导数与单调区间、极值(文).doc

【本讲教育信息】
一. 教学内容：
导数与单调区间、极值

二. 重点、难点：
1. 在某区间（）内，若那么函数在这个区间内单调递增，若，那么函数在这个区间内单调递减。
2. ，在，则称为的极大值。
3. ，在，则称为的极小值。
4. 极值是一个局部性质
5. 时，是为极值的既不充分也不必要条件。

【典型例题】
[例1] 求下列函数单调区间
（1）
解：   ∴   
    ∴
（2）   
∴       
∴
（3）
    定义域为
∴        
[例2] 求满足条件的a的取值范围。
（1）为R上增函数
解：    ∴
时，也成立     ∴ ）
（2）为R上增函数      成立
，成立    ∴
（3）为R上增函数  
     ∴

[例3] 证明下面各不等式
（1），
证：① 令
     ∴ 在
∴ 任取        即：
② 令

∴ 在（0，）上↑    ∴ 任取
即
（2）
令

∴      ∴

[例4] 求下列函数的极值。
（1）
解：        

（，0）
0
（0，1）
1
（1，+）

+

－
0
+

↑

↓

↑
∴    
（2）   

（，0）
0
（0，）

（，1）
1
（1，+）

+
0
－
0
+
0
+

↑

↓

↑

↑
∴      
（3）  

（，）

（，）
（，1）
1
（1，+）

－
0
+
+
0
+

↓

↑
↑

↑
∴

[例5] 在处取得极值10，求。
解：    ∴ 或（舍）
∴

[例6] 曲线（），过P（1，1）在原点取得极小值。求此函数的极大值的最小值。
解：由已知    ∴
    ∴
令  
∴

（）
－2
（－2，0）

－
0
+

↓

↑

[例7] 已知在区间上是增函数，求实数a的取值范围。
解：    ∵ 在[－1，1]上是增函数
∴ 对恒成立，即0对恒成立
设，则  解得

[例8] 已知函数的图象如下图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（    ）

答案：C
[例9] 设是R上的偶函数，（1）求的值；（2）证明在（0，）上是增函数。
解：（1）依题意，对一切，有。即，即。所以对一切，恒成立。由于不恒为0，所以，即。又因为，所以
（2）证明：由，得
当时，有，此时。所以在（0，+）内是增函数

[例10] 已知（）在时取得极值，且
（1）试求常数的值；（2）试判断是函数的极小值还是极大值，并说明理由。
解：（1）     ∵ 是函数的极值点
∴ 是方程，即是方程的两根
由根与系数的关系得       又    ∴ （3）
由（1）（2）（3）解得
（2）∵     ∴
令，得或；令，得
∴ 函数在和上是增函数，在（－1，1）上是减函数
∴ 当时，函数取得极大值，当x=1时，函数取得极小值f（1）=－1

【模拟试题】
1. 设函数在（－，+）内可导，且恒有，则下列结论正确的是（    ）
A. 在R上单调递减                 B. 在R上是常数
C. 在R上不单调                     D. 在R上单调递增
2. 若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是（    ）

3. 函数的单调递减区间为（    ）
    A.     B.     C.     D.
4. 关于函数，下列说法不正确的是（    ）
A. 在区间（）内，为增函数                    
B. 在区间（0，2）内，为减函数
C. 在区间（2，+）内，为增函数
D. 在区间（）（2，+）内，为增函数
5. 设是函数的导函数，的图象如下左图，则的图象最有可能的是（    ）

6. 下列说法正确的是（    ）
A. 当时，则为的极大值
B. 当时，则为f（x）的极小值
C. 当时，则为f（x）的极值
D. 当为函数f（x）的极值时，则有
7. 函数有（    ）
A. 极小值－1，极大值1                   B. 极小值－2，极大值3
C. 极小值－2，极大值2                   D. 极小值－1，极大值3
8. 函数，已知在时取得极值，则（    ）
    A. 5    B. 4    C. 3    D. 2
9. 函数的定义域为（0，+），且，，那么函数（    ）
    A. 存在极大值    B. 存在极小值    C. 是增函数    D. 是减函数
10. 函数有极值的充要条件是（    ）
    A.       B.       C.        D.
11. 函数在（－1，1）内的单调性是         。
12. 已知函数在R上是减函数，则的范围为        。
13. 求下列函数的单调区间。（1），（2）
14. 求函数的极值。
15. 求的极值
16. 已知函数，，求的单调区间和值域。
17. 已知函数在与x=1时都取得极值，求的值与函数的单调区间。
18. 已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程，（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间。
19. 已知函数是R上的奇函数，当x=1时，f（x）取得极值－2。（1）求f（x）的单调区间和极大值；（2）证明对任意，不等式
恒成立。

【试题答案】
1. D    2. A    3. B    4. D    5. C    6. D    7. D    8. A    9. C    10. B
11. 增函数    12.
13. 解：（1）∵ ，令得或，令得
∴ 函数的递增区间为（）和（2，+），递减区间为（0，2）
（2）∵ 函数的定义域为（0，+），，令得或
令得或   
∴ 函数的单调区间为（），单调减区间为（0，）
14. 解：∵ ，令解得
当x变化时，的变化情况如下表：

－2
（－2，2）
2
（2，+）

+
0
－
0
+

单调递增↑
极大值
单调递减↓
极小值
单调递增↑
    因此，当时，函数有极大值，并且；当时，函数有极小值，并且。
15. 解：∵
∴ ，令，解得
当变化时，的变化情况如下表：

－1
（－1，0）
0
（0，1）
1
（1，+）

－
0
－
0
+
0
+

单调递减↓
无极值
单调递减↓
极小值0
单调递增↑
无极值
单调递增↑
    因此，当x=0时，函数有极小值，并且
16. 解：∵
令解得或（舍）当x变化时，的变化情况如下表：

0
（）

（）
1

－
0
+

↓
－4
↑
－3
    ∴ 当时，是减函数，当时，是增函数，当（0，1）时，的值域为
17. 解：（1）∵     ∴
由，得，
，当自变量x变化时，和f（x）的变化情况如下表：

（）

（，1）
1
（1，）

+
0
－
0
+

↑
极大值
↓
极小值
↑
    所以函数f（x）的递增区间是（）和（1，），递减区间是（，1）
18. 解：（1）由f（x）的图象经过P（0，2），知d=2，所以，
由在点M（）处的切线方程为    ∴
即 ∴，解得
故所求的解析式是
（2）    令，解得
当或时，；当时，
故在内是增函数，在（）内是减函数，在（）内是增函数
19. 解：（1）由奇函数定义，应有
即    ∴
因此
由条件为f（x）的极值，必有，故，解得
因此，
当时，，故在单调区间（）上是增函数
当时，，故在单调区间（）上是减函数
当时，，故在单调区间（1，）上是增函数
所以在处取得极大值，极大值为
（2）解：由（1）知，是减函数，且在[－1，1]上的最大值在[－1，1]上的最小值
所以对任意，恒有