篮球循环赛安排问题.doc

论文题目: 篮球循环赛安排问题

姓名1：李麒鹏 学号：10140102013专业：数学与应用数学
姓名2：洪津津 学号：10140102026 专业：数学与应用数学
姓名3：刘娜娜 学号：10140102019专业：数学与应用数学

2012年5月5日

目录

一 .摘要………………………………………………………………………………3

二 .问题重述…………………………………………………………………………3

三 .问题分析…………………………………………………………………………3

四 .模型假设…………………………………………………………………………4

五 .符号说明…………………………………………………………………………4

六 .模型建立…………………………………………………………………………4

七 .模型求解…………………………………………………………………………7

八 .结果分析 验证及模型检验…………………………………………………….7

九 .模型评价…………………………………………………………………………9

十 .参考文献…………………………………………………………………………9

一 .摘要

篮球是世界上公认的三大球类运动之一，在世界各地都有着广泛而深远的影响，在我国篮球也是一项十分普及的运动，深受广大人民群众尤其是青少年的喜爱。
本文主要针对某校十个院系举办的篮球循环赛，考虑到每支球队休息时间的公平性和优劣情况，根据现行赛程安排方法，建立出不同的日程安排模型，再针对其中一个模型展开分析，讨论此模型是否公平，并给出相应的改进办法。n为偶数时采用“逆时针旋转法”进行求解，得到上限为(n-4)/2,则本次比赛的上限为3。在评价赛程安排公平性方面，我们采用方差检验进行模型评价，最终得到相对合理的结果。

关键词：休息时间 公平性 日程安排 逆时针旋转法

二 .问题重述

十个队参加学校举行的篮球循环赛，为了保持比赛的公平性，每队需要得到的休息应大体相同，每队每次打完比赛后至少能隔一场不比赛，需给出至少一个比赛日程表。

三 .问题分析
（一）循环赛的轮数
　　每个参赛队赛毕一场（轮空队除外），称为一轮结束。计算循环赛的轮数，目的在于计划整个比赛所需用的时间或期限，是比赛日程安排的主要依据。
　　其计算方法：Y=轮次数，n=参赛队数
　　如果参赛队为偶数 Y=n-1 即轮次数=参赛队数-1
　　如果参赛队为奇数，则：比赛轮数=参赛队数。
注：双循环赛的轮数是单循环赛轮数的加倍。
本次共有10个参赛队，且只考虑单循环，因此，Y=9.
（二）循环赛的场数
　　循环赛的场数是指参赛队之间互相轮流比赛全部结束的总场数。计算循环赛的比赛总场数，目的在于计划安排人力、物力、比赛日程与场地。
　　其计算方法如下：
　　X=n×（n-1）÷2 X为比赛场数，n为参赛队数。
　　单循环比赛场数=参赛队数×（参赛队数-1）÷2
注：双循环比赛的总场数=参赛队数×（参赛队数-1）
本次共有10个参赛队，且只考虑单循环，因此，X=45.

（三）现在根据场地是否充足，考虑场地分别为1至5个时的日程安排情况。

四 .模型假设

1）假设比赛过程中天气处于理想状况。
2）假设队员的比赛服装足够用，不用考虑晒衣服的时间。
3）假设比赛过程中队员的身体状况良好。
4）假设比赛的时间为一个月。
5) 假设啦啦操表演、犯规暂停所需要的时间相同。

五 .符号说明

A1 A2 A3 A4 …Ai…A10分别表示参加比赛的第i支球队。
N表示比赛时所用场地个数。
Y=轮次数，n=参赛队数
X=比赛场数

六 .模型建立

1 .轮次表的安排方法
单循环比赛轮次、顺序的安排可以采用和是逆时针旋转法：若参赛队（或个人）为偶数，一般都采用此法来安排各轮的比赛表。有10队参加比赛，其第一轮比赛是先将A1、A2、A3、A4、A5号自上而下依次写在左侧，再将A6、A7、A8、A9、A10号自下而上与A5、A4、A3、A2、A1号对应写在右侧，而后用横线分别将左右两个对着的号码连起来，即为第一轮的比赛表（表1）。将第一轮比赛表中的A1号固定不动，其余号码按逆时针方向轮转一个位置，即为第二轮比赛表，以后各轮次依此类推。这种旋转法的优点是比赛越临近结束，队与队之间实力接近，比赛越紧张激烈。
　　表1 10个队单循环比赛

