第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试.doc

第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛
初一 第2试
2012年4月8日 上午9：00至11：00 得分
一、 选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内。
1. 下面四个命题：
（1） 若两个角是同旁内角，则这两个角互补。
（2） 若两个角互补，则这两个角是同旁内角。
（3） 若两个角不是同旁内角，则这两个角不互补。
（4） 若两个角不互补，则这两个角不是同旁内角。
其中错误的命题的个数是（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
2.若两位自然数的质数，且交换数字后的两位数也是质数，则称为绝对质数，于是两位数中的所有绝对质数的乘积的个位数是（ ）
（A）1 （B）3 （C）7 （D）9
3.如图1，将边长为4cm的等边沿边BC向右平移2cm得，DE与AC交于点G，则（ ）
（A）3：2 （B）2：1 （C）5：2 （D）3：1

4.有理数在数轴上的位置如图2所示，O为原点，则代数式
（ ）
（A） （B）
（C） （D）
5.The perimeter of a triangle is 18 ,while each side is an integer, if the longest side is not a prime number, then the number of such triangle is ( )
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
（英汉小词典：perimeter of a triangle 三角形的周长；prime number 质数）
6.77可以表示成个连续自然数的和，则的值 的个数是（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
7.如图3，中，，点E在边CA上，点D和F在边BA上，若BC=CD=DE=EF=FA，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
8.已知x,y是非负整数，且使是整数，那么这样的数对(x,y)有（ ）个。
（A）1 （B）2 （C）3 （D）2012
9.身高两两不同的30个学生面向老师站成一排，其中恰有11个学生高于自己左侧相邻的同学，那么高于自己右侧相邻同学的学生有（ ）人。
（A）11 （B）12 （C）18 （D）19
10.若x+y=3,xy=-1,则（ ）
（A）33 （B）231 （C）123 （D）312
二、填空题（每小题4分，共40分）
11.计算：
12.已知中，AB=2，BC=9，若AC的长是奇数，则AC=
13.若自然数x除以3余2，除以4余3，除以5余4，则x除以15所得余数是
14.If and are similar terms, then =
15.如图4，在四边形ABCD中，AD//BC，点E在AD上，点F、G在BC上，并且AE=ED=BF=FG=GC，以A、B、C、D、E、F、G这7个点中的三个顶点的三角形中面积最小的三角形有 个；面积最大的三角形有 个。

16.用黑、白两种颜色的正方形瓷砖，按图5所示的方式铺地板；（图（1）中有块瓷砖，以后各图都比前前一个加铺块瓷砖），则有2014块黑色瓷砖的是图5中的第
个图。

17.图6是用若干个同样的小正方体拼成的立体的俯视图，若此立体最高有三层，则此立体最少有 个小正方体，最多有 个小正方体。

18.1900年以后出生的人，他出生年份的最后两个数字组成的两位数（如果末两位数字为00或01，则看成两位数或，其余类推），加上这个人今年的年龄数，所得的结果是 或 。（注：今年的年龄数=2012-出生年份）
19.已知正n边形的面积是60，若四边形是一个面积为20的矩形，则这个正n边形的一个内角是 度。
20.，则
三、 解答题
每题都要写出推算过程
21.(本题满分10分)
已知都是整数，如果对任意整数x，代数式的值都能被3整除。
证明：可被27整除。

22.（本题满分15分）
某公司以每吨500元的价格收购了100吨某种药材，若直接在市场上销售，每吨的售价是1000元。该公司决定加工后再出售，相关信息如下表所示：
工艺
每天可加工药材的吨数
出口率
售价（元/吨）
粗加工
14
80%
5000
精加工
6
60%
11000
受市场影响，该公司必须在10开内将这批药材加工完毕，现有3种方案：
（A） 全部粗加工：
（B） 尽可能多地精加工，剩余的直接在市场上销售；
（C） 部分粗加工，部分精加工，恰好10天完成。
问：哪个方案获得的利润最大？是多少？

23.（本题满分15分）
有一系列数，前两个数是1，2，从第三个数起，每个数都等于它前面相邻的两个数的和的个位数字，请回答以下问题：
（1） 在这列数中能否依次出现相邻的2，0，1，2这四个数？说明理由；
（2） 这列数中的第2012个数字是什么？说明理由。
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
B
A
B
C
B
B
C
C
二、 填空题
题号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
答案
-2010
9
14
12
17；3
671
8；18
112；12
150
6

三、 解答题
21.设，则，
因为对任意整数x，代数式的值都能被3整除，
所以。
这里，的意义是：c被3整除，或3整除c。
又因为，
所以
从而，
即
由于（3，2）=1
所以
又因为
所以
由于（3，2）=1
所以
上面已经证明了
所以
因为
所以
22.因为每吨药材的收购价是500元，所以100吨药材的收购费用是500×100=50000（元）
（1）若100吨药材全部被粗加工，则所需加工的时间是100÷14=（天）
可获得的利润是5000×100×80%-50000=350000（元）
（2）若尽可能多地精加工，剩余的直接在市场上销售，则10天可精加工的药材量是
6×10=60（吨）
于是精加工部分可获得
11000×60×60%=396000（元）
剩余100-60=40（吨）的药材直接在市场上销售，1000×40=40000（元）
两项合计可得利润
396000+40000-50000=386000（元）
（3） 若部分精加工，部分精加工，且恰好10天完成，则不妨设粗加工x天，则
14x+6×(10-x)=100
解得x=5
于是这种方案共可获得利润
14×5×0.8×5000+6×5×0.6×11000-50000=428000(元)
综上，第三个方案获得的利润最大，是428000元。

23.（1）否。
假设能出现，则因为2+0=2，而2不等于1，于是矛盾，故不会有2，0，1，2连续出现的情形。
（2）注意到数串出现的只是0到9的数字，其中5个奇数，5个偶数，所以不同的（奇，偶）对共有5×5=25对，因此，根据抽屉原理，（奇，偶）对在这无穷数串中必定会重复出现，此后成周期循环，我们通过实验找规律

发现，第61个数等于第1个数，第62个数等于第2个数，以下各数以60为周期循环出现。
因为2012÷60=33……32，所以这列数中的第2012个数字等于第32个数字，即8.