导数在函数中的应用总结(一轮复习教案).doc

教案标题
导数在函数中的应用总结
学科
数学
适用年级
高中二年级
适用范围
全国
教学目标
知识
目标
1. 理解和掌握函数的切线方程以及求切线方程的一般过程,并会熟练地进行一切方程的求解,能根据条件灵活选用适当的方法解和切线的方程.有关的一切问题。
2. 用导数求解切线方程的方法，以及建立直线与其他知识的联系。用代数、几何两种方法研究在一点处的切线问题。
3. 学会用导数求切线的斜率和点斜式求切线的方程。
4 用导数研究函数的单调性。
能力
目标
能应用导数和点斜式来建立切线方程,来培养学生应用数学
分析、解决实际问题的能力.
情感
态度
价值观
培养学生学习的积极性和主动性，发现问题，善于解决问题，
探究知识，合作交流的意识，体验数学中的美，激发学习兴趣，
从而培养学生勤于动脑和动手的良好品质。
知识点
导数的公式和运算法则；点斜式切线方程的建立；直线与其他知识的关系
重难点
重点：导数的计算、直线方程的建立、用导数研究函数的单调性，以及和其他知识的联系.
难点：根据具体的条件，导数在函数中的应用问题.

学习过程
一、复习预习
考纲要求：
1．理解导数和切线方程的概念。
2．能在具体的数学环境中，会求导，会求切线方程。
3．特别是没有具体点处的切线方程，如何去设点，如何利用点线式建立直线方程。
4．灵活应用建立切线方程与其它数学知识之间的内在联系。
5. 灵活应用导数研究函数的单调性问题
二、 知识讲解

1.导数的计算公式和运算法则
几种常见函数的导数：(为常数)；()；
； ；； ， ；
求导法则：法则 ．

法则 ,
法则：
复合函数的导数：设函数在点处有导数，函数在点的对应点处有导数，则复合函数在点x处也有导数，且 或
2.求直线斜率的方法（高中范围内三种）
(1) （为倾斜角）；
(2) ，两点；
(3) （在处的切线的斜率）；
3.求切线的方程的步骤：（三步走）
（1）求函数的导函数；
（2） （在处的切线的斜率）；
（3）点斜式求切线方程；
4.用导数求函数的单调性：
（1）求函数的导函数；
（2），求单调递增区间；
（3），求单调递减区间；
（4），是极值点。
考点一 求切线的斜率
【例题1】求曲线在点处的切线的斜率 。
【答案】3
【解析】 ∵ ∴,
【例题2】曲线在点处的切线方程为 。
【答案】
【解析】由则在点处斜率，故所求的切线方程为，即。
考点二 切线的综合问题
【例题3】若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则
【答案】64
【解析】，切线方程是，令，，令，，∴三角形的面积是，解得
考点三 用导数研究函数的单调性
【例题4】已知函数在上是单调递增函数，求的取值范围。
【答案】
【解析】：，因为在上单调递增，所以，，即：在上恒成立，即：，所以， 所以，
【例题5】设函数．求函数的单调区间；
【答案】若，则当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减
【解析】：由，得，
若，则当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，w.若，则当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减..w.k.
考点四 导数的综合问题
【例题6】设，讨论函数的单调性．
【答案】：如下
【解析】：函数的定义域为，
令，
① 当时，，令，解得
则当或时，
当时，
则在，上单调递增，
在上单调递减
② 当时，，，则在上单调递增
③ 当时，，令，解得
∵，∴，则当时，
当时，，则在上单调递增，在上单调递减
四、课堂练习
【基础型】
1曲线在点处的切线方程为 。
答案：
解析：，，，即。
【巩固型】
1若函数在处切线的倾斜角为 。
答案：
解析： ∵，令，得，令，得，∴，∴，即在点处切线的斜率为-1，∴倾斜角为。
2在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大是 。
答案：
解析：，
，所以，在上单调增，在单调减，
【提高型】
1设.
（1）如果在处取得最小值，求的解析式；
（2）如果，的单调递减区间的长度是正整数，试求和的值．
答案：（2）m=2，n=3或，
解析：（1）已知，
又在处取极值，
则，又在处取最小值-5.
则，
（2）要使单调递减，则
又递减区间长度是正整数，所以两根设做a，b。即有：
b-a为区间长度。又
又b-a为正整数，且m+n<10,所以m=2，n=3或，符合。
2设函数，
（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）求所有实数，使对恒成立．
答案：的增区间为，减区间为
解析：（1）因为，所以
由于，所以的增区间为，减区间为
（Ⅱ）证明：由题意得，，由（Ⅰ）知内单调递增，
要使恒成立，只要，解得
五、课程小结
本节课是高考中必考的知识点，而且在高考中往往有一定的难度，所以需要学生要准确的理解知识点，灵活并熟练地掌握求导公式，学会建立切线方程，特别是没有给出具体点切线方程的建立。用点线式求切线方程的步骤：
（1）求函数的导函数；
（2） （在处的切线的斜率）；
（3）点斜式求切线方程；
用导数求函数的单调性：
（1）求函数的导函数；
（2），求单调递增区间；
（3），求单调递减区间；
（4），是极值点。
六、课后作业
【基础型】
1设，．
（1）求的单调区间和最小值；（2）讨论与的大小关系；
（3）求的取值范围，使得＜对任意＞0成立．
答案：（1）（3）
解析：（1）由题设知，∴令0得=1，
当∈（0，1）时，＜0，是减函数，故（0，1）是的单调减区间。
当∈（1，+∞）时，＞0，是增函数，故（1，+∞）是的单调递增区间，
因此，=1是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以的最小值为
(2)，设，则，当时，，即，当时，，因此，在内单调递减，
当时，，即
（3）由（1）知的最小值为1，所以，，对任意，成立
即从而得。
【巩固型】
1已知直线与抛物线相切，则 。
答案：
解析:设切点，，，，即
2设，其中为正实数.
（Ⅰ）当时，求的极值点；（Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围
答案：（1）是极小值点,是极大值点.（2）
解析：对求导得 ①
（I）当，若
综合①,可知

