第三章 流体流动的基本概念与基本方程.doc

Chapter 3
Basic Concepts and Equations of Fluids in Motion
第三章
流体流动的基本概念与方程
质量守恒定律、牛顿第二定律、能量守恒定律等是物质运动的普遍原理，流体作为一类物质也应该遵循这些原理。这些原理刚体运动的方程式在物理学和理论力学中大家已经学习过，适用于流体运动的方程式将在本章讨论。本章首先介绍描述流体流动的一些基本概念，然后推导出流体流动的基本方程，即连续方程、动量方程、能量方程等。这些基本概念与方程在流体运动学中的研究中是十分重要的。

3.1 描述流体流动的方法
在流体力学的研究中，描述流体的运动一般有两种方法，即拉格朗日法与欧拉法。

3.1.1 拉格朗日法
拉格朗日法着眼于单个流体质点是怎样运动的，以及流体质点的特性是如何随时间变化的。为了区别流体质点，使用某特定质点在某瞬时的坐标(a, b, c)是比较方便的，坐标(a, b, c)描述的只是某一特定的质点。

在任何瞬时质点的位置可表示为
(3.1)
对于一给点的坐标(a, b, c)，上述方程组代表的是一特定流体质点的轨迹。

此时，质点是速度可以通过将质点是位置矢量对时间求导数得到。在笛卡尔坐标系中，质点的速度可表示为
(3.2)
加速度为
(3.3)

3.1.2欧拉法
流体是由无数流体质点组成的连续介质，充满流动流体的空间称为流场。
表示流体速度的一种方法就是着眼于空间的某一点，观察流经该点的流体质点随时间的运动。这种研究流体质点运动的方法称为欧拉法。在更一般的意义上，欧拉法可以通过以下方面描述整个流场：

(1) 在空间某一点流动参数，如速度、压强等，随时间的变化；
(2) 这些参数相对于空间邻近点的变化。

此时，流动参数是空间点的坐标与时间的函数：
(3.4)
或
(3.4a)
(3.5)
流体质点随时间将从一点运动到另一点，这意味着流体质点的位置也是时间的函数。
利用多元函数的微分连锁律，可将流体质点在x方向的加速度表示为：
(3.6a)
同样
(3.6b)
(3.6c)
或写成矢量的形式
(3.7)
式中 称为梯度，或Ñ运算符。
方程(3.6)右端包含两种不同类型的两项：速度关于位置的变化与速度关于时间的变化。第一类的项称为迁移加速度，因为它们是与流场位置变化所引起的速度变化有关。方程(3.6)右端的最后三项即迁移加速度。第二类项是由给定点的速度随时间变化而引起的加速度，称为当地加速度。方程(3.6)右端的第一项即为当地加速度。

在欧拉法中，任何物理量导数的一般形式为
(3.8)
式中称为当地导数，称为迁移导数。例如，密度的导数为
(3.9)

Example3.1
Suppose the velocity distribution in a flow field is . What is the acceleration at point (3, 1, 2).
例 3.1
设流场中速度分布为，求点(3，1，2)的加速度。
Solution : 解
According to equation (3-6)，we have
由方程（3-6），有
=0+x2y(2xy) +(-3y) ×x2+0=27 m/s2
=0+x2y×0+(-3y)×(-3)+2z2×0=9 m/s2
=0+ x2y×0+(-3y) ×0+2z2×4z=64 m/s2
So, the acceleration of point (3,1,2)
因此，点(3，1，2)的加速度为

3.2 流体流动的分类与基本概念
3.2.1 流体流动的分类
根据分类的观点的不同，流体的流动可分为许多种类，包括：

1. 基于流体的特性
无粘流体是忽略粘性作用的理想流体，没有粘性的流动称为理想流动，反之则称为粘性流动。流动也可以分为不可压缩流动（如液体）或可压缩流动（如气体）。
2. 基于流动状态
根据流动状态的不同，流动可分为：定常流动与非定常流动、均匀流动与非均匀流动、有旋流动与无旋流动、层流与湍流、亚音速、跨音速与超音速流动等。
3.基于空间变量的数目
根据流动参数所依赖于空间变量的个数，流体流动可分为一维流动、二维流动与三维流动。这种分类适用于所有的坐标系。

