高数06-07学年第二学期期末(工).doc

北京工业大学06级第二学期期末考试
北京工业大学2006-2007学年第二学期
《高等数学》期末试卷
学号______________ 姓名______________ 成绩____________

得分

一、单项选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请将正确结果的字母写在括号内。

1．假定函数f (x,,y)在点处取得极大值，此时下列结论正确的是 【 】
（A）在处导数等于零. （B）在处导数大于零.
（C）在处导数小于零. （D）在处导数未必存在.
2． (其中为)的值等于 【 】
（A） 2 （B） 1 （C） 0 （D） -1
3．级数 的敛散情况是 【 】
（A）条件收敛 （B）绝对收敛 （C）发散 （D）敛散性不能确定

4．将三重积分，其中，
化为球面坐标下的三次积分为 【 】
（A） （B）
（C） （D）

5．定义在上的函数展开为以为周期的傅立叶级数，其和函数记为，则 【 】

（A）0 (B) （C） （D）

得分

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中的横线上.

6．曲线在点处的切线方程为___________________ ， 法平面方程为 ______________ .
7．设为球面的表面,则 =________.
8．函数的麦克劳林级数的第5项为 _______ ，收敛域为 _______ .
9．已知函数（其中是大于的实数）,有一个极值点， 则____________， 此时函数 的极大值为 .
10．确定了隐函数，则在点处的全微分为 _________ .

得 分

三、计算下列各题：本大题共6小题，每小题9分，共54分. 解答应写出主要过程或演算步骤.
11．设函数，其中具有二阶连续偏导数，求，．

得 分

12．计算二次积分,其中实数，并求极限

13．利用高斯公式计算曲面积分 其中是锥面介于平面与平面之间部分的外侧.

14．已知曲线积分 与积分路径无关， 其中是二阶可导函数，且，.
1.求；
2.求.

15． 求（1）幂级数的收敛域；
（2）幂级数的和函数；
（3）级数的和.

16．函数具有连续的导数，满足，且， 求的值及函数.

四、 证明题: 本题共1题，6分.
17. 已知无穷级数满足 , 其中实数, 证明: 级数 当时收敛; 当时发散, 但 总收敛.

北京工业大学2006-2007学年第二学期
《高等数学》期末试卷 参考答案

一、单项选择题
1． D 2． C 3．A 4． C （）5． B

二、填空题
6．
7．
8．
9． 3
10．

三、计算题
11． 解：设 ， 则

12． 解：

从而。

13． 解：补平面上侧。

.

14．解：1. .
.
，代入方程得.
通解.

2.

15． 解：
(1) 收敛半径为 ， 收敛区间为 (-2， 2) .
(2) 容易知道 ，
两边求导有得的和函数为
（3） 利用 （2） 有 .
16．解：
首先由关系式有 ， 由此可以得到 同时
由 ， 我们有

两边同时对求导化简得：
利用常数变易法可得
再由得 ， 从而得到

四、 证明题
17. 证明：
所以 ， ， 由有关判别法易知。