第一轮
第二轮
第三轮
第四轮
第五轮
第六轮
第七轮
第八轮
第九轮
A1--A10
A1--A9
A1--A8
A1—A7
A1--A6
A1--A5
A1--A4
A1--A3
A1—A2
A2--A9
A10—A8
A9—A7
A8—A6
A7—A5
A6—A4
A5--A3
A4--A2
A3—A10
A3--A8
A2—A7
A10—A6
A9—A5
A8—A4
A7—A3
A6--A2
A5--A10
A4—A9
A4--A7
A3—A6
A2—A5
A10—A4
A9—A3
A8—A2
A7--A10
A6--A9
A5—A8
A5--A6
A4—A5
A3—A4
A2—A3
A10--A2
A9—A10
A8--A9
A7--A8
A6—A7

2 .十支球队比赛时的赛程安排
1）当场地充足时，即N>=5，我们很容易就能给出一个每队每次打完比赛后至少能隔一场不比赛的赛程，N=5时，结果如下：
表2
场地

1
2
3
4
5
第一天
上午
A1--A10
A2--A9
A3--A8
A4--A7
A5--A6
下午
A1--A9
A10--A8
A2--A7
A3--A6
A4--A5
第二天
上午
A1--A8
A9--A7
A10--A6
A2--A5
A3--A4

下午
A1--A7
A8--A6
A9--A5
A10--A4
A2--A3
第三天
上午
A1--A6
A7--A5
A8--A4
A9-A-3
A10--A2
下午
A1--A5
A6--A4
A7--A3
A8--A2
A9--A10
第四天
上午
A1--A4
A5--A3
A6--A2
A7--A10
A8--A9

下午
A1--A3
A4--A2
A5--A10
A6--A9
A7--A8
第五天
上午
A1--A2
A3--A10
A4--A9
A5--A8
A6--A7

2）当场地不足时，即N<5
N=4时，赛程安排如下：
表3
场地

1
2
3
4
第一天
上午
A1--A10
A2--A9
A3--A8
A4--A7
下午
A5--A6
A1--A9
A10--A8
A2--A7
第二天
上午
A3--A6
A4--A5
A1--A8
A9--A7
下午
A10--A6
A2--A5
A3--A4
A1--A7
第三天
上午
A8--A6
A9--A5
A10--A4
A2--A3
下午
A1--A6
A7--A5
A8--A4
A9--A3
第四天
上午
A10--A2
A8--A2
A6--A4
A7--A3
下午
A8--A2
A9--A10
A1--A4
A5--A3
第五天
上午
A6--A2
A7--A10
A8--A9
A1--A3
下午
A4--A2
A5--A10
A6--A9
A7--A8
第六天
上午
A1--A2
A3--A10
A4--A9
A5--A8
下午
A6--A7

N=3时，赛程安排如下：
表4
场地

1
2
3
第一天
上午
A1--A10
A2--A9
A3--A8
下午
A4--A7
A5--A6
A1--A9
第二天

上午
A10--A8
A2--A7
A3--A6
下午
A4--A5
A1--A8
A9--A7
第三天
上午
A10--A6
A2--A5
A3--A4
下午
A1--A7
A8--A6
A9--A5
第四天
上午
A10--A4
A2--A3
A1--A6
下午
A7--A5
A8--A4
A9--A3
第五天
上午
A10--A2
A1--A5
A6--A4
下午
A7--A3
A8--A2
A9-A10
第六天
上午
A1--A4
A5--A3
A6--A2
下午
A7--A10
A8--A9
A1--A3
第七天
上午
A4--A2
A5--A10
A6--A9
下午
A7--A8
A1--A2
A3--A10
第八天
上午
A4--A9
A5--A8
A6--A7

