推理1.6 南极探险地图着色猜想促发现.doc

1．6 南极探险 地图着色 猜想促发现

你知道这棵树吗？这不是一棵平常的树. 这是位于剑桥大学的牛顿当年居住并从事研究的屋子旁边的被称为牛顿苹果树后代的一颗苹果树. .
牛顿与苹果的故事已经是家喻户晓了. 牛顿在受到一颗从树上掉落的苹果启发后，发现了他的万有引力定律. 尽管这个故事带有传奇色彩，它的真实性已受到质疑，但这改变不了牛顿的伟大. 正如许多棵树都被称作是牛顿所描述的那棵苹果树一样，都表达了全世界人们对牛顿的敬仰. 牛顿的功绩是不朽的，他代表了人类智慧的最高成就.
牛顿（Isaac Newton，1643～1727）是伟大的数学家、物理学家和天文学家，经典力学体系的奠基人. 除了在物理、天文方面的成就极其卓越外，牛顿在数学方面的成就也是具有划时代意义的.
牛顿将古希腊以来求解无穷小问题的种种特殊方法统一为两类算法：正流数术（微分）和反流数术（积分），反映在1669年的《运用无限多项方程》、1671年的《流数术与无穷级数》、1676年的《曲线求积术》三篇论文和《原理》一书中，以及被保存下来的1666年10月他写的在朋友们中间传阅的一篇手稿《论流数》中. 与此同时，他还在1676年首次公布了他发明的二项式展开定理及. 牛顿利用它还发现了其他无穷级数，并用来计算面积、积分、解方程等等.
值得关注的是牛顿为什么会有这么多的发现与成就？
牛顿是这样以自身的经历告诫人们的：
“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现. ”

人类历史上最伟大的猜想，出自公元前二世纪古希腊的一群地理学家. 那个引发了几千年议论、几百年探险热潮的猜想是：在世界的南端，一定有一块与北方大陆相对称的四周环海的南方“未知大陆”.
这个猜想一直被丰富着，传播着，撩拨着那一颗颗被各种梦想搅得无法安宁的心. 但梦想也需要翅膀才能飞翔，当中国人为世界贡献了指南针，当帆船制造业和航海技术取得巨大的成就，海上远航成为可能，探索才得以开始. 而郑和从1405年开始的持续25年的伟大航海，哥伦布从1492年开始的持续12年发现新大陆之旅，无疑成了后来的大航海时代的前奏. 而对猜想中的南方“未知大陆”的发现，是所有探险家心中最绚丽的梦.
从16世纪开始，无数人用自己一生的时光乃至生命去解读这个猜想. 1520年11月，麦哲伦探险队发现了“篝火通明”的火地岛；1544年7月，雷切斯探险队发现了黑人居住的新几内亚；1567年2月，明达尼亚探险队在太平洋“转悠”了一年后终于发现了“有黑人村庄的奥菲尔之地”. ……
尽管两个多世纪间前赴后继的探险家们，始终没能真正发现和证实关于“未知大陆”的伟大猜想. 但却启发了作家的灵感，《鲁滨逊漂流记》、《新的环球航行记》等作品获得了读者的青睐.
1768年，詹姆斯•库克在首次太平洋科学考察中发现了新西兰；1772年，他用三年零十七天的漫长航行，于1774年写下了到达离南极大陆仅200公里的纪录，这个纪录保持了整整60年.
1819年2月19日，英国的威廉•史密斯于拂晓发现了南设得兰群岛；1819年到1821年间，俄国别林斯高晋，他指挥两只约500吨的单桅帆船，三次穿过南极圈，途中遇到一座又一座冰山，发现了南大西洋海底山脉，并于1821年1月22日发现了南桑威奇群岛中的彼
得一世岛、29日又发现了亚历山大一世岛；1840年威尔克斯“发现”
了东南极洲，从而证实了南极洲是一块大陆而不是一个群岛等等.
至此，两千多年前提出的“未知大陆”的猜想已被证实，南极洲的发现已基本告成. 一块亘古大陆裸呈在人类面前，准备以它独有的肃杀之气，凛然回绝人类即将到来的无数次好奇的拜访.

