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数列求和的常见类型和方法
一、公式法：
1等差等比数列求和直接用公式.
21+2+3+…+n=n(n+1)2,12+22+32+…+n2=16nn+12n+1,
13+23+33+…+n3=n(n+1)22,1+3+5+…+2n-1=n2.
3Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n,Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+Cn5+…=2n-1
Crr+Cr+1r+…+Cnr=Cn+1r+1Cnk+Cnk+1=Cn+1k+1,Arr+Ar+1r+…+Anr=Cn+1r+1AkkAnk=Cnk∙Akk
Cn0+12Cn1+13Cn2+…+1n+1Cnn=2n+1-1n+11k+1Cnk=1n+1Cn+1k+1
0Cn0+1Cn1+2Cn2+…+nCnn=n2n-1<kCnk=nCn-1k-1>
(4)已知Fan,Sn=0求an.有以下两种常见途径：
途径一：Fan,Sn=0⇒Sn=fanSn-1=fan-1⇒an=fan-fan-1⇒an⇒Sn(n≥2)
途径二：Fan,Sn=0⇒an=fSn⇒Sn-Sn-1=fSn⇒Sn(n≥2)
二、裂项法：
11等差×等差求和用裂项法.设数列an为等差数列an≠0,d≠0,则：
1a1a2+1a2a3+…+1anan+1=1d1a1-1an+11anan+1=1d(1an-1an+1)
211∙2∙3+12∙3∙4+…+1nn+1n+2=1212-1n+1n+2
1nn+1(n+2)=121nn+1-1n+1(n+2)
注：可推广为:设数列an为等差数列an≠0,d≠0,
由于1anan+1an+2=12d(1anan+1-1an+1an+2)
则：1a1a2a3+1a2a3a4+…+1anan+1an+2=12d1a1a2-1an+1an+2而且还可以进一步推广.
311+2+12+3+…+1n+n+1=n+1-11n+n+1=-n+n+1
注：可推广为:设数列an为等差数列an>0,d>0,
由于1an+an+1=1d-an+an+1,
则：1a1+a2+1a2+a3+…+1an+an+1=1d-a1+an+1.
41A22+1A32+…+1An2=1-1n1An2=1n-1-1n,
1C22+1C32+…+1Cn2=2-2n1Cn2=2(1n-1-1n)
12!+23!+34!+…+nn+1!=1-1n+1!nn+1!=n+1-1n+1!=1n!-1n+1!
1∙1!+2∙2!+3∙3!+…+n∙n!=n+1!-1n∙n!=n+1-1n!=n+1!-n!
52121-122-1+2222-1(23-1)+…+2n2n-1(2n+1-1)=1-12n+1-1
2n2n-1(2n+1-1)=12n-1-12n+1-1
总结：裂项法求和的本质就是:将数列的每一项裂成另一数列相邻两项之差,造成相消项,
从而达到化简求和的目的,即Sn=i=1nai=i=1nbi+1-bi=bn+1-b1.
三、形如“a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn”求和：
1等差×等差若an等差,bn等差,则用分组求和法.设an=k1n+b1,bn=k2n+b2,
∵anbn=k1n+b1k2n+b2=k1k2n2+k1b2+k2b1n+b1b2
∴Sn=k1k212+22+…+n2+k1b2+k2b11+2+…+n+b1b2n=…
注：可推广为:“等差×等差×等差”甚至更多等差之积求和用分组求和法.
2等差×等比若an等差,bn等比,则用错位相减法.设an=kn+b,bn=b1qn-1(q≠1),
∵Sn=a1b1+a2b2+…+anbn①
∴qSn= a1b1q+…+an-1bn-1q+anbnq
= a1b2+…+an-1bn+anbn+1 ②
①-②得:1-qSn=a1b1+db2+b3+…+bn-anbn+1
=a1b1+db21-qn-11-q-anbn+1
⇒Sn=a1b1+db21-qn-11-q-anbn+11-q=…
注：可推广为:“等差×等差×等比”甚至更多等差×等比求和用错位相减法
(用两次(甚至多次)错位相减法).
四、形如“a1Cn0+a2Cn1+a3Cn2+…+an+1Cnn”求和：
1等差×组合数若an等差,则用倒序相加法.设公差为d
∵Sn=a1Cn0+a2Cn1+…+anCnn-1+an+1Cnn①
∴Sn=an+1Cnn+anCnn-1+…+a2Cn1+a1Cn0
=an+1Cn0+anCn1+…+a2Cnn-1+a1Cnn ②
∴①+②:2Sn=a1+an+1Cn0+Cn1+…+Cnn-1+Cnn=2a1+nd2n
⇒Sn=2a1+nd2n-1.
2等比×组合数若an等比,则逆用二项式定理.设公比为q
∴Sn=a1Cn0+a1qCn1+a2qCn2+…+a1qCnn
=a1Cn0+Cn1q+Cn2q2+…+Cnnqn=a1(1+q)n
五、数归法：

六、构造法：
1Cn02+Cn12+…+Cnn2=C2nn,
考查恒等式(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n两边xn的系数.
2Cn0Cmm+Cn1Cmm-1+…+CnmCm0=Cm+nmn≥m,
考查恒等式(1+x)m(1+x)n=(1+x)m+n两边xm的系数.
七、特殊方法：
在二项式展开式中,有关系数数列的求和常有以下一些特殊方法:赋值法,导数法等.
设(ax+b)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn①
在①中,令x=1可得:a0+a1+a2+a3+…+an=a+bn②
在②中,令x=-1可得:a0-a1+a2-a3+…+(-1)nan=-a+bn③
联立②,③可解得:a0+a2+a4+…=a+bn+-a+bn2④
a1+a3+a5+…=a+bn--a+bn2⑤
由②,③还可得:a0+a1+a2+a3+…+an=a+bn⑥
对①两边求导得:anax+bn-1=a1+2a2x+3a3x2+…+nanxn-1⑦
再对⑦赋值x=1得:a1+2a2+3a3+…+nan=ana+bn-1⑧
再对⑦赋值x=-1得:a1-2a2+3a3-…+-1n-1nan=an-a+bn-1⑨
当然还可以再对⑦求导,再用赋值法,兹不赘述.
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