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2013届省重点中学协作体领航高考预测试卷9
高三数学模拟试题 （文）
一． 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每题的四个选项中只有一项是符合题意的。） 命题人：周振宇
1．已知：集合，，则集合的真子集个数为：（ ）
2．定义运算：，则满足条件的复数为：（ ）
开始
输入x
输出y
结束
3．命题：不等式的解集为；命题：函数在上是单调增函数，则是成立的（ ）
充分不必要条件 必要不充分条件
充要条件 既不充分也不必要条件
4．如图是一个算法的程序框图，当输入值
是
为时，则输出的结果是：（ ）
否
5．等差数列中，，数列
的前项和为，则（ ）
6．已知：函数，且
，则=（ ）
7．已知：向量，，曲线是一点到点的距离为6，为的中点，为坐标原点，则（ ）
或
8．把两个相同的正四棱锥底面重叠在一起，恰好
2
2
得到一个正八面体，若该正八面体的俯视图如
右图所示，则它的主视图面积为：（ ）
9．已知：函数图象在区间上仅有两条对称轴，且，那么符合条件的值有（ ）个。
10．已知正项等比数列满足，且存在两项满足，则的最小值为：（ ）
11．过抛物线的焦点的直线，依次交抛物线与圆于点，则（ ）
12．已知：函数有两个零点，则有（ ）
二．填空题：（本大题共4个小题，每小题5分）
13．下课后，教师里最后剩下两名男同学和两名女同学，若没有两位同学一起走，则第二位走的是男同学的概率为：_____________
14．若不等式组表示平面区域是一个四边形，则的取值范围是：_____________
15．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，那么这个棱柱的体积为：_____________
16．已知：是定义在上的增函数，函数图象关于点对称，则当且时，的取值范围为：______________
三．解答题：（解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知向量，
（1）求函数单调减区间；
（2）当时，恒成立，求取值范围。
18．（12分）某校对参加数学竞赛的学生中随机选取40名学生的成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分到100之间，现将成绩按如下方式分成6组，即：，，，， ，据此绘制如图所示的频率直方图，在选取的40名学生中
（1）求成绩在区间内的学生人数；
频率/组距
（2）从成绩大于等于80分的学生中，随机选两名学生，求至少有一名学生成绩在区间内的概率。
频率/ 组距
0．045
0．020
0．015
0．005
100
90
80
60
70
50
40
分数
P
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，面，，为中点
（1）求证；平面面；
（2）求三棱锥的体积。
E
D
A
C
B
20．（12分）已知：椭圆：的上顶点为，左右焦点为，直线与圆：相切
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的下顶点为，直线与椭圆交于不同的两点，当时，求实数的取值范围。
21．（12分）已知：函数
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若函数在取极值，求函数在区间上的最大值。
请考生在22，23，24三题中任选一题做答，如果多答则按所做第一题记分。
22．（10分）选修4-1：几何证明选讲
如图：内接于圆，，直线切圆于点，弦，与交于点
（1）求证：与全等；
A
（2）若，求的长。
D
N
E
C
B
M
23．（10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲
已知：曲线的极坐标方程为： ，直线的参数方程为： （为参数）
（1） 求曲线与直线的普通方程；
（2） 若直线与曲线相切，求值。
24．（10分）选修4-5：不等式选讲
设函数若函数的定义域为，试求实数的最大值。
高三数学（文科）参考答案及评分标准
一．选择题：
二．填空题：13. 14. 15. 16.
三．17．解：（1）
…………3分
由
得
所以的单调减区间为： …………5分
（2）时，
所以 …………7分
若恒成立，则
解得：或 …………10分
18．解（1）各组频数和为1
那么成绩在频率为：
所以的学生人数为： …………4分
（2）设至少有一名学生成绩在区间事件为A
成绩在内有4人，记为；成绩在内有人，记为，选取学生所有可能为：
基本事件总数为15。
至少一人成绩在区间的可能为：
事件A的总数为9。 …………10分
所以，即至少有一名学生成绩在内的概率为。
…………12分
19．（1）证明：设，连，则
平面
平面
又平面
平面平面 …………4分
（2）作交于
平面平面
平面
又，平面，平面
平面
点到平面距离就是点到平面的距离 …………8分
在中，
设点到平面的距离为，则，
…………12分
20．解：（1）圆，圆心，半径
直线 …………2分
直线与圆相切
解得
所以椭圆的方程为： …………5分
（2）
设为弦中点，由得
由直线与椭圆有两个交点
即…………① …………7分
即：…………② …………10分
由②得…………③
③代入①得
又
故的取值范围为 …………12分
21．解：（1）函数定义域为
由且
得 即
（i）当即时，在上为增函数
（ii）当时，或
在，上为增函数
（iii）当时，或
在上为增函数 …………5分
综上可知：的单调区间为：当时，
当时，
当时，…………6分
（2）是极值点
即解得
由（1）知在上为增函数，在增函数
可知：在上是减函数 …………9分
在最大值应在和处取得
…………12分
22．（1）证明： 是圆的切线
且
与全等 …………5分
（2）解：设
为等腰三角形
相似于
有相交弦定理得：
解得：即长为 …………10分
23．解：（1）曲线：
直线： …………5分
（2）曲线的圆心，半径
直线与圆相切有：
解得： …………10分
24．由题意有：对恒成立
设
原命题等价于
（i）当时，
，则与矛盾，不成立； …………5分
（ii）当时，
，则
实数的最大值为 …………10分
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