高一数学学习单根的分布(完全解析).doc

高一数学学习单 一元二次方程根的分布
姓名________________班级___________2011年10月14日
一、自我诊断：
1．关于的方程一根大于1，一根小于，求实数的取值范围．
解析：设，
则，即，所以．
二、问题讨论：
根的分布有哪些类型？各种类型的基本思路是什么？
（1）两数之间；（2）两数之外；（3）大于某数；（4）某数两边（5）分别落在两个区间．
三、例题分析：
例1、当取什么实数时，方程分别有：
①两个正实根； ②一正根和一负根；③正根绝对值大于负根绝对值；④两根都大于1．
解析：设方程的两根为、
①若方程有两个正根，则需满足：

．
∴此时的取值范围是，即原方程不可能有两个正根．
②若方程有一正根和一负根，则需满足：
．
∴此时的取值范围是（-，5）．
③若方程的正根绝对值大于负根绝对值，则需满足：
．
∴此时的取值范围是（-，2）．
④错解：若方程的两根都大于1，则需满足：
∈（，6）
∴此时的取值范围是（，6），即原方程不可能两根都大于1．
正解：若方程的两根都大于1，则需满足：
．
∴此时的取值范围是，即原方程不可能两根都大于1．
说明：解这类题要充分利用判别式和韦达定理．
例2、若对任意，恒有，求的取值范围．
解：
方法一（根的分布）（根与端点的关系），，
①当时，不能恒成立；②当时，，所以，解得；③当时，，所以，解得．
方法二（根的分布2），解得或．

四、巩固练习：
1、若方程的一个根大于4，另一个根小于4，求实数的取值范围．
解析：设，依题意得，即
2、若方程的两个实根都在上，求实数的取值范围．
方法1：根与区间关系
两根是，，
所以，解得
方法2：根与系数关系
解得：，即．
拓展1：若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

拓展2：若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

3、当为何值时，关于的方程的两根分别在落在，上．
解析：，即，解得：．

五、课后作业：
1．已知方程的两个实根都大于2，求实数的取值范围．
解：方法一：设方程的两根分别为和，依题意，

方法二：，即，解得
2．不等式对满足的所有都成立，求的取值范围．
解析：设，若，或
图像永远在下方，故可以．
若，函数是一个一次函数，或，解得：或
3．已知关于的二次方程，（1）其中一根在内，另一根在内，求的范围．（2）若方程两根均在内，求的范围．
解析：（1），即，解得：．
（2），即，解得：．