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《电磁场与电磁波》习题解答 第七章 正弦电磁波

7.1 求证在无界理想介质内沿任意方向en（en为单位矢量）传播的平面波可写成。
解 Em为常矢量。在直角坐标中

故

则

而

故

可见，已知的满足波动方程

故E表示沿en方向传播的平面波。
7.2 试证明：任何椭圆极化波均可分解为两个旋向相反的圆极化波。
解 表征沿+z方向传播的椭圆极化波的电场可表示为

式中取

显然，E1和E2分别表示沿+z方向传播的左旋圆极化波和右旋圆极化波。
7.3 在自由空间中，已知电场，试求磁场强度。
解 以余弦为基准，重新写出已知的电场表示式

这是一个沿+z方向传播的均匀平面波的电场，其初相角为。与之相伴的磁场为

7.4 均匀平面波的磁场强度H的振幅为，以相位常数30rad/m在空气中沿方向传播。当t=0和z=0时，若H的取向为，试写出E和H的表示式，并求出波的频率和波长。
解 以余弦为基准，按题意先写出磁场表示式

与之相伴的电场为

由得波长和频率分别为

则磁场和电场分别为

7.5 一个在空气中沿方向传播的均匀平面波，其磁场强度的瞬时值表示式为

（1）求和在时，的位置；（2）写出E的瞬时表示式。
解（1）
在t=3ms时，欲使Hz=0，则要求

若取n=0，解得y=899992.m。
考虑到波长，故

因此，t=3ms时，Hz=0的位置为

（2）电场的瞬时表示式为

7.6 在自由空间中，某一电磁波的波长为0.2m。当该电磁波进入某理想介质后，波长变为0.09m。设，试求理想介质的相对介电常数以及在该介质中的波速。
解 在自由空间，波的相速，故波的频率为

在理想介质中，波长，故波的相速为

而

故

7.7 海水的电导率，相对介电常数。求频率为10kHz、100kHz、1MHz、10MHz、100MHz、1GHz的电磁波在海水中的波长、衰减系数和波阻抗。
解 先判定海水在各频率下的属性

可见，当时，满足，海水可视为良导体。此时

f=10kHz时

f=100kHz时

f=1MHz时

f=10MHz时

当f=100MHz以上时，不再满足，海水属一般有损耗媒质。此时，

f=100MHz时

f=1GHz时

7.8 求证：电磁波在导电媒质内传播时场量的衰减约为55dB/λ。
证明 在一定频率范围内将该导电媒质视为良导体，此时

故场量的衰减因子为

即场量的振幅经过z =λ的距离后衰减到起始值的0.002。用分贝表示。

7.9 在自由空间中，一列平面波的相位常数，当该平面波进入到理想电介质后，其相位常数变为。设，求理想电介质的和波在电介质中的传播速度。
解 自由空间的相位常数
，故

在理想电介质中，相位常数，故

电介质中的波速则为

7.10 在自由空间中，某均匀平面波的波长为12cm；当该平面波进入到某无损耗媒质时，波长变为8cm，且已知此时的，。求该均匀平面波的频率以及无损耗媒质的、。
解 自由空间中，波的相速，故波的频率为

在无损耗媒质中，波的相速为

故
（1）
无损耗媒质中的波阻抗为
（2）
联解式（1）和式（2），得

7.11 一个频率为f=3GHz，ey方向极化的均匀平面波在，损耗正切的非磁性媒质中沿方向传播。求：（1）波的振幅衰减一半时，传播的距离；（2）媒质的本征阻抗，波的波长和相速；（3）设在x=0处的，写出H(x,t)的表示式。
解 （1）
故

