三角网的差分格式.doc

4. 三角网差分格式
前面介绍了矩形网格的差分格式，其特点是：计算公式简单，求解差分方程较容易，但是对于复杂的区域其几何逼近误差大，不能局部任意调整网格，不易处理法向导数边界条件。三角网的差分格式具有网格的灵活，法向导数边界条件容易处理等优点，特别地，它还保持积分守恒（质量守恒），深受使用者的欢迎。积分插值法用于三角网，可得到三角网的差分格式。文献上常称之为有限体积法或广义差分法。
考虑有界区域上的Poisson方程
（4.1）
在边界上各个部分分别满足第一、第二或第三边值条件：
（4.1a）
（4.1b）
（4.1c）
其中是常数。
作的三角剖分：1)在上取一系列的点，以其为顶点连成闭折线，并记为由围成且逼近的多边形区域；2）将分割成有限个三角形之和。这些三角形满足：①任意一个三角形的顶点与其它三角形或者不相交，或者仅仅与其他三角形的顶点相交；②三角形的每个内角不大于。
引入如下术语：节点—三角形的顶点；单元—每个三角形；同一条边上的两个节点互为相邻节点；有一公共边的两个三角形互为相邻单元；对于任一节点，考虑所有以它为顶点的三角形单元和以它为顶点的三角形边，过每一条边作中垂线，交于外心，得到围绕该节点的小多边形，称为对偶单元。全体对偶单元构成区域的一个新的网格剖分，称为对偶剖分。

下面我们先对每一个内点建立差分方程。
设是如图的内点，是的相邻节点，是三角形（）的外心（三条垂直平分线的交点），是线段的中点，是所围成的对偶单元。对于（4.1）两端在上积分，得

利用Green公式，得
（4.2）
其中是的边界，是的外法向量。
注意
（4.3）
其中是截断误差。带入到（4.2），舍去，即得点的差分方程：
（4.4）
其中和分别是和的待求差分近似值。
其次，我们建立边界点处的差分方程。如图，设是界点，相应的对偶单元为。若所给的是第一边值条件，则令即可。若所给的是第二边值条件或第三边值条件，例如
（4.6）
（时就是第二边值条件），则需要补充一个方程。此时与（4.2）类似地有
（4.6）
对于后四项仿照公式（4.3）的方法离散化，例如
， ，
， ，
对于和，可以利用梯形数值求积公式，有

同理

将上述六个公式带入（4.7）中，就得到界点的差分方程。所有内点、界点的差分方程组成一个封闭的线性代数方程组，其系数矩阵是对称的稀疏矩阵。