N=2时，赛程安排如下：
表5
场地

1
2
第一天
上午
A1--A10
A2--A9
下午
A3--A8
A4--A7
第二天
上午
A5--A6
A1--A9
下午
A10--A8
A2--A7
第三天
上午
A3--A6
A4--A5
下午
A1--A8
A9--A7
第四天
上午
A10--A6
A2--A5
下午
A3--A4
A1--A7
第五天
上午
A8--A6
A9--A5
下午
A10--A4
A2--A3
第六天
上午
A1--A6
A7--A5
下午
A8--A4
A9--A3
第七天
上午
A10--A2
A1--A5
下午
A6--A4
A7--A3
第八天
上午
A8--A2
A9--A10
下午
A1--A4
A5--A3
第九天
上午
A6--A2
A7--A10
下午
A8--A9
A1--A3
第十天
上午
A4--A2
A5--A10
下午
A6--A9
A7--A8
第十一天
上午
A1--A2
A3--A10
下午
A4--A9
A5--A8
第十二天
上午
A6—A7

N=1时，赛程安排如下：
依据表1，从第一轮至第九轮依次进行比赛，并且每一轮中按从上到下的依次顺序进行比赛，每天比赛两场，上、下午各一场，总共需要比赛23天。
七 .模型求解

目前，只讨论N=3时的情况：
用MATLAB编写程序查找A1的赛程情况（其他队也如此）：

在命令窗口输入：
>> A1=[2 0 1 0 2 0 1 0 2 0 1] %A1比赛顺序（按时间先后顺序排列）

A1 =

2 0 1 0 2 0 1 0 2 0 1
>> a1=length(find(A1==0)) %A1每两场比赛之间休息的总场数

a1 =

5
>> a2=length(find(A1==1)) %A1只比赛一场就休息的总次数

a2 =

3

>> a3=length(find(A1==2)) %A1连续比赛两场后休息的总次数
a3 =

3

>> a4=length(find(A1==3)) %A1连续比赛三场后休息的总次数

a4 =

0

八 .结果分析 验证及模型检验
比赛顺序中，“0”表示休息；“1”表示比赛一场；“2”表示连续比赛两场；“3”表示连续比赛三场。
表6

A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10

比
赛
顺
序
（按时间先后顺序排列）
2
1
1
0
0
0
0
1
2
1
0
0
0
1
1
2
3
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
2
1
1
0
0
0
2
3
3
1
0
0
0
2
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
3
2
1
1
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
2
3
3
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
2
1
0
0
0
0
1
2
3
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0

2
1

每两场比赛之间休息的总场数
5
5
5
6
6
6
6
6
6
5
“1”总数
3
4
4
4
4
4
4
5
5
4
“2”总数
3
1
1
1
1
1
1
2
2
1
“3”总数
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
总比赛场数

9

9
9
9
9
9
9
9
9
9

整个赛程的公平性指标：
当有10个参赛队时，无法保证任意一个队不连续比赛。而且，10个参赛队虽然都比赛9场，但是每两场比赛间休息时间不完全相同，因此，我们通过分别对休息场数、比赛一场、连续比赛两场、连续比赛三场的次数进行统计，从而衡量此赛程对每个队的公平性。
从表6中分析：
A1的赛程的先后顺序是：连续比赛2场、休息1场、比赛1场、休息1场、连续比赛2场、休息1场、比赛1场、休息1场、连续比赛2场、休息1场、比赛1场，结束。
A1的整个赛程中，共休息了5场，连续比赛2场的有3次，无连续比赛3场的情况，其余的3场都只比赛了1场就进行休息。
十个参赛队之间的比较中可以看出A2、A3、A4、A5、A6、A7、A10七个参赛队的公平性是相同的；A8、A9两个参赛队的公平性是相同的；A1与其他九个参赛队的公平性都不相同。
此赛程中，A8、A9两个参赛队比A2、A3、A4、A5、A6、A7、A10七个参赛队更有优越性。一方面，A8、A9两个参赛队无连续比赛3场的情况，因此，这两支参赛队队员的体力会比较好点；另一方面，A8、A9两个参赛队只比赛1场后就进入休息状态的次数最多，因此，这两支参赛队队员的体力更充沛。

九 .模型评价

此模型可以作为比赛中单循环赛参赛队的比赛赛程，该赛程对参赛的各个队都相对公平，但是还无法做到绝对公平
。
十 .参考文献

1、钟发平,廖从攀,任晓梅;赛程安排模型[J];达县师范高等专科学校学报;2003年02期
2、程焕林,杨丽君,程仕贵;关于赛程安排的数学模型[J];达县师范高等专科学校学报;2003年02期
3、数学软件Matlab

9