与南极探险一样，数学中的各种猜想也被人们前赴后继的探索着，似乎风平浪静，却也惊心动魄. 近代数学如参天大树，已是分支众多，枝繁叶茂. 在这棵苍劲的大树上悬挂着不胜其数的数学猜想. 其中最耀眼夺目的是费尔马大定理、哥德巴赫猜想和四色地图问题. 它们被称为近代三大数学难题.
1637年，30来岁的“业余数学家之王”法国数学家费尔马(Pierre de Fermat，1601～1665)在读丢番图的名著《算术》的法文译本时，他在书中关于不定方程x2＋y2＝z2的全部正整数解这页的空白处用拉丁文写道：“任何一个数的立方，不能分成两个数的立方之和；任何一个数的四次方，不能分成两个数的四次方之和，一般来说，不可能将一个高于二次的幂分成两个同次的幂之和. 我已发现了这个断语的美妙证法，可惜这里的空白地方太小，写不下. ”
费尔马去世后，人们在整理他的遗物时发现了这段写在书眉上的话，才知道这一问题. 人们就把这一论断称为费尔马大定理. 用数学语言表达就是：形如xn＋yn＝zn的方程，当n>2时没有正整数解.
在欧拉证明了n＝3，n＝4以后，1823年和1826年勒让德和狄利克雷各自独立证明了n＝5的情形，1839年拉梅证明了n＝7的情形. 就这样，一个一个奇素数证下去的长征便开始了. 1857年，德国数学家库默尔证明了当n＝37、59、67的情形，把费尔马定理一下推进到n在100以内都是成立的.
德国有个名叫《数学和物理文献实录》的杂志，自愿对这方面的论文进行鉴定，到1911年初为止，共审查了111个“证明”，全都是错的. 后来宣布停止这一审查鉴定工作，但证明的浪潮仍汹涌澎湃，热爱科学的可贵精神，鼓励着很多人继续破解这一猜想.
后来，数学家们改变解法，选择了一条崭新迂回的路径，有了一次次的突破. 直到1993年6月23日，人们认为英国数学家维尔斯（Wiles）经过七年的锲而不舍，证明了费尔马大定理. 可不久，维尔斯的长达200页的论文送交审查时，却被发现证明有漏洞. 这时维尔斯已是“为伊消得人憔悴”，但他“衣带渐宽终不悔”. 1994年9月，他重新写出一篇108页的论文，寄往美国. 论文顺利通过审查，美国的《数学年刊》杂志于1995年5月发表了他的这一篇论文.
然而，最近有报道，美国斯坦福（Stetson）大学的一位数学教授竟找到了一个费尔马大定理的反例，反例的数字规模相当大，最小的一组数就有1297位，它满足方程x738＋y738＝z738. 从而推翻了费尔马大定理，并且也宣告了维尔斯的“证明”是错误的. 虽然这个数字巨大无比，但借助计算机我们可以很快验证其正确性. 目前的问题是，费尔马大定理的反例是否有无穷多个，以及维尔斯的“证明”漏洞在哪里.
300多年以来，费尔马大定理使世界上许多著名数学家殚精竭虑，有的甚至耗尽了毕生精力，结果却如此富有戏剧性. 不过，围绕费尔马大定理却作出了许多重大的发现，并促进了一些数学分支的发展，尤其是代数数论的进展. 现代代数数论中的核心概念“理想数”，正是为了解决费尔马大定理而提出的. 难怪大数学家希尔伯特称赞费尔马大定理是“一只会下金蛋的母鸡”.

德国数学家哥德巴赫(Goldbach，1690-1764)，从1725年起当选为俄国彼得堡科学院院士. 在彼得堡，哥德巴赫结识了大数学家欧拉，两人书信交往达30多年. 他有一个著名的猜想，就是在和欧拉的通信中提出来的. 这成为数学史上一则脍炙人口的佳话.
有一次，中学教师哥德巴赫研究一个数论问题时，他写出：
3＋3＝6，3＋5=8，3＋7＝10，5＋7＝12，3＋11＝14，3＋13＝16，5＋13＝18，3＋17＝20，……
看着这些等式，哥德巴赫忽然发现：等式左边都是两个质数的和，右边都是偶数. 于是他猜想：任意两个奇质数的和是偶数，这当然是对的，但可惜这只是一个平凡的命题.
对—般的人，事情也许就到此为止了. 但哥德巴赫不同，他特别善于联想，善于换个角度看问题. 他运用逆向思维，把等式逆过来写：
6＝3＋3，8=3＋5，10＝3＋7，12=5+7，14＝3+11，16＝3+13，18＝5＋13，20＝3＋17，……
这说明什么？哥德巴赫自问，然后自答：从左向右看，就是6～20这些偶数，每一个数都能“分拆”成两个奇质数之和. 在一般情况下也对吗？他又动手继续试验，一直试到100，都是对的，而且有的数还不止一种分拆形式，如24＝5＋19＝7＋17＝11＋13等.
这么多实例都说明偶数至少可用一种方法分拆成两个奇质数之和. 在一般情况下对吗？他想说：对！于是他企图找到一个证明，几经努力，但没有成功；他又想找到一个反例，说明它不对，冥思苦索，也没有成功.
于是，1742年6月7日，哥德巴赫给欧拉写了一封信，叙述了他的猜想：
（1）每一个偶数是两个质数之和；
（2）每一个奇数或者是一个质数，或者是三个质数之和.
同年6月30日，欧拉复信说，“任何大于（或等于）6的偶数都是两个奇质数之和，虽然我还不能证明它，但我确信无疑，它是完全正确的定理. ”
欧拉是数论大家，这个连他也证明不了的命题，可见其难度之大，
自然引起了各国数学家的注意.
人们称这个猜想为哥德巴赫猜想，并比喻说，如果说数学是科学的皇后，那么哥德巴赫猜想就是皇冠上的明珠. 二百多年来，为了摘取这颗耀眼的明珠，成千上万的数学家付出了巨大的艰苦劳动.
1920年，挪威数学家布朗创造了一种新的“筛法”，证明了每一个充分大的偶数都可以表示成两个数的和，而这两个数又分别可以表示为不超过9个质因数的乘积. 我们不妨把这个命题简称为“9＋9”. 这是一个转折点. 沿着布朗开创的路子，1932年数学家证明了“6＋6”. 1957年，我国数学家王元证明了“2＋3”，这是按布朗方式得到的最好成果.
布朗方式的缺点是两个数都不能确定为质数，于是数学家们又想出了一条新路，即证明“1＋C”. 1962年，我国数学家潘承洞和另一位数学家，各自独立地证明了“1＋5”，使问题推进了一大步.
1966年至1973年，陈景润经过多年废寝忘食，呕心沥血的研
究，终于证明了“1＋2”：对于每一个充分大的偶数，一定可以表示成一个质数及一个不超过两个质数的乘积的和. 即：
偶数=质数＋质数×质数
你看，陈景润的这个结果，离哥德巴赫猜想的最后解决只有一步之遥了！人们称赞“陈氏定理”是“辉煌的定理”，是运用“筛法”的“光辉顶点”.
最终会由谁攻克“1＋1”这个难题呢？