而

该媒质在f=3GHz时可视为弱导电媒质，故衰减常数为

由得

（2）对于弱导电媒质，本征阻抗为

而相位常数

故波长和相速分别为

（3）在x=0处，

故

则

故

7.12 有一线极化的均匀平面波在海水()中沿+y方向传播，其磁场强度在y=0处为

（1）求衰减常数、相位常数、本征阻抗、相速、波长及透入深度；（2）求出H的振幅为0.01A/m时的位置；（3）写出E(y,t)和H(y,t)的表示式。
解 （1）
可见，在角频率时，海水为一般有损耗媒质，故

（2）由即得

（3）
其复数形式为

故电场的复数表示式为

则

7.13 在自由空间（z<0）内沿+z方向传播的均匀平面波，垂直入射到z=0处的导体平面上。导体的电导率，。自由空间E波的频率f=1.5MHz，振幅为1V/m；在分界面(z=0)处，E由下式给出

对于z>0的区域，求。
解
可见，在f=1.5MHz的频率该导体可视为良导体。故

分界面上的透射系数为

入射波电场的复数表示式可写为

则z>0区域的透射波电场的复数形式为

与之相伴的磁场为

则

7.14 一圆极化波垂直入射到一介质板上，入射波电场为

求反射波与透射波的电场，它们的极化情况又如何？
解 设媒质1为空气，其本征阻抗为；介质板的本征阻抗为。故分界面上的反射系数和透射系数分别为

式中

都是实数，故也是实数。
反射波的电场为

可见，反射波的电场的两个分量的振幅仍相等，相位关系与入射波相比没有变化，故反射波仍然是圆极化波。但波的传播方向变为-z方向，故反射波也变为右旋圆极化波。而入射波是沿+z方向传播的左旋圆极化波。
透射波的电场为

式中，是媒质2中的相位常数。可见，透射波是沿+z方向传播的左旋圆极化波。
7.15 均匀平面波的电场振幅，从空气中垂直入射到无损耗的介质平面上（介质的），求反射波和透射波的电场振幅。
解

反射系数为

透射系数为

故反射波的电场振幅为

透射波的电场振幅为

7.16 最简单的天线罩是单层介质板。若已知介质板的介电常数，问介质板的厚度应为多少方可使频率为3GHz的电磁波垂直入射到介质板面时没有反射。当频率分别为3.1GHz及2.9GHz时，反射增大多少？

题7.16图

解 天线罩示意图如题7.16图所示。介质板的本征阻抗为，其左、右两侧媒质的本征阻抗分别为和。设均匀平面波从左侧垂直入射到介质板，此问题就成了均匀平面波对多层媒质的垂直入射问题。
设媒质1中的入射波电场只有x分量，则在题7.16图所示坐标下，入射波电场可表示为

而媒质1中的反射波电场为

与之相伴的磁场为

故媒质1中的总电场和总磁场分别为
（1）
同样，可写出媒质2中的总电场和总磁场
（2）
媒质3中只有透射波
（3）
在式（1）、（2）、（3）中，通常已知入射波电场振幅，而、、和为待求量。利用两个分界面①和②上的四个边界条件方程即可确定它们。
在分界面②处，即z=0处，应有。由式（2）和（3）得
（4）
由式（4）可得出分界面②上的反射系数
（5）
在分界面①处，即z=-d处，应有，。由式（1）和（2）得
（6）
将分界面①上的总电场与总磁场之比定义为等效波阻抗（或称总场波阻抗），由式（1）得
（7）
将式（6）代入式（7）得
（8）
将式（5）代入式（8），并应用欧拉公式，得
（9）
再由式（7）得分界面①上的反射系数
（10）
显然，若分界面①上的等效波阻抗等于媒质1的本征阻抗，则，即分界面①上无反射。
通常天线罩的内、外都是空气，即，由式（9）得

