高一数学 实数指数幂及其运算(一).doc

高一数学 实数指数幂及其运算（一）

一：教学目标　
　1．知识目标：
(1) 理解n次方根，n次根式的概念及其性质．
　　(2) 能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新 的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化．
　　(3) 能利用有理指数运算性质简化根式运算．
　　 2．能力目标：
通过指数范围的扩大，使学生能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力．
3.情感目标：
通过对根式与分数指数幂的关系的认识，使学生能学会透过表面去认清事物的本质．
二：教学重点难点
重点是分数指数幂的概念分数指数的性质
难点是根式的概念，分数指数的概念
三：教学方法
本节课是对初中内容的加深，学生对相关知识比较熟悉，因此采用以学生活动为主，自主探究、合作交流的教学方法为宜。
四：教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图

复习引入

1.整数指数幂的定义

a0=1(a≠0)
a-n= (a≠0,n∈N)
2.练习：计算下列各式
， ，，，，
3.整数指数幂的性质:
(1)         an.am=an+m(m,n∈Z)
(2)    (am)n=amn
(3)    (ab)m=ambn
提问：中指数n是否可以是分数呢？今天这节课我们就主要来探究这个问题，在此之前我们先来学习根式的概念

师生一起回忆整数指数幂的定义并板书

学生思考回答

回顾初中所学过的整数指数幂概念及其运算，引出问题，导入新课

概念形成

问题1：
在初中我们学过平方根、立方根的概念，它是如何定义的？它有何性质？学生回忆
(1)如果一个数的平方等于a，即，那么数x叫做a的平方根，
(2)如果一个数的立方等于a，即，那么数x叫做a的立方根；
(3)正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
（4）正数和负数的立方根都只有一个，零的立方根是零。
问题2: 以下式子：，，，. 中 与9，2与8，-2与-8，与16，3与243，-3与-243是什么关系？
叫9的平方根，2叫8的立方根，-2叫-8的立方根.
类比：叫16的四次方根，3叫243五次方根，-3叫-243的五次方根。
试想：如果 ，你能试着说出x与a的关系吗？
由此类推：一般地，如果存在实数x,使得，那么叫做的次方根，其中>1，且∈*．求a的n次方根，叫做把a开n次方，称作开方运算。
的次方根用符号表示．
式子叫做根式，这里叫做根指数（，叫做被开方数．
正数a的偶次方根有两个，它们互为相反数，分别表示为， －（>0，n为偶数）
负数的偶次方根在实数范围内不存在；
当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．都表示为（n为奇数）．
根据n次方根的定义，根式具有性质：
（1）
当是奇数时，
当是偶数时，

学生独立思考，逐一回答，教师板书

学生讨论交流后回答

讨论交流“试想”并让多个学生回答

为学生理解根式概念作铺垫

促使学生进一步理解以上概念，并尝试把知识迁移到四次方根和五次方根

由特殊到一般，培养学生归纳、概括的能力

概念
深
化
例如：，

我们还可以把整数指数幂的运算法则推广到正分数指数幂。例如
，
显然，这些运算都不能用整数指数幂的定义来解释。但是如果规定

则上述分数指数幂得运算就能像整数指数幂那样运算了。
分数指数幂的意义
规定：

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．
3．有理指数幂的运算性质
（1）· ；
（2）
（3） 。

师生一起解答

进一步理解根式的性质，为导出分数指数幂做铺垫
应用举例
计算：（见书第87页）
， ，，

教师板书过程
巩固知识点
巩固练习
书第89页练习A第1题中（1）、(2)、(3)小题，第2题，第3题第（1）、(2)、(3)题
学生独立练习后，小组对答，再全班对答
通过自练、互评方式进一步理解所学知识
归纳小结
引导学生回顾本节课所学的知识：
（1） 根式的定义
（2） 分数指数幂的概念
（3） 有理指数幂的运算性质