3.2.2 流体流动的基本概念
1. 迹线
迹线是在流场空间所作的一条曲线，其确定了给定的流体质点所经过的轨迹。换句话说，迹线是给定流体质点在一段时间间隔内留下的踪迹，迹线显示在不同的瞬间同一质点速度的方向。它是与拉格朗日法相关的概念。

2. 流线

某一瞬时的流线是这样一条曲线，在该曲线上各点的速度矢量与曲线相切，如图3-1所示。 流线显示了在同一时刻不同流体
质点的速度方向，它是一个与欧拉法相关的概念。

Fig. 3-1 Streamline
在定常流中，迹线与流线重合，但在非定常流中迹线与流线一般不重合。由于流场中任何一点的速度是唯一确定的，两条不同的流线不可能相交于一点。

流线是速度场的几何表示。如果流场的速度分布是已知的，则可以通过流线的微分方程求出流线方程。流线微分方程的推导 如下：

设图3-2中的曲线s为一条流线，曲线上任一点的流体质点速度为v，然后在A点取微元流线ds，根据流线的定义，
必须满足ds∥v，即
ds´v=0 (3.10)
Fig. 3-2 Streamline Differential Equation

由于ds 和 v的方向相同，它们在x、y及 z轴上的分量对应成比例，因此
(3.11)
方程 (3.10 )或 (3.11)就称为流线的微分方程。

Example 3.2
Assume velocity field is known as , find the streamline equation which passes through point A(-1, 1) while t=0.
例3.2
已知速度场，求t=0时通过点A（-1,1）的流线方程。
Solution:
According to equation (3.11), the differential equation of streamline in the problem is
由方程（3.11），本题的流线微分方程为

where time t should be regarded as constant. By integrating the above equation
式中时间应被看为常数。积分上式得

namely 即

This equation is a streamline aggregation at any instant, conventionally it is referred to as streamline family or streamline pattern. When t=0, the streamline pattern is
该方程式任意瞬时的流线的集合，通常称为流线族或流线谱。t=0 时的流线族为
xy=C
Substitute the coordinates at point A(-1, 1) into Fig.3-3 Example 3.2
the above equation, get C= -1. Thus
将A点的坐标（-1，1）代入上述方程，得C= -1，所以

xy= -1
This is the desired streamline equation, as shown in Fig.3-3.
这即为所求的流线方程，如图3-3所示。

3. 流管
在流场中过任一非流线的封闭曲线上的每一点作流线，这些流线将形成一个管状表面，称为流管。流管内部的流体称为流束，如图3-4所示。由于流线上流体质点的速度总是与流线相切，垂直于流线的速度分量为零，所以流体不能穿过流管流入或流出。对于非定常流动，流出内各点的速度是变化的，流管的形状也是变化的；对于定常流动，流出内各点的速度保持不变，流管的形状也保持不变，流管就像真正的管子那样，将流体限制在其边界 Fig.3-4 Stream Tube 流管
内流动。

截面为无限小的流管称为微元流管，其极限就是流线。

4. 流量与平均流速
流量被定义为单位时间内通过一点的流体量，通常用符号q表示。流量可以表示为体积流量qv，m3/s，或质量流量qm，kg/s。在处理不可压流体时通常用体积流量，而可压流体用质量流量较方便。

通过微元面积dA的体积流量为
(3.12)
总体积流量可以对上式在整个流动面积A上积分得到
(3.13)
从方程(3.13)可以看出，只有与断面垂直的法向速度分量对通过所考虑断面的流量有影响。
在许多计算中，如管道的一维流动，已知流量，需要求断面的平均流速而不关心速度的实际分布情况。根据定义，平均流速等于流量除以横截面总面积A
(3.14）

5. 系统与控制体

在流体力学中，系统被定义为一团可以与外界相互作用的流体质点集合。由于构成系统的物质永远保持不变，
一个给定的系统的质量是恒定的，即系统与外界无质量交换。系统的形状、体积与位置是可以改变的，如图
3-5所示。 Fig. 3-5 System 系统

因为在固体力学中物体是很容易判别的，所以系统法常用于求解与固体相关的问题。然而，对于流体的流动，单个的流体质点很难相互区分，因此，就需要让我们只关注流体流动空间来解决问题的这样一种方法。这就是雷诺输运定理，或者更确切的说，称为控制体法，控制体法在流体力学问题的求解中有着广泛的应用。

