广东省惠州市2011届高三第一次模拟考试数学试题(理科)(2011年4月).doc

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惠州市2011届高三第一次模拟考试
数学试题(理科） （2011年4月）
（本试卷共5页，21小题，满分150分。考试用时120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
第Ⅰ卷 选择题（共40分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。）
U
N
M
图1
1.设全集是实数集，，则图1中阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
2．若复数，则（ ）
A． B． C．1 D．
3．已知，，，是空间四点，命题甲：，，，四点不共面，命题乙：直线和不相交，则甲是乙成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
x
y
O
B
x
y
O
C
x
y
O
D
x
y
O
A
4．当时，在同一坐标系中，函数与的图象是（ ）

5．设是所在平面内的一点，，则（ ）
否

是

是

结束

开始
i﹦1, n=0

否

图3
i>17

x<60?
输入x

输出n

A. B.
C. D.
8 1
7 1 1 4 6
6 8 2 0 3 9 9
5 3 9 3 0
4 9
3 5
图2
6．现有一个17人的数学学习小组，其最近
一次数学能力检测分数如图2的茎叶图所示，
示。现将各人分数输入图3程序框图中，则
计算输出的结果n=（ ）
A．6　　 B．7　　
C．8　 D．9
7．设双曲线一条渐近线与抛物
线只有一个公共点，则双曲线离心率为（ ）
图4
A． B． C． D．
8．如图4，圆C：在直线下方的弓形（阴影部分）的面积为S，当直线l由下而上移动时，面积S关于t的函数图象大致为( )
A
B

C
D

第Ⅱ卷 非选择题（共110分）
二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）
（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．
9．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 .
10．在△中，，则= .
11．的值为 .
12．已知点和在直线的两侧，则的取值范围是 .
13．若数列满足（为常数），则称为等比差数列，叫公比差。已知 是以2为公比差的等比差数列，其中，,则= .
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。
.
A
B
C
P
O
图5
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线和相交于点、，则 .
15．（几何证明选讲选做题）如图，是⊙的直径，是延长线上的一点。过作⊙的切线，切点为，若，则⊙的直径 .

三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．(本小题满分12分)
已知函数．
（1）当取什么值时，函数取得最大值，并求其最大值；
（2）若，且，求．

17．（本小题满分14分）
A
E
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
图6
如图6，在长方体中，，点在棱上移动，小蚂蚁从点沿长方体的表面爬到点，所爬的最短路程为。
（1）求证：；
（2）求的长度；
（3）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为。若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由。

18．（本小题满分12分）
某校组织的一次篮球定点投篮比赛，其中甲、乙、丙三人投篮命中率分别是，三人各投一次，用表示三人投篮命中的个数。
（1）求的分布列及数学期望；
（2）在概率中，若的值最大，求实数的取值范围。

19．（本小题满分14分）
椭圆的一个焦点是，已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知为椭圆上任意一点，求以为切点，椭圆的切线方程。
（3）设点为直线上一动点，过作椭圆两条切线，，求证直线过定点，并求出该定点的坐标。

20．（本小题满分14分）
设数列的前项和为，点在直线上，为常数，．
（1）求；
（2）若数列的公比,数列满足，
求证：为等差数列，并求；
（3）设数列满足，为数列的前项和，且存在实数满足，，求的最大值．

21．（本小题满分14分）
已知函数图象上一点处的切线方程为．
（1）求的值；
（2）若方程在内有两个不等实根，求的取值范围（其中为自然对数的底数）；
（3）令，若的图象与轴交于，(其中)，的中点为，求证：在处的导数．

惠州市2011届高三第一次模拟考试
数学试题(理科）答案与评分标准
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。）

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
A
C
B
A
D
C

1．【解析】由题意可知，。
2．【解析】，则。
3．【解析】命题甲：“，，，四点不共面”等价于“和两直线异面”， 命题乙：“直线和不相交” 等价于“和两直线平行或异面”，所以甲是乙的充分必要条件。
4．【解析】等价于，，故选C。
5．【解析】由向量加法的平行四边形法则，可得P为线段AC中点，故与等大反向，。
6．【解析】由框图可知，n为统计低于60分的人数，故n=6.
7．【解析】双曲线的一条渐近线方程为，联立，消得：，
再由得，故选D。
8．【解析】直线由下往上移动时，从相离到相切，S恒为0；从相切到直线过圆心时，S递增，且增长速度越来越快；从过圆心到相切时，S仍然递增，但增长速度越来越慢；最后相离，S恒为一大于零的定值，故选C 。
二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）
（一）必做题：
9．【解析】直线可化为，两平行线之间的距离是。
10．【解析】△ABC中，由，知由正弦定理，
。
11．【解析】，由为奇函数得，
故。
12．【解析】两点位于直线的两侧，故。
13．【解析】由 得 由得由得。
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。
14．【解析】和转为直角坐标系方程分别为，由弦长的几何算法，，得。
15．【解析】由题意可知，为，由弦切角定理可知，又，故，所以直径。
三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．(本小题满分12分)
解：（1） ……………………3分
当，即时，
有最大值为……………………………………………………6分
（2）法一： ……………7分
∵∴
……………………………9分

