判断下列幂级数的收敛域.doc

第八章 幂级数
1． 判断下列幂级数的收敛域
（1） （2）
解：（1）这是不缺项的幂级数，可按公式来做。
，所以收敛半径R=3，收敛区间为。
在处，级数为，收敛。在处，级数为，发散。
故收敛域为
（2）这是缺项的幂级数，按数项级数判别法来做。
。
当，即时，幂级数收敛。
当时，，从而，幂级数发散。
当时，原级数成为，发散。
该幂级数的收敛域为，收敛半径为。

2． 将函数展开成幂级数。
解：，再逐项积分

但在处，右边级数收敛，所以和函数在处连续。
而在处连续，于是

所以有
。
注：展开式在开区间内部可以逐项积分，逐项求导。但由此得到的信新的展开式在端点处是否成立？
要检查：若端点处级数收敛，被展开的函数在该端点连续（左端点处右连续，右端点处左连续）。

3． 求幂级数的收敛域，并求其和函数。
解：，所以收敛半径R=2。
在处，发散，在处，收敛，故幂级数的收敛域为。
记，
则，由逐项求导可得

两边从0到积分
，
即 ，
故 ,
其中时的值来源于原始级数。由于幂级数的逐项积分，逐项求导只能在收敛区间（开区间）内进行，所以上述右边的区间写的是开区间。
但是处原级数收敛，并且在连续，故在亦成立，即有

4． 设，试将展开成的幂级数，并求级数的和。
解：
在处，上述级数收敛，在处亦连续，
可知。
于是

但时，上述右边级数收敛于，故。
因此。