控制体是为了帮助求解流动问题而在流动空间任意建立的一个确定的区域，包含控制体的边界称为控制面。在许多问题中，部分控制面会与某些物理边界、如管道壁相重合。控制面的剩余部分是一个流体可以通过的假想的面，如图3-6所示的一维管道流动。 Fig. 3-6 Control Volume 控制体

3.3 雷诺输运定理

在本节中，将推导系统与控制体间的普遍关系式，其为运动流体的诸如连续性方程、能量方程与动量方程等主要方程提供了重要的依据，通常将该关系式称为雷诺输运定理。
如图3-7(a)所示，在时刻t 系统与控制体的边界重合。经过时间间隔Dt后，系统移动了一点，并可能稍微改变了形状，如图3-7(b)所示。少量的新的流体进入控制体(Ⅰ)中，而少量系统中原有的流体(Ⅲ)流出控制体，（Ⅱ’）代表经过时间间隔t+Dt后，系统原有的流体留在控制体的部分。经过时间间隔t+Dt后，系统=Ⅲ+Ⅱ’，而控制体=Ⅱ’+Ⅰ。注意，经过时间间隔t+Dt后，系统变化了，控制体不变。

Fig. 3-7 (a) time t (b) time t + Dt

令N表示某瞬时控制体所包含的某一流体性质，如速度、质量、能量或动量等的总量， h表示单位质量流体包含的N，从而N=mh，式中m为所研究的流体质量。如令N=m，则h=1，如h=，N就是系统的动量，等等。参量N称为外延性，因为它与所研究的质量成正比。另一方面，h称为强度性，因为它与研究的质量无关。为了简单起见，通常N代表质量。利用笛卡尔坐标系并在三个坐标方向积分，得
(3.15)

根据物质导数的定义，N的变化率可表示为
(a)
式中V’是系统在t+Dt时刻的体积，V是t时刻的体积。

参照图3-7(b)，方程(a)可表示为

(b)

随着dt®0，Ⅱ’ ® Ⅱ 且 Ⅲ®0。如果CV表示控制体，则方程(b)右端的第一项变为
(c)
这是在时刻t控制体内物理性质的总量关于时间的变化率。

方程(b)右端的第二项是流出控制体的N的流量减去流进控制体的N的流量，即流出控制体的净流量。如用CS表示控制面，方程(b)右端的第二项变为

方程(b)则重新写为
(3.16)
或
(3.16a)
最后写为
(3.16b)

这就是雷诺输运定理，它表示系统内N的变化率对于控制体内N的变化率加上N流出控制体的净流量。

3.4 连续性方程
连续性方程是质量守恒定律在流体流动中的应用。换句话说，连续性方程阐述了从某一空间区域流出的质量流量，减去同一区域流入的质量流量，等于该区域内的质量增加率。连续性方程有两种，即积分形式和微分形式的连续性方程。下面将分别介绍它们。

3.4.1 积分形式的连续性方程
在流场中任取一控制体，如图3-7所示。流体不断流进流出控制体，控制体内流体的质量随时在发生变化。控制体内流体质量的变化规律必须满足质量守恒定律，即通过控制面的流体质量净流入流量等于控制体内流体质量的增加率，表示为
Fig.3-7

用数学式表示为

(3.17)
式中，CS1和CS2分别为控制体的流入面与流出面，CV表示控制体体积。上式左端第一项前面的负号表示流入面上速度方向与控制面外法线之间的夹角大于900，而流入的质量流量为正值。右端项用偏导数表示是因为控制体对参考系是固定不动的。积分域CS1与CS2之和等于整个控制面CS，于是方程（3.17）又可写为：
(3.18)
这就是适用于控制体的积分形式的连续性方程。

式(3.18)可以表示为更加实用的形式
(3.19)
式中vn1表示在控制体流入面的微元面积dA上的速度在微元面积内法线方向的投影；vn2表示在控制体流出面的微元面积dA上的速度在微元面积外法线方向的投影。

对于不可压缩流体，由于r=常数，式（3.19）变为
(3.20)