…………………………………12分
法二： …………………… 7分
由 …………………………………………………9分
得或 ……………………………………………11分
∵ ∴ ……………………………………………12分
17．（本小题满分14分）
解：解法一：（1）证明：连结AD1，由长方体的性质可知：AE⊥平面AD1，
图甲
∴AD1是ED1在平面AD1内的射影。…………………1分
又∵AD=AA1=1， …………………2分
∴AD1⊥A1D …………………3分
∴D1E⊥A1D1（三垂线定理）………4分
（2）设AB=x，∵四边形ADD1A是正方形，
∴小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到
点C1可能有两种途径，
如图甲的最短路程为 …………………5分
图乙
如图乙的最短路程为 …………………6分

………7分
…………………8分
（3）假设存在连结DE，设EB=y，过点D在平面ABCD内作DH⊥EC，连结D1H，
则∠D1HD为二面角的平面角，…………………10分
………12分
即 ………………………………………………………13分
A
E
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
图6
Z
x
y
………14分
解法二：（1）如图建立空间坐标系设AE=a …………………1分
则E（1,a,0）， D1（0,0,1），A1（1，0，1）
……3分
……………………………………4分
（2）同解法一
（3）假设存在，平面DEC的法向量……9分
，设平面D1EC的法向量，则
…………………10分
………………………………………………………11分
由题意得：………………12分
解得：（舍去）……………………………………13分
…………………14分
18．（本小题满分12分）
解：(1) 的可能取值为0，1，2，3. …………………… 1分
, …………………… 2分
, …………………… 3分
, …………………… 4分
. …………………… 5分

所以的分布列为

的数学期望为
. …………………… 6分
(2) ∵的值最大
∴,
,
. ……………………9分
解得 ………………11分
又∵，∴,
当的取值范围是时，的值最大 …………………12分
19．（本小题满分14分）
解：（1）由题意可得，为边长是，高为的等边三角形。
，故，而，所以
椭圆的标准方程为 ……………3分
（2）设以Q为切点的切线方程的斜率为，
①若，设，则，由于在椭圆上，故，即
此时切线方程为，整理得：
将代入，得 ………………6分
②若，设，则，
由于在椭圆上，故，即
于是与①同理可得切线方程为 ………………8分
③若，则，切线方程为，亦满足
综上所述，切线方程为 ………………9分
（3）设点，切点，
由（2）可知两切线方程PA，PB分别为， ………11分
P点在切线PA，PB上，故满足，得：
，
故均满足方程，即为AB的直线方程。…13分
中，令y=0，则x=1，故AB过定点（1，0），题得证。 ………14分
20.（本小题满分14分）
解（1）由题设， ①……………………………1分
…………………………2分
由①，时， ② ……………………………3分
①②得， ………………4分
…………………………………………………………5分
（2）由（1）知
化简得： …………………………………………………………7分
是以1为首项、为公差的等差数列，………………………………………8分
∴ …………………………………10分
（3）由（2）知
为数列的前项和，因为，
所以是递增的， . …………………………………………12分
所以要满足，， ………………………………13分
所以的最大值是 ………………………………………………………14分
21.（本小题满分14分）
解：（1），，．
∴，且．……………………………… 2分
解得． …………………………………………………………3分
（2），令，
则，令，得（舍去）．
在内，当时，， ∴ 是增函数；
当时，， ∴ 是减函数 ……………………5分
则方程在内有两个不等实根的充要条件是……………6分
即．…………………………………………………………………………8分
（3），．
假设结论成立，则有 ……………………………9分
①－②，得． ∴．……………10分
由④得，∴ …………………………………………………11分
即，即．⑤
令，（)，…………………………………………12分
则＞0．∴在上增函数， ∴，…………13分
∴⑤式不成立，与假设矛盾．
∴．………………………………………………………………………14分

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