四色猜想的提出来自英国. 1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位给地图着色时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色. ”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试. 兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展. 后来，这个问题请教过著名数学家德·摩尔根、哈密尔顿，也没有能够解决.
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题. 世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战. 1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了.
1890年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的. 不久，泰勒的证明也被人们否定了. 后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获. 于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题.
1913年，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色. 1950年，有人从22国推进到35国. 1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国. 看来这种推进仍然十分缓慢. 电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程.
1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明. 四色猜想的计算机证明，轰动了世界. 它不仅解决了一个历时100多年的难题，而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点. 不过也有不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法.

什么是数学猜想？从上面的例子中可以看到，猜想是不知其真假的数学叙述，它一般被看作是正确的，但暂时没有被证明或反证. 当猜想被证明后，它便会成为定理. 当找到反例时，猜想就被推翻. 可以看到，数学猜想大都因为类比推理、不完全归纳而产生，也有偶然发现的巧合而出现. 还可以看到，并非所有的猜想都能解决. 事实上
至今没有解决的数学猜想还有很多，如黎曼(Riemann)猜想、庞加莱
(Poincare)猜想、孪生素数猜想等等.
自然科学、特别是数学中的新发现大都是从猜想开始的，这些猜想经过大量实践验证，再经过严密的论证推理，才获得定律、定理等结论. 可以这样说，数学在形成过程中，是一门实验性的归纳科学. 因此，数学研究里，需要猜想，一位数学家必须首先是猜想家. 波利亚说：“数学事实首先是被猜想，然后被证实. ”，“先猜后证──这是大多数的发现之道”.
猜想是一种重要的思想，是一种飞跃性的、开放性的创造思维；不仅如此，猜想更是解决问题的一种重要方法，是萌发创新的有效途径，它对于发展人们的创造性思维有着无法估量的作用. 因此，在数学的学习与教学中，必须敢猜想、爱猜想、善猜想，在猜想中激活思维，发展思维，培养创新，获得能力. 近年来中考、高考数学试卷中也频频出现了猜想的问题.
例 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=a，BC=b. 若E1、F1分别是AB、DC的中点，则E1F1=(a+b)；若E2、F2分别是E1B、F1C的中点，E3、F3分别是E2B、F2C的中点，En、Fn分别是En-1B、Fn-1C的中点，猜想EnFn＝_ __.
这是2006年锦州市的中考题. 题目要求你先作不完全归纳，然
后猜想，答案是(a+2nb-b).
应该指出的是，数学猜想与无方向的乱猜，或者用掷骰子的方法碰运气猜是格格不入的. 猜想是在类比、联想、观察、实验、归纳等推理的基础上的创造性的思维活动.

我们来做这样一个游戏：每个人可以从任何一个正整数开始，连续进行如下运算，若是奇数，就把这个数乘以3再加1；若是偶数，就把这个数除以2，这样演算下去. 比如，从17开始，则可以得到17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1.
多做几次，你发现什么啦？你会有什么猜想呢？
……
好，你也会提出猜想了！你也会创造！猜想的味道呢？很有趣.
这个问题就是叙拉古猜想，也叫角谷猜想或科拉兹猜想. 目前还没有得到证明，但也没有发现反例，但也有许多人曾经尝试去求证这个问题. 利用计算机，人们已经验证了所有小于100×250的正整数，猜想是正确的，这是葡萄牙阿弗罗(Aveiro)大学的Tomas Oliveira e Silva的工作，用了很巧妙的编程方法.
正是：敢猜测，预支五百年新意；
求发现，到了千年又觉陈.