上式说明对于不可压缩流体，流入控制体的体积流量等于流出控制体的体积流量。

当流体为可压缩流体的定常流动时，式（3.19）右端为零，即
(3.21)
上式表面对于可压缩流体的定常流动，流进控制体的质量流量等于流出控制体的质量流量。

对于一维定常流动，连续性方程可简化为
(3.22a)
或
(3.22b)
式中C为常数。对于不可压缩流体的一维定常流动，有
(3.23)
Example 3-3
Water flows out from an orifice along horizontal direction, as shown in Fig.3-8. Assume velocity of each point on the same section of the ejected flow tube is identical. The flow tube bends down because of gravity. By given exit velocity v1 = 7.5m/s, section area at the exit is A1=3cm2 . What is the section area of the flow tube at where the flow tube is at an angle of 45o to the horizontal direction?
例3-3
水由孔中沿水平方向流出，如图3-8所示。设射出的流束在同一截面上各点上的相等。由于地球引力的作用，流束向下弯曲。若已知出口速度v1 = 7.5m/s，出口截面面积为A1=3cm2。试求在流束与水平面成处的截面积。

Solution:解
Take flow tube between A1 and A2 as the control volume, then the angle between A2 and horizontal plane is 45o. According to equation (3-21), for incompressible one-dimensional steady flow Fig.3-8 Example 3-3

取A1、A2之间的流束段为控制体。则A2与水平面的夹角为45o。对于不可压缩一维流动，由方程（3-21）得

Since the resistance of air is neglected, the component of velocity in horizontal direction remains unchanged, namely, the horizontal component of v2 equals v1,
v2 cos45o=v1, substitute this relationship into the above equation, we have
因为忽略空气的阻力，流速在水平方向的分量保持不变，式中v2在水平方向的分量等于v1，即v2 cos45o=v1，代入上式可得

3.4.2 微分形式的连续性方程
方程（3.18）可改写为
(3.24a)
式中，vn是v在dA外法线方向的投影。

数学中有高斯公式，式中Bn是矢量B在微元面积dA外法线方向的投影，S是体积域W的封闭表面积。

式(3.24a) 中，rvn也可以看成矢量rv在dA外法线方向的投影，于是由高斯公式得
(3.24b)

上式代入式（3.24a），得
(3.24c)
将上式进一步改写为
(3.24d)

由于控制体是任意选取的，要使上式成立，被积函数必须处处为零，即
(3.25)
这就是微分形式的连续性方程。对直角坐标系，上式可以写成
(3.26)
对于柱坐标系，式（3.25）可表示为
(3.27)
式中vr、vq、vz分别为速度沿柱坐标轴r、q、z的分量。

对于可压缩流体的定常流动，因，式（3.26）简化为
(3.28)
对于不可压缩流体，无论是定常流动或非定常流动，因r=常数，式(3.26)简化为
(3.29)
连续性方程确定了流场中速度和密度之间应满足的关系。对于不可压缩流体，方程(3.29)确定了速度场中各速度分量之间应满足的关系。这样我们可以利用连续性方程来判断给定速度场在物理上是否可能。

Example 3-4
If the velocity field and density field are and respectively, try to demonstrate that they satisfy continuity equation.
例 3-4 若速度场与密度场分别为 ，，问是否满足连续性方程？

Solution :
Substitute the velocity field and density field into equation (3-23), we obtain
解：将速度场与密度场代入连续性方程（3-23），得

This means that the given velocity field and density field satisfy continuity equation.
说明给定的速度场与密度场满足连续性方程。

Example 3-5
A three-dimensional incompressible flow field, known that , try to find vz.
例 3-5
有一个三维不可压流场，已知，求vz。

Solution:
Continuity equation for incompressible fluid is
解： 不可压缩流体的连续性方程为

From given conditions, we have , and take them in the above equation
由已知条件 ，将其代入上式，得

By integration, we obtain
积分，得

where C（x，y）is the function of x and y. Let C（x，y）=0 for simplification, thus
式中C（x，y）是x、y的函数。为了简单起见，取C（x，y）=0，则