+
0
－
0
+

↗
极大值
↘
极小值
↗

所以,是极小值点,是极大值点.
（II）若为R上的单调函数，则在R上不变号，结合①与条件a>0，知
在R上恒成立，因此由此并结合，知
【提高型】

1已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是
答案：
解析：因为，即,所以。
2已知函数，其中，曲线在点处的切线方程垂直轴
（Ⅰ）求的值
（Ⅱ）若的极大值为，求在上的最大值
答案：（1）；（2）最大值
解析：（Ⅰ）切线方程垂直于轴，即，得。
（Ⅱ）的定义域为，，，在上单增，在上单减，即当取的极大值，，得，所以当取最大值
3（Ⅰ）设函数，证明：当＞0时，＞0；
（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为.证明：＜＜.
答案：如下
解析：（Ⅰ），（仅当时）
故函数在单调递增.当时，，故当＞0时，＞0.
（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，连续抽取20次，则抽得的20个号码互不相同的概率为，要证＜（）19＜.
先证： 即证,所以. 即
再证：，即证，即证，即证
由（Ⅰ），当＞0时，＞0.
令则，即
综上有：
4已知函数
(Ⅰ)证明：曲线
（Ⅱ）若,求的取值范围。
答案：
解析：(Ⅰ) ，，又
曲线的切线方程是：，在上式中令，得
所以曲线
（Ⅱ）由得，（i）当时，没有极小值；
(ii)当或时，由得
故。由题设知，当时，不等式无解；
当时，解不等式得
综合(i)(ii)得的取值范围是。
5已知函数.
（Ⅰ）若，求的取值范围；（Ⅱ）证明： .
答案：的取值范围是.
解析：，,题设等价于.令，则，当，；当时，，是的最大值点，，综上，的取值范围是.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知，即.当时，；当时， ，所以