广东省惠州市2011届高三第一次模拟考试数学试题(理科)(2011年4月).doc

欢迎光临中学数学信息网 zxsx127 惠州市2011届高三第一次模拟考试 数学试题(理科） （2011年4月）（本试卷共5页，21小题，满分150分。考试用时120分钟）注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 第卷 选择题（共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。）UNM图11.设全集是实数集，则图1中阴影部分所表示的集合是（ ）A BC D2若复数，则（ ）A B C1 D3已知，是空间四点，命题甲：，四点不共面，命题乙：直线和不相交，则甲是乙成立的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件xyOBxyOCxyODxyOA4当时，在同一坐标系中，函数与的图象是（ ）5设是所在平面内的一点，则（ ）否是是结束开始i1, n=0否图3i17x60?输入x输出n A. B. C. D. 8 1 7 1 1 4 6 6 8 2 0 3 9 9 5 3 9 3 0 4 93 5图26现有一个17人的数学学习小组，其最近一次数学能力检测分数如图2的茎叶图所示，示。现将各人分数输入图3程序框图中，则计算输出的结果n=（ ）A6 B7C8 D9 7设双曲线一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线离心率为（ ）图4A B C D8如图4，圆C：在直线下方的弓形（阴影部分）的面积为S，当直线l由下而上移动时，面积S关于t的函数图象大致为( )ABCD 第卷 非选择题（共110分）二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分每小题5分，满分30分）（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答9已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 .10在中，则= .11的值为 .12已知点和在直线的两侧，则的取值范围是 .13若数列满足（为常数），则称为等比差数列，叫公比差。已知 是以2为公比差的等比差数列，其中，,则= .（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。.ABCPO图514（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线和相交于点、，则 .15（几何证明选讲选做题）如图，是的直径，是延长线上的一点。过作的切线，切点为，若，则的直径 .三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16(本小题满分12分) 已知函数（1）当取什么值时，函数取得最大值，并求其最大值；（2）若，且，求17（本小题满分14分）AEBCDA 1B 1C 1D 1图6如图6，在长方体中，点在棱上移动，小蚂蚁从点沿长方体的表面爬到点，所爬的最短路程为。（1）求证：；（2）求的长度；（3）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为。若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由。18（本小题满分12分）某校组织的一次篮球定点投篮比赛，其中甲、乙、丙三人投篮命中率分别是，三人各投一次，用表示三人投篮命中的个数。（1）求的分布列及数学期望；（2）在概率中，若的值最大，求实数的取值范围。19（本小题满分14分）椭圆的一个焦点是，已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形。（1）求椭圆的标准方程；（2）已知为椭圆上任意一点，求以为切点，椭圆的切线方程。（3）设点为直线上一动点，过作椭圆两条切线，求证直线过定点，并求出该定点的坐标。20（本小题满分14分）设数列的前项和为，点在直线上，为常数，（1）求；（2）若数列的公比,数列满足，求证：为等差数列，并求；（3）设数列满足，为数列的前项和，且存在实数满足，求的最大值21（本小题满分14分）已知函数图象上一点处的切线方程为（1）求的值；（2）若方程在内有两个不等实根，求的取值范围（其中为自然对数的底数）；（3）令，若的图象与轴交于，(其中)，的中点为，求证：在处的导数惠州市2011届高三第一次模拟考试数学试题(理科）答案与评分标准一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。）题号12345678答案CDACBADC1【解析】由题意可知，。2【解析】，则。3【解析】命题甲：“，四点不共面”等价于“和两直线异面”， 命题乙：“直线和不相交” 等价于“和两直线平行或异面”，所以甲是乙的充分必要条件。4【解析】等价于，故选C。5【解析】由向量加法的平行四边形法则，可得P为线段AC中点，故与等大反向，。6【解析】由框图可知，n为统计低于60分的人数，故n=6.7【解析】双曲线的一条渐近线方程为，联立，消得：，再由得，故选D。8【解析】直线由下往上移动时，从相离到相切，S恒为0；从相切到直线过圆心时，S递增，且增长速度越来越快；从过圆心到相切时，S仍然递增，但增长速度越来越慢；最后相离，S恒为一大于零的定值，故选C 。二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分每小题5分，满分30分）（一）必做题：9【解析】直线可化为，两平行线之间的距离是。10【解析】ABC中，由，知由正弦定理，。11【解析】，由为奇函数得，故。12【解析】两点位于直线的两侧，故。13【解析】由 得 由得由得。（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。14【解析】和转为直角坐标系方程分别为，由弦长的几何算法，得。15【解析】由题意可知，为，由弦切角定理可知，又，故，所以直径。三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16(本小题满分12分)解：（1） 3分当，即时，有最大值为6分（2）法一： 7分9分 12分 法二： 7分由 9分得或 11分 12分17（本小题满分14分）解：解法一：（1）证明：连结AD1，由长方体的性质可知：AE平面AD1，图甲AD1是ED1在平面AD1内的射影。1分又AD=AA1=1， 2分 AD1A1D 3分D1EA1D1（三垂线定理）4分 （2）设AB=x，四边形ADD1A是正方形， 小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1可能有两种途径， 如图甲的最短路程为 5分图乙如图乙的最短路程为 6分 7分8分 （3）假设存在连结DE，设EB=y，过点D在平面ABCD内作DHEC，连结D1H，则D1HD为二面角的平面角，10分12分即 13分AEBCDA 1B 1C 1D 1图6Zxy14分解法二：（1）如图建立空间坐标系设AE=a 1分则E（1,a,0）， D1（0,0,1），A1（1，0，1） 3分4分 （2）同解法一 （3）假设存在，平面DEC的法向量9分，设平面D1EC的法向量，则10分 11分由题意得：12分解得：（舍去）13分14分18（本小题满分12分）解：(1) 的可能取值为0，1，2，3. 1分 , 2分, 3分, 4分. 5分所以的分布列为 的数学期望为. 6分 (2) 的值最大 ,. 9分 解得 11分 又，,当的取值范围是时，的值最大 12分19（本小题满分14分）解：（1）由题意可得，为边长是，高为的等边三角形。，故，而，所以椭圆的标准方程为 3分（2）设以Q为切点的切线方程的斜率为，若，设，则，由于在椭圆上，故，即 此时切线方程为，整理得：将代入，得 6分若，设，则，由于在椭圆上，故，即 于是与同理可得切线方程为 8分若，则，切线方程为，亦满足综上所述，切线方程为 9分（3）设点，切点，由（2）可知两切线方程PA，PB分别为， 11分P点在切线PA，PB上，故满足，得：，故均满足方程，即为AB的直线方程。13分中，令y=0，则x=1，故AB过定点（1，0），题得证。 14分20.（本小题满分14分）解（1）由题设， 1分 2分由，时， 3分 得， 4分 5分 （2）由（1）知 化简得： 7分是以1为首项、为公差的等差数列，8分 10分 （3）由（2）知 为数列的前项和，因为，所以是递增的， . 12分 所以要满足， 13分所以的最大值是 14分21.（本小题满分14分）解：（1），且 2分解得 3分（2），令，则，令，得（舍去）在内，当时， 是增函数；当时， 是减函数 5分则方程在内有两个不等实根的充要条件是6分即8分（3），假设结论成立，则有 9分，得 10分由得， 11分即，即令，（)，12分则0在上增函数， ，13分式不成立，与假设矛盾14分中学数学信息网系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有中学数学信息网