3.5 伯努利方程
3.5.1 理想流体的运动微分方程

在流动的理想流体中，取出一个微元平行六面体的微团，它的各边长度分别为dx、dy和dz，如图3-12所示。由于是理想流体，没有黏性，运动时不产生内摩擦力，所以作用在流体微团上的外力只有质量力和压强。该压强与静压强一样，垂直向内，作用在流体微团的表面上。假设六面体形心的坐标为x、y、z，压强为p。
先分析x方向的运动，在垂直于x轴的左右两个平面中心点上的压强各等于
、

Fig. 3-12 Parallelepiped Element
由于是微元面积，所以这些压强可以作为各表面上的平均压强。设在六面体形心上的单位质量的质量力分量为fx、fy和fz ，则作用在微元平行六面体的流体微团上的质量力在x轴方向的分量为 fxrdxdydz
又流体微团的加速度在x轴上的投影为，则根据牛顿第二定律得x轴方向的运动微分方程

将上式各项除以流体微团的质量rdxdydz，化简后得：
(3.30a)
同理得
(3.30b)
(3.30c)
这就是理想流体的运动微分方程，早在1755年就为欧拉所提出。对于静止的流体，则由式(3.30)可以直接得出流体平衡微分方程，即欧拉平衡微分方程(2-8)。因此欧拉平衡微分方程只是欧拉运动微分方程的一个特例。如果把加速度写成展开式，可将欧拉运动微分方程写成如下形式
(3.31)
在大多数情况下，作用在流体上的质量力fx、fy和fz 是已知的，对理想不可压缩流体其密度ρ为一常数。在这种情况下，式（3.31）中有四个未知数vx、vy、vz和p，而式（3.31）中有三个方程，再加上不可压缩流体的连续性方程（3.29），就从理论上提供了求解这四个未知数的可能性。

3.5.2 理想流体微元流束的伯努利方程
1.理想流体微元流束的伯努利方程
理想流体的运动微分方程(3.31)只有在少数特殊情况下才能求解。在下列几个假定条件下， 即可求得理想流体微元流束的伯努利方程:
(1) 不可压缩理想流体的定常流动；
(2) 沿同一微元流束（也就是沿流线）积分；
(3) 质量力只有重力。

假定流体是定常流动，则有
，
因此方程(3.31)可写成
(3.32)
假如流体微团沿流线的微小位移ds在三个坐标轴上的投影为dx、dy和dz。现用dx、dy和dz分别乘以式（3.32）的第一式、第二式和第三式，则可得到
(3.33)
由流线微分方程（3.11）有
(3.34)
将式（3.34）代入式（3.33）中的对应项，则得
(3.35)
将式（3.35）的三个方程相加，得
(3.36)
由于式(3.36)中的dx、dy和dz是流体微团沿流线微小位移ds的三个分量，所以要沿流线（或微元流束）进行积分。
在方程(3.36) 中
(3.37)
(3.38)
假设质量力只有重力，因此fx=0，fy=0，fz=-g，即z轴垂直向上，oxy为水平面。则式(3.38)可表示为
(3.39)

又由于流体为不可压缩均质流体，即ρ=常数，积分方程(3.39)，得
(3.40)
或 (3.41)
方程(3.41)称为理想流体微元流束的伯努利方程。方程右边的常数对不同的流线有不同的值。该方程的适用范围是：理想不可压缩均质流体在重力作用下作定常流动，并沿同一流线（或微元流束）。若1、2为同一条流线（或微元流束）上的任意两点，则式（3.41）也可写成
(3.42)
在特殊情况下，绝对静止流体v=0，由式(3.41)可以得到静力学基本方程

2. 伯努利方程的物理意义和几何意义

(1) 物理意义

理想流体微元流束的伯努利方程式（3.41）中，左端前两项的物理意义，在静力学中已有阐述，即第一项z表示单位重量流体所具有的位势能；第二项p/(ρg)表示单位重量流体的压强势能；第三项v2/(2g)理解如下：由物理学可知，质量为m的物体以速度V运动时，所具有的动能为Mv2/2，则单位重量流体所具有的动能为v2/(2g)即(mv2/2)/(mg)= v2/(2g) 。所以该项的物理意义为单位重量流体具有的动能。位势能、压强势能和动能之和称为机械能。因此，伯努利方程可叙述为：理想不可压缩流体在重力作用下作定常流动时，沿同一流线（或微元流束）上各点的单位重量流体所具有的位势能、压强势能和动能之和保持不变，即机械能是一常数，但位势能、压强势能和动能三种能量之间可以相互转换。所以伯努利方程是能量守恒定律在流体力学中的一种特殊表现形式。
(2)几何意义
理想流体微元流束的伯努利方程式（3.41）中，左端前两项的几何意义，同样在静力学中已有阐述，即第一项z表示单位重量流体的位置水头，第二项p/(ρg)表示单位重量流体的压强水头，第三项v2/(2g)与前两项一样也具有长度的量纲。它表示所研究流体由于具有速度V，在无阻力的情况下，单位重量流体所能垂直上升的最大高度，称之为速度水头。位置水头、压强水头和速度水头之和称为总水头。由于它 Fig. 3-13 Geometric Significance
们都表示某一高度，所以可用几何图形表示它们之间的关系，如图3-13所示。