欲使上式成立，必须。故

频率f0=3GHz时

则

当频率偏移到f1=3.1GHz时，

故

而

故此时的等效波阻抗为

反射系数为

即频率偏移到3.1GHz时，反射将增大6%。
同样的方法可计算出频率下偏到时，反射将增加约5%。
[讨论]
（1）上述分析方法可推广到n层媒质的情况，通常是把坐标原点O选在最右侧的分界面上较为方便。
（2）应用前面导出的等效波阻抗公式（9），可以得出一种很有用的特殊情况（注意：此时）。
取，则有

由式（9）得

若取，则

此时，分界面①上的反射系数为

即电磁波从媒质1入射到分界面①时，不产生反射。可见，厚度的介质板，当其本征阻抗时，有消除反射的作用。
7.17 题7.17图所示隐身飞机的原理示意图。在表示机身的理想导体表面覆盖一层厚度的理想介质膜，又在介质膜上涂一层厚度为d2的良导体材料。试确定消除电磁波从良导体表面上反射的条件。
解 题7.17图中，区域（1）为空气，其波阻抗为

区域（2）为良导体，其波阻抗为

区域（3）为理想介质，其波阻抗为

区域（4）为理想导体，其波阻抗为

利用题7.16导出的公式（9），分界面②上的等效波阻抗为

应用相同的方法可导出分界面③上的等效波阻抗计算公式可得
（1）
式中的是良导体中波的传播常数，为双曲正切函数。将代入式（1），得
（2）
由于良导体涂层很薄，满足，故可取，则式（2）变为
（3）
分界面③上的反射系数为

可见，欲使区域（1）中无反射，必须使

故由式（3）得
（4）
将良导体中的传播常数和波阻抗代入式（4），得

这样，只要取理想介质层的厚度，而良导体涂层的厚度，就可消除分界面③上的反射波。即雷达发射的电磁波从空气中投射到分界面③时，不会产生回波，从而实现飞机隐身的目的。此结果可作如下的物理解释：由于电磁波在理想导体表面（即分界面①上产生全反射，则在离该表面处（即分界面②出现电场的波腹点。而该处放置了厚度为d2的良导体涂层，从而使电磁波大大损耗，故反射波就趋于零了。
7.18 均匀平面波从自由空间垂直入射到某介质平面时，在自由空间形成驻波。设驻波比为2.7，且介质平面上有驻波最小点；求介质的介电常数。
解 自由空间的总电场为

式中

是分界面上的反射系数。
驻波比的定义为

得

据此求得

因介质平面上是驻波最小点，故应取

反射系数

得

则

7.19 如题7.19图所示，z>0区域的媒质介电常数为，在此媒质前置有厚度为d、介电常数为的介质板。对于一个从左面垂直入射过来的TEM波，试证明当且时，没有反射（为自由空间的波长）。

解 媒质1中的波阻抗为
（1）
媒质2中的波阻抗为
（2）
当时，由式（1）和（2）得
（3）
而分界面O1处（即处）的等效波阻抗为

当、即时
（4）
分界面O1处的反射系数为
（5）
将式（3）和（4）代入式（5），则得

即时，分界面O1上无反射。的介质层称为匹配层。
7.20 垂直放置在球坐标原点的某电流元所产生的远区场为

试求穿过r=1 000m的半球壳的平均功率。
解 将电场、磁场写成复数形式

平均坡印廷矢量为

故穿过r=1000m的半球壳的平均功率为

式中dS为球坐标的面积元矢量，对积分有贡献是

故

7.21 在自由空间中，。试求平面内的边长为30mm和15mm长方形面积的总功率。
解 将已知的电场写成复数形式

得与相伴的磁场

故平均坡印廷矢量为

则穿过z=0平面上的长方形面积的总功率为

7.22 均匀平面波的电场强度为

（1）运用麦克斯韦方程求出H：（2）若该波在z=0处迁到一理想导体平面，求出z<0区域内的E和H；（3）求理想导体上的电流密度。
解 （1）将已知的电场写成复数形式

