,x1)
x 1
(x1,x2)
x2
(x2,+∞)
f’(x)
＋
0
－
0
＋
f (x)
增函数
极大值
减函数
极小值
增函数
所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.
当时,
x
( ∞,x2)
x 2
(x2,x1)
x1
(x1,+∞)
f’(x)
－
0
＋
0
－
f (x)
减函数
极小值
增函数
极大值
减函数
所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.
综上,当满足时, 取得极值.
(2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.
即恒成立, 所以
设,,
令得或(舍去),
当时,,当时,单调增函数;
当时,单调减函数,
所以当时,取得最大,最大值为.
所以
当时,,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以
综上,当时, ; 当时,
【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.

例8．（1）若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 .
解析 解析 由题意该函数的定义域，由。因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点
解法1 （图像法）再将之转化为与存在交点。当不符合题意，当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当如图2，此时正好有一个交点，故有应填
或是。

解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程在内有解，显然可得

（2）函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为
A. B. 1 C. 2 D.
根据定积分的几何意义结合图形可得所求的封闭图形的面积：

，故选A.

点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力
题型5：导数综合题
例9．1、已知二次函数，若不等式的解集为C.
（1）求集合C；
（2）若方程在C上有解，求实数的取值范围；
（3）记在C上的值域为A，若的值域为B，且，求实数的取值范围．
[解]（1）
当时，
当时，
所以集合
（2） ，令
则方程为
当时，， 在上有解，
则
当时，， 在上有解，
则
所以，当或时，方程在C上有解，且有唯一解。
（3）
①当时，函数在单调递增，所以函数的值域
， ∵ ， ∴，解得，即
②当时，任取，

10 若，∵，，，∴
∴，函数在区间单调递减，
∴：又，所以。
20 若，
若则须，∵，∴，.
于是当时，,；
当时，,
因此函数在单调递增；在单调递减. 在达到最小值
要使，则，
因为，所以使得的无解。
综上所述：的取值范围是：

点评：该题是导数与平面向量结合的综合题。
例10．3、已知函数上为增函数.
（1）求k的取值范围；
（2）若函数的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围.
解：（1）由题意
因为上为增函数
所以上恒成立，
即
所以
当k=1时，恒大于0，
故上单增，符合题意.
所以k的取值范围为k≤1.
（2）设

令
由（1）知k≤1，
①当k=1时，在R上递增，显然不合题意

②当k<1时，的变化情况如下表：
x

k
(k,1)
1
(1,+)

+
0
－
0
+

↗
极大

↘
极小

↗
……………………11分
由于图象有三个不同的交点，
即方程
也即有三个不同的实根
故需即
所以解得
综上，所求k的范围为.

点评：该题是数列知识和导数结合到一块。
题型6：导数实际应用题
例11．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？
本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。
解析：设OO1为x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）。
于是底面正六边形的面积为（单位：m2）：
。
帐篷的体积为（单位：m3）：

求导数，得；
令解得x= 2(不合题意，舍去),x=2。
当1<x<2时，,V(x)为增函数；当2<x<4时，,V(x)为减函数
所以当x=2时,V(x)最大。
答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大
点评：结合空间几何体的体积求最值，理解导数的工具作用。
例12．已知某质点的运动方程为下图是其运动轨迹的一部分，若时，恒成立，求d的取值范围.
解：
由图象可知，处取得极值
则
即

点评：本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理能力

题型7：定积分
例13．计算下列定积分的值
（1）；（2）；（3）；（4）；
解析：（1）

（2）因为，所以；
（3）

（4）

例14．（1）一物体按规律x＝bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方．试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所作的功。
（2）抛物线y=ax2＋bx在第一象限内与直线x＋y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a、b值，并求Smax．
解析：（1）物体的速度。
媒质阻力，其中k为比例常数，k>0。
当x=0时，t=0；当x=a时，，
又ds=vdt，故阻力所作的功为：

（2）依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，x2=－b/a，所以(1)
又直线x＋y=4与抛物线y=ax2＋bx相切，即它们有唯一的公共点，
由方程组
得ax2＋(b＋1)x－4=0，其判别式必须为0，即(b＋1)2＋16a=0．
于是代入（1）式得：
，；　
令S'(b)=0；在b＞0时得唯一驻点b=3，且当0＜b＜3时，S'(b)＞0；当b＞3时，S'(b)＜0．故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=－1，b=3时，S取得最大值，且。
点评：应用好定积分处理平面区域内的面积

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