因此伯努利方程也可叙述为：理想不可压缩流体在重力作
用下作定常流动时，沿同一流线 (或微元流束)上各点的单位重量流体所具有的位置水头、压强水头和速度水头之和保持不变，总水头是一常数。

3.5.3 伯努利方程的应用
伯努利方程有非常广泛的应用，这里只介绍几个常见的应用伯努利方程的实例。
1. 皮托管
简单的Pilot管是一根两端开口、弯成直角的玻璃管，如图3-14所示。1773年皮托首次用这样的玻璃
管测量了塞纳河水的流速。
其方法是，将玻璃管的一端放人水深为HO处，开口面向来流；另一端开口向上，管内液面上升，高出水面h。A点速度为零，是水流中的驻点。驻点的压强称为滞止压强或总压。在A点的上游同一水平流线上取一点B，B点未受测 Fig. 3-14 Pitot Tube 皮托管
管的影响，B点的速度即水流 的速度。对A、B两点应用伯努利方程，得

因为vA=0，zA=zB，代人上式可得
(a)
由流体静力学，可知
(b)
将（b）式代入（a）式，得
(3.43)

2．文丘里管

文丘里管由收缩段、喉部和扩张段组成，如图3-25。直径最小处称为喉部，使用时将文丘里管装入流道，文丘里管本身也成为整个管道的一段。在文丘里管的收缩段之前截面1和喉部截面2两处开孔装测管，测量两截面的静压差。根据测得的静压差和截面面积就
可计算出管道的流量。根据伯
努利方程
(a)
Fig.3-15 Venturi Tube
由连续方程，有
(b)
由式(a)、(b)，有

且 (3.44)
当用图3-15所示的U型管压差计测量时，由于

从而
(3.45)
由于实际流体都有粘性，用上述公式计算时，需要一个由实验确定的修正系数（通常为 0.98~0.99）对公式进行校正。
3.小孔流出
一个敞口的大容器内盛有液体，容器的侧壁下部开一小孔，设孔口与液体自由面的高度差为A，不考虑流体粘性的影响，见图3-16。现讨论孔口流出的速度。设液体自由面的面积和孔口面积相比很大，由连续方程，液体自由面下降的速度很小，存在一条流线的一端在水面上A点另一端在孔口的B点。
Fig. 3-16 Orifice Outflow 小孔流出
对A、B两点应用伯努利方程

由于 ，由上述方程可得
(3.46)
Example 3.6
There is a water storage equipment as shown in Fig. 3-17, the reservoir is big enough. The reading of the pressure gauge is 2.8 pa while the valve is closed. When the valve is full open, the reading of the pressure gauge is 0.6 pa. If the diameter of water pipe is d=12cm, what is the outflow rate of volume passing through the outlet (neglect flow loss) ?
例3.6 有一贮水装置如图3-17所示，贮水池足够大，当阀门关闭时，压强计读数为2.8个大气压强。而当将阀门全开，水从管中流出时，压强计读数是0.6个大气压强，试求当水管直径d=12cm时，通过出口的体积流量(不计流动损失)。
Fig. 3-17 Example 3-6
Solution:
Establish Bernoulli equation for section 1-1 and 2-2 while the valve is full open 解: 当阀门全开时列1-l、2-2截面的伯努利方程
(a)
When the valve is closed, according to the reading of the pressure gauge, the magnitude of H may be obtained by adopting the basic equation of fluid statics
当阀门关闭时，根据压强计的读数，应用流体静力学基本方程求出