布置作业
教材第89页第3题和第90页第1题和第2题中的（2）（4）题

3.1.1 实数指数幂及其运算（第2课时）

一、教学目标
1．知识与技能：
① 理解有理指数幂的含义，能运用有理指数幂的运算性质进行运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化；
②了解实数指数幂的意义,体会有理指数幂向无理指数幂逼近的过程.
2．过程与方法：
①通过复习和练习,理解分数指数幂的意义和学会根式与分数指数幂之间的相互转化及有理指数幂运算性质的应用。
②利用计算器或计算机进行实际操作，亲历有理指数幂向无理指数幂逼近的过程，体会数学的逼近思想。
3．情感、态度与价值观：
通过有理指数幂向无理指数幂逼近的过程，体验数学概念的发生、发展的过程，培养学生的思维能力，注重学生数学思想的渗透。
说 明：有关根式的复杂运算及繁琐的根式化简不必多练。
二、教学重点、难点
重点：分数指数幂的概念及分数指数的运算性质。
难点：分数指数概念，对非整数指数幂意义的了解，特别是对无理指数幂意义的了解。
三、教学方法与手段
采用讲练结合、启发式、自主学习及小组合作交流等多种方式，借助计算器、多媒体辅助教学。
四、教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图

复习引入

1．有理指数幂
问题1：将下列根式写成分数指数幂的形式：
，，，，，
？？回顾公式：
补充说明：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
2．有理指数幂的运算法则
问题2：计算（1）；（2）；（3）
？？运算法则：
问题1：， ，， ， ，
公式：
问题2：（1）； （2）； （3）
法则：（1）· ；
（2）
（3） 。

学生思考联系回答问题

教师板书公式

回顾有理指数幂及其运算法则，在巩固理解有理指数幂定义的基础上，让 学生熟练掌
握根式与
分数指数幂的互化和有理指数幂的运算性质．

概念形成

无理指数幂
有理指数幂还可以推广到无理指数幂。例如，是一个什么样的数呢？
结合教材P88实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义。
指出：若a＞0， 是一个无理数，则表示一个确定的实数。一般地，实数指数幂是一个确定的实数．可以证明对任意实数值，上述有理数指数幂的运算法则同样适用于无理数指数幂．

教师给出思想方法，给出表格，学生利用计算器实际操作体验数学逼近的思想。
。

让学生利用计算器或计算机进行实际操作，感受“逼近”的过程。体会“用有理数逼近无理数”的思想。从而理解无理指数幂的存在意义。

概念深化举例

教材P88
例1 利用科学计算器计算（精确到0.001）：

解：

例2 利用科学计算器计算函数值。已知，求，，，，，（精确到0.001）。
解：，，，，，

自学，小组交流动手操作

结合例1例2
学生自学，利用计算器进行实际操作，感受“逼近”过程
进一步理解实数指数幂的意义。

应用举例
现在我们来利用实数指数幂运算法则解决一些问题
计算：（1）；（2）（3）
（4）；（5）
解：（1）（2）（3）（4）
（5）原式===

师生共同回顾分数指数幂运算法则并完成例题

1-4学生可迅速完成，强调同底相除时指数相减，5着重讲解。

通过几个简单例题逐步训练有关有理指数幂运算法则的应用，进而为解决下个例题铺设台阶。

应用举例

例3（教材P89）化简下列各式：
（1）
（2）
解：
（1）原式=
=（利用法则化简）
=24=24；

（2）原式=（配完全平方）
=
=
注：对于计算结果不强求统一形式表示。没有特别要求，就用分数指数幂的形式表示，如果有特殊要求，可根据要求写出结果，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。

先独立思考练习，后师生共同完成

通过例题巩固指数运算法则，掌握并能熟练运用

归纳小结

引导学生回顾本节课所学的知识及数学思想方法：
本节主要回顾了根式与分数指数幂以及指数幂的运算，分数指数幂是根式的另一种表示形式，根式与分数指数幂可以进行互化．在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则．同时了解了从有理指数幂到无理指数幂的逼近过程，知道实数指数幂存在的意义。

学生先自觉回忆本节收获并交流，然后师生共同总结。

巩固本节学习成果，使学生逐步养成爱总结、善总结、会总结的习惯和能力。

布置作业

作业：教材P90练习B第2－3题．
现在资源有限，待开学时将对例题练习作业作进一步补充完善。

巩固有理指数幂的概念及运算法则
五、教学指导建议
在指数幂的教学中，要注意控制分数指数幂运算的难度。要在回顾上节学习的分数指数幂的概念及分数指数幂运算性质的基础上，巩固有理指数幂的概念及运算性质，以及实数指数幂的意义及运算性质，
“无理指数幂”的教学，可让学生进一步体会“无限逼近”的思想，建议指导学生利用计算器或计算机进行实际操作，亲历逼近的过程。

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