利用导数求和.docx

（1）已知：，求证；
（2）已知：，求证：。
（1）令，由x>0，∴t>1，
原不等式等价于
令f(t)=t-1-lnt，
∵当时，有，∴函数f(t)在递增
∴f(t)>f(1) 即t-1<lnt
另令，则有
∴g(t)在上递增，∴g(t)>g(1)=0
∴
综上得
（2）由（1）令x=1,2,……(n-1)并相加得

即得

利用导数求和
例7．利用导数求和：
（1）；
（2）。
分析：这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度，由求导公式，可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。
解：（1）当x=1时，
；
当x≠1时，
，
两边都是关于x的函数，求导得

即
（2）∵，
两边都是关于x的函数，求导得。
令x=1得
，
即。
导数与数列

已知函数，是方程f(x)=0的两个根，是f(x)的导数；设，（n=1,2,……）
（1）求的值；
（2）证明：对任意的正整数n，都有>a；
（3）记（n=1,2,……），求数列{bn}的前n项和Sn。
解析：（1）∵，是方程f(x)=0的两个根，
∴；
（2），
=，∵，∴有基本不等式可知（当且仅当时取等号），∴同，样，……，（n=1,2,……），
（3），而，即，
，同理，，又

.(2009陕西卷理)设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为 .
答案 -2