由得

写成瞬时值表示式

（2）均匀平面波垂直入射到理想导体平面上会产生全反射，反射波的电场为

即区域内的反射波电场为

与之相伴的反射波磁场为

至此，即可求出区域内的总电场E和总磁场H。

故

同样

故

（3）理想导体平面上的电流密度为

7.23 在自由空间中，一均匀平面波垂直投射到半无限大无损耗介质平面上。已知在平面前的自由空间中，合成波的驻波比为3，无损耗介质内透射波的波长是自由空间波长的。试求介质的相对磁导率和相对介电常数。
解 在自由空间，入射波与反射波合成为驻波，驻波比为

由此求出反射系数

设在介质平面上得到驻波最小点，故取。而反射系数为

式中的，则得

求得

得
（1）
又

得
（2）
联解式（1）和（2）得

7.24 均匀平面波的电场强度为，该波从空气垂直入射到有损耗媒质的分界面上（z=0），如题7.24图所示。（1）求反射波和透射波的电场和磁场的瞬时表示式；（2）求空气中及有损耗媒质中的时间平均坡印廷矢量。

解（1）根据已知条件求得如下参数。
在空气中（媒质1）

在有损耗媒质中

分界面上的反射系数为

透射系数为

故反射波的电场和磁场的复数表示式为

则其瞬时表示式为

而媒质2中的透射波电场和磁场为

故其瞬时表示式为

（2）

7.25 一右旋圆极化波垂直入射到位于z=0的理想导体板上，其电场强度的复数表示式为

（1）确定反射波的极化方式；（2）求导体板上的感应电流；（3）以余弦为基准，写出总电场强度的瞬时值表示式。
解 （1）设反射波的电场强度为

据理想导体的边界条件，在z=0时应有

故得

则

可见，反射波是一个沿方向传播的左旋圆极化波。
（2）入射波的磁场为

反射波的磁场为

故合成波的磁场为

则导体板上的感应电流为

（3）合成电场的复数表示式为

故其瞬时表示式为

7.26 如题7.26图所示，有一正弦均匀平面波由空气斜入射到z=0的理想导体平面上，其电场强度的复数表示式为

（1）求波的频率和波长；（2）以余弦函数为基准，写出入射波电场和磁场的瞬时表示式；（3）确定入射角；（4）求反射波电场和磁场的复数表示式；（5）求合成波电场和磁场的复数表示式。

解 （1）由已知条件知入射波的波矢量为

故波长为

频率为

（2）入射波传播方向的单位矢量为

入射波的磁场复数表示式为

则得其瞬时表示式

而电场的瞬时表示式为

（3）由，得
故
（4）据斯耐尔反射定律知，反射波的波矢量为

而垂直极化波对理想导体平面斜入射时，反射系数。故反射波的电场为

与之相伴的磁场为

（5）合成波的电场为

合成波的磁场为

7.27 一个线极化平面波从自由空间入射到的电介质分界面上，如果入射波的电场矢量与入射面的夹角为45°。试求：（1）入射角为何值时，反射波只有垂直极化波；（2）此时反射波的平均功率流是入射波的百分之几？
解 （1）由已知条件知入射波中包括垂直极化分量和平行极化分量，且两分量的大小相等。当入射角等于布儒斯特角时，平行极化波将无反射，反射波中就只有垂直极化分量。

（2）时，垂直极化分量的反射系数为

故反射波的平均功率流为

而入射波的平均功率流为

可见，

7.28 垂直极化波从水下的波源以入射角投射到水与空气的分界面上。水的，试求：（1）临界角；（2）反射系数；（3）透射系数；（4）波在空气中传播一个波长距离时的衰减量。
解 （1）临界角为

（2）反射系数为

（3）透射系数为

（4）由于，故此时将产生全反射。由斯耐尔折射定律得

此时

式中取“”，是考虑到避免时，场的振幅出现无穷大的情况。这是因为空气中的透射波电场的空间变化因子为

由上式即得透射波传播一